книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами

Замечание.

Система дифференциальных уравнений может служить математической моделью реального объекта управления лишь в том случае, когда входящие в нее уравнения удовлетворяют условиям совместности (интегрируемости), а также условиям существования и единственности решений [В. 62}. Проверку этих условий необходимо проводить в процессе математиче­ ского описания объектов. Ниже при решении задач синтеза алгоритмов управления, идентификации, адаптации предпола­ гаем, что математическая модель объекта задана в том или ином виде, модель является адекватной реальному объекту, отражает с некоторой достаточной для практики точностью его динамические свойства и все указанные условия выпол­ няются. В дальнейшем это каждый раз особо не оговари­ вается.

В. 2. 4. Разностные модели

Важность рассмотрения разностных моделей обусловлена следующими факторами.

1. Исследование переходных процессов в системе с рас­ пределенными параметрами, связанное с решением диффе­ ренциальных уравнений в частных производных, часто не может быть проведено аналитически. Для этого необходимо

обычно вводят дискретизацию по пространственным коорди­ натам (дифференциально-разностная аппроксимация), заме­ няют исходное дифференциальное уравнение в частных про­ изводных системой обыкновенныхдифференциальных урав­ нений [В. 63—В. 64]. Решение задач оптимального управле­ ния также требует привлечения численных методов и ЦВМ.

2. В последние годы интенсивно разрабатываются и внед­ ряются в практику автоматизации производства цифровые управляющие вычислительные машины (УВМ)' и цифровые регуляторы, требующие дискретного представления выходных сигналов объекта.^С_ другой стороны, УВМ, имеющие разви­ тую логику и память, позволяют реализовать сложные алго­ ритмы обработки информации и управления системами с рас­ пределенными параметрами, алгоритмы -коррекции заданий и

20

ектов используют локальные датчики, установленные в ряде фиксированных точек по длине объекта.

Разностная модель может быть получена путем дискре­ тизации исходной непрерывной модели и замены уравнений в частных производных уравнениями в «частных» разностях. Одной и той же непрерывной модели может соответствовать несколько различных дискретных. Приведем несколько при­ меров разностных моделей. Пусть объект описывается урав­

At и пространственной координате Ах. Обозначим

q(i< A x,s A t)=q[K,s]=qKS,

u°(s A t)=u°[s] = u°s,

ul(s A i)=ul\s]=u!s.

Метод конечных разностей основывается на приближенной замене производных линейными комбинациями значений функции qKSв узлах сетки

от величины интервала квантования. Отбросив их и подставив {В. 28) в исходное уравнение (В. 11), получим

q*,s+i ?/c,s= tJ’(9't+i,s— i ,s)> (В. 29)

21

где

Д tD

11 (Дх)2

Остаточный член равен

Разностная схема (В. 29) является явной и условной устой­ чивой. Условие устойчивости имеет вид

D Д /< -^(Д х)2.

Простейшим примером неявной абсолютной устойчивой раз­ ностной схемы для той же исходной непрерывной модели (В. 11) служит уравнение

Стремление повысить точность аппроксимации приводит к более сложным разностным моделям, например, следующего вида:

где коэффициенты а и р определяются из условий

(Ах)2

а + В = D A t *

а - р =

( Дх)4

6D2(At)2 '

Применяя разностную аппроксимацию (В. 9) —(В. 10), полу­ чим граничные условия

qis=q0s+boAxu°s,

Я, . = qis -biA x(uLs—qhs). I—iiS

Аналогичным путем выводят многомерные сеточные уравне­ ния для процессов, распределенных в пространстве двух в более измерений.

22

Непрерывной распределенной модели общего вида (В. 26) соответствует система уравнений в «частных» разностях:

к = 0 ,1 ,...,/ ,

s= l , 2...

снекоторыми начальными и граничными условиями,

где u°s, иsl— временные векторы:

и°5= II И°1-..И°5 II,

23

Диалогом (В. 33) для непрерывных систем является матема­ тическаямодель, заданная в интегральной форме ГВ. 19,

В. 39].

При исследовании динамики распределенных систем на аналоговых вычислительных устройствах применяют диффе­ ренциально-разностную аппроксимацию, т. е. дискретизиру­ ют исходные уравнения лишь по х, оставляя время t непре­ рывным. Точность аппроксимации характеристик объектов обсуждается в работах [В. 63, В. 64].

В. 2. 5. Упрощенные модели

Как уже отмечалось, требуемая точность математического описания объектов зависит от назначения модели. Для выбо­ ра настроек стандартных регуляторов (например, пропорцио­ нально-интегральных), подбора параметров в алгоритмах адаптивного управления часто оказывается удовлетворителрной достаточно грубая аппроксимация динамических характе­ ристик. В большинстве случаев применяют модели, включаю­ щие звенья с чистым запаздыванием и инерционные или ин­ тегрирующие звенья. Например, передаточные функции ус­ тойчивых объектов по отдельным каналам передачи воздей­ ствий задают в виде [В. 54, В.. 57]

i =1

24'

где K0— коэффициент усиления объекта; т—время чистого запаздывания;

Т0,Т[,Т— постоянные времени.

На рис. В. 2 показана аппроксимация экспериментально снятой усредненной нормированной кривой разгона ql (кри-

Рис. В. 2

25

вая 1) шаровой мельницы размером 2,6x14 м мокрого из­ мельчения известняка по каналу «расход воды — вязкость шлама» переходными функциями моделей первого (а) и вто­ рого (б) порядка с чистым запаздыванием. Числовые харак­ теристики в натуральных единипях панны:

а) К0=8,5, Т0 — 6,7 мин, i =Amuh\

б) К0=8,5, Ti=5,3muh, Тг = 3,3мин, т= 2 мин.

Рис. В. 3 иллюстрирует точность аппроксимации кривой раз­ гона при использовании диффузионной модели вида (В. 8). При этом

К0= -уг— =8,287, ц=0,686 м/мин, 73=0,453 м'/мин;

Можно привести много примеров использования простых моделей (В. 35) — (В. 40) для аппроксимации динамических характеристик различных промышленных объектов. Так, в. [В. 65] передаточная функция по каналу «состав смеси на входе дистилляционной колонны — состав легкой фракции на

ные звенья в (В. 36) — (В. 40) должны быть заменены, со­ ответственно, интегрирующими и колебательными звеньями.

При математическом описании сложных технологических процессов некоторые авторы [В. 66] предлагают рассматри­ вать их с целью сокращения вычислительной работы и упро­ щения алгоритмов как объекты с эквивалентным чистым за­ паздыванием и, исходя из полученного упрощенного описа­ ния, разрабатывать систему управления. Таким образом, для упрощенных моделей объектов с распределенными парамет­ рами характерно наличие звеньев с чистым запаздыванием. Кроме того, временные запаздывания часто создаются систе­ мами отбора и транспортировки проб для анализаторов со­ става. В системах оперативного управления запаздывание возникает в каналах передачи информации, в частности в каналах связи между различными уровнями в иерархической системе управления. От величины запаздывания зависят качество оперативного управления и управления ходом тех­

26

нологических процессов. Поэтому задачи управления объек­ тами с чистым запаздыванием в условиях неполной информа­ ции представляют самостоятельный практический интерес. Кроме того, эти объекты являются простейшими примерами! систем с распределенными параметрами.

В. 2. 6. Стохастические модели.

Описание объектов условными плотностями вероятности

Рассмотренные выше модели являются моделями детерми­ нистическими. Случайные возмущения, действующие на объ­ ект в реальных производственных условиях, изменение ха­ рактеристик сырья, старение оборудования, помехи в измери­ тельных устройствах обусловливают стохастический харак­ тер связи между входными и выходными переменными объ­ екта. Возможны различные способы аналитического пред­ ставления связей — корреляционными и дисперсионными функциями [В. 67], уравнениями регрессии и т. д. Полное описание свойств объекта задается условными плотностями вероятности выходных сигналов q при известных входных и и вероятностными характеристиками входных возмущений. Этому классу моделей в данной работе уделяется основноевнимание. Например, объект с уравнением (В. 31) в стоха­ стическом случае описывается условной плотностью вероят­ ности

P(Qks I Qk—1,Si '^KS^Ks)t

где %ks учитывает зависимость вектора QKS от всех значений- Q в предыдущие моменты времени. Здесь и ниже считаем» что функции плотности вероятности Р (•) различных аргумен­ тов, вообще говоря, являются различными функциями, хотя' и обозначаются одной буквой Р. Аналогичным образом моде­ ли (В. 33) можно поставить в соответствие условную плот­ ность вероятности

P{QkSI ^«s)>

где uKS— пространственно-временная матрица управленийПлотность

P(Qks | икs> ^ks)

2-7

описывает систему, иа которую кроме управления и действу­ ет вектор контролируемых возмущений X.

В том случае, когда критерий качества R работы системы определяется значениями одной группы выходных сигналов w, Qks. а управление осуществляется на основе информации, содержащейся в другой группе выходных сигналов у, которые статистически связаны с w, объект описывается двумя ус­ ловными плотностями

P(w [s] | w[s], l [K,s],ay[s—1]...)

и

P(y [k ,s ] I H[s],X[s],y['c,s—1])

или совместной условной плотностью

P(ay[s],y[K,s] |«[s],I[s]).

Аналогично формально можно записать условные плотности вероятности для непрерывных систем. Стохастические модели являются более общими и полнее отражают свойства реаль­ ных промышленных процессов. Но с другой стороны они и сложнее по сравнению с детерминистическими моделями.

Наиболее простыми математическими моделями случай­ ных возмущений и помех являются: случайный процесс с не­ зависимыми значениями; марковский (скалярный или вектор­ ный) случайный процесс; известная функция времени и век­ тора случайных величин.

В. 3. Формулировка задачи синтеза алгоритмов управления объектами с запаздыванием и распределенными параметрами в системах с неполной информацией

Цель данного подраздела состоит в том, чтобы оконту­ рить общую задачу исследования. Конкретные постановки за­ дач и их решения приведены в последующих разделах. Рас­ смотрим систему управления, схема которой показана на рис. В. 4. Объект управления с распределенными параметра­ ми обозначен буквой О. Для простоты считаем, что процессы распределены по одной пространственной координате х 0«Ос • Приняты также обозначения:

ИУ — измерительные устройства,

28

УУ — управляющее устройство, ИМ — исполнительные механизмы.

Объект находится в общем случае под воздействием распре­ деленного векторного возмущения—случайного поля \i(x, t) и сосредоточенных случайных возмущений ц° и рЛ приложен­

w" |[ зависят не только от значений переменных, характери­

по длине или высоте технологического аппарата). Условно это учтено введением в схему (рис. В. 4) блока А. Измерен­ ные сигналы у[х, t) и у* представляют собой комбинацию полезных сигналов q(x, t), wl и помех h{x, t), h*. Некоторые выходные показатели (w") либо совсем не измеряются, либо контролируются дискретно во времени, через большие интер­ валы (в схему введен условно ключ Кл), и результаты изме­ рений становятся известными через некоторое время (данные экспресс-анализов).

Под управляющим устройством можно понимать набор вычислительных, преобразующих и регулирующих устройств, управляющую вычислительную машину (УВМ), систему вы­ числительных и управляющих машин и т. д. в зависимости от сложности задачи.

При теоретическом исследовании мы отвлечемся от кон­ кретного способа реализации стратегии, или алгоритма функ­ ционирования управляющего устройства — реализации в ви­ де программы для УВМ, набора программ или в виде сово­ купности аналоговых устройств. В УУ кроме измеренных сигналов у{х, t) и yw вводятся задающие воздействия q* и w*t определяющие требуемый или желаемый режим работы объекта.

В дискретных системах с цифровыми УВМ все перемен­ ные рассматриваются в дискретные моменты времени з и в

статистического критерия качества — риска R, т. е. математи-

29.