книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами

копленная в УУ к s-му такту, т. е. информация, содержащаяся в сигналах и, у во все предшествующие моменты времени, включая (s—1 )-й: tr — след матрицы; <7* — вектор задаю­ щих воздействий. Ограничения на управляющие воздействия отсутствуют.

Рассматриваемая система является нейтральной, по тер­ минологии А. А. Фельдбаума [В. 15]. Для нахождения опти­ мального вектора достаточно минимизировать по w[s] уделы ный риск rsj_z .

Подставив (1. 171) в (1. 174) и выполнив операцию вы­ числения математического ожидания, получим при VlsI = «[sl

где ms _i=yVl{a//s_1}—апостериорное математическое ожи­ дание вектора jj. при известных из­ мерениях выхода до (s—1 )-го такта

включительно;

—1

QaS_ l — апостериорная корреляционная мат­

рица.

Поскольку оба слагаемых в (1. 175) положительны и от m[s] зависит только первое, то минимум функции риска

r s_i__ достигается, когда первое слагаемое равно нулю, т. е.

|?:i:[s+ T] —A«*|sl—Сц /ns- i = 0,

А = II aij II 1x1 ■

.Оптимальное управление (1. 176) существует, если ранги матриц А и А\ совпадают, где

1(30

г * 5 + т— ^ '[С 7'|1 CqCy. Qfi.s—1 l = (,'s+'c)min

не зависит от управлений u[l\,i^s, следовательно, управ­

ление м*[5) является одновременно оптимальным и по

П

критерию 7?„=Уи| ^ 1F,-J, т. е- обеспечивает минимум

/=т+ 1

полного риска.

Если условия существования и единственности не выпол­ няются, это значит, что нет такого управления u[s], при кото­ ром достигается нуль первого слагаемого в (1. 175) и нельзя пользоваться формулой ( 1 . 176). Оптимальное управление в общем случае найдем, продифференцировав по и[«] функ­ цию г5 |_т и приравняв производную нулю.

Применив правила векторного дифференцирования, по­ лучим

h-)/7s—j }= 0 ,

АтС9(?*[5+т] - А и*[5]-С^ ms_I)==0 .

Оптимальное управление в матричной форме находим из

101

если |х — векторная случайная величина или

Л 7'С ?/1 и *Ы = А 7'С (г(г7*[5+т! — rns its-f-x]), ( 1 . 178)

если ji[s] — векторный случайный процесс, причем

вычисленное по известной информации, накопленной к (s—1 )- му включительно моменту времени.

Условия существования и единственности управления Обозначим:

D=ATCqA= Н || ш ,

Z = A TCq{q*[s+t]—Cp.ms_ i)= || Z,y|| /х1.

Условие существования решения (1. 177): ранги d и dt мат­ риц D и D\ должны совпадать, где D\ — расширенная мат­ рица:

Du .• • DU Z n

хождения единственного значения оптимального «укорочен­ ного» d-мерного вектора управляющих воздействий

Вводя в рассмотрение «урезанные» матрицы

Удельный риск при оптимальном управлении Mrf[s] равен

rds+z> r*s+x.

Заметим, что вывод формул (1. 176), (1. 177) мы провели, не используя плотности вероятности р. и h. Следовательно,

102

лолученный алгоритм является оптимальным при произволь­ ных законах распределения случайных параметров и помех. Конкретный же вид статистики m s-i , конечно, зависит от статистических характеристик случайных сигналов.

Перейдем к изучению задачи управления объектом с раз­ личными запаздываниями х, по отдельным каналам управ­ ления. Уравнения объекта:

7 [s]=*4a3kb[s]-M l/[s—1 1 = Ср, ц Ы -М И з—-т],

юз

ния случайных сигналов, любых характеристиках измеритель­ ного устройства. В каналах измерения могут быть дополни­ тельные запаздывания. Однако вид информационных коор­ динат ms_ T<_ 1 [s], безусловно, зависит от плотностей вероят­

ности сигналов р и /г и от матриц G и В в уравнении ( 1 . 171). Пусть р — векторная случайная величина и плотности ве­ роятности заданы соотношениями (1. 172), (1. 173). Опреде­ лим апостериорную плотность Р ,(р ). Введем в рассмотрение модель объекта по каналу «управление-выход» с уравнениями.

<7МЫ =ЛИ5—т]=Л /Г(гг[5—^]) при т^=т

или

1

l/[s— т]= ^ A E i V i l s —хг-] = ^4F( ttls—х])

«= 1

в общем случае.

Так как по отношению к возмущениям система линейная, а случайные параметры и помехи распределены нормально, но и ^$ (р ) соответствует нормальному закону, P s (p) пропор­ циональна выражению

s

e x p j - i - pr Q^ р - ^ - ^ ( y W - G q J tt - G C p гУ (В ~'УХ

/ = 1

XQ/!5_1(y[/] — Gqjj]—GC^ p )j= P s(p).

Воспользовавшись изложенной выше методикой, находим

p s(p)=P(v-lms,QVLs)

l=l

106

Соотношения (1 . 187), (1. 188) можно представить в. рекуррентной форме:

—1

ms= m s^ l+QpS (B-WCp ) 7'Q/l5 - 1(y[s]-GgM[s] — GC^ ms- i),

В частности, для плотности (1. 173) математическое ожи­ дание т0 равно нулю. Вектор ms является вектором инфор­

где р, В g — матрицы размера

g[s] — векторный гауссов случайный процесс с независи­ мыми значениями, нулевыми средними и ковариационной матрицей Q-1.

Процесс p[s] характеризуется плотностью вероятности на­ чального состояния

Р № ) = ] / l^ H le x p l- i - ^ tO lQ ^ ix lO l )

v(2я)

иплотностью вероятности перехода

Qg =(Bg- ' ) TQBg- \

10Г

Как и в предыдущем случае, апостериорная плотность

•онная матрица, характеризующая точность оценки /га5_ тЫ. Примем

Щ — T[S т] ttlg— Qix,S— т ^ ^ = Q \x,S— т •

X(|4s]— ,

где

/я5_хЫ = Ж {|i[s]// s_i} =pms_i;

Qn,i—l ld = Q ff[l—QgpCQp.s—i +pTQs-p)_ 1pTQS']—

Для их нахождения обратимся к выражению (1. 193). Первую условную плотность получаем из известной P(h[s]).

имодели объекта

Я(уЫ/р.Ы,?мЫ) = ex p j—-i(y[s]—G?M[sl—

10»