книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами
.pdfгде K{t) = |
'2*5, |
|
1 |
|
|
1 , |
Sin2tO^—cos2mM'| —1 |
|
||
h |
+ |
— |
[ |
t - \ - —— |
4ш |
|
(2 . 43) |
|||
|
|
^ |
4r |
[ |
~ 4to |
|
|
|
||
|
|
gi(xj=e |
— rx |
|
|
|
|
|||
|
|
cosrx, |
|
(2. |
44) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
g 2(x) = e |
— rx |
|
|
|
|
|||
|
|
sinr*. |
|
|
|
|||||
Вид весовых функций |
распределенного |
контроля gi(*) и |
||||||||
g 2{x) показан на рис. |
2.3а для |
следующих |
числовых |
зна |
||||||
чений параметров: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ш = 0,1 ■2к[сек-х\, |
D=0,1 [м^/сек], |
r = V |
|
|
||||||
При с2^ оценка |
т* |
переходит |
в оценку |
максимального |
||||||
правдоподобия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2 . Пусть коэффициент ц входит в граничные ус ловия второго рода, т. е.
|
dq\ |
==— IJ-COSU)/. |
|
(2. |
45) |
|
дх |
|
|||
Тогда |
х=0 |
|
|
|
|
|
-Г Х |
|
|
|
|
q(x,t,v-) = |
|
|
(2. |
46) |
|
v |
COS(W—Г Х — |
• |
|||
- / |
|
|
|
|
Как и в предыдущем примере, при квадратичной функции потерь находим оптимальную оценку [2. 28]. При а2^ ->■ оо
аза
получаем |
оценку, |
оптимальную |
по |
критерию |
|
максимума |
|||
правдоподобия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2шУ2 |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
т* = а{() |
cosny-j'y(x,x)5-11(A:)dx+ |
|
||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ sin<ot j |
y(x^)g'z(x)dx |
q-, |
|
|
(2. 47) |
|||
|
|
о |
|
sin2 to/H-cos2cu/ —1 |
|
|
|
||
где |
a(t) = |
t , |
1 |
, |
/ > 0 . |
||||
|
4u7 |
|
4w |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Весовые |
функции |
распределенного контроля |
равны |
||||||
{рис. 2 . 36) |
—гх |
( |
тг |
\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
(2.48) |
|||||
|
g\(x)=e |
cosf rjc + |
-4 |
]» |
|
|
|||
g'a(x)=e ' sin^ rxJr~£j ■
2.3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ОБЪЕКТОВ,
ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ РАЗНОСТЯХ
2. 3. 1. Оценка параметров по критерию минимума функции риска
Теорию статистических решений можно' применить для синтеза оптимальных алгоритмов идентификации и в случае, когда оператор объекта задан в виде разностных уравне ний типа (В. 31). Такой способ задания оператора удобен при выполнении вычислений на ЦВМ. Пусть адекватная матема тическая модель объекта имеет вид
<7[0,s]=<7o(«°[s]),
q[K,s\ = qH(\}.,q[K—l,s— |
1],?[к+1, s - 1 ],«[/<,s],Z[/c,s]), |
(2. 49)
(■s= 1 ,2 , . 2 .....l - l )
131
q[l.s] = qi(v-,q[l— M - 1 |
]M *.s—11 ,q[l— l,s], ^ [s]). |
|
Входные воздействия на границах u°[s], u l [s] |
и распределен |
|
ные по длине объекта и[к, |
s] контролируются, |
(Z[/c,s]} пред |
ставляет собой совокупность независимых случайных величин; <7о qK ..... qi — заданные функции. Тогда при известных начальных условиях для нахождения оптимальных в смысле минимума функции риска /?s=yW{fl7s) оценок ms* достаточно
минимизировать по |
функцию |
|
s |
/ —1
ql2,j-\\,u[Lj})Y\P{q,[K,j]\v.,q[K— ],j-\],q[h-,j— \]t
к=2
<?[*+!,/—1 ],п[к\/]) XP(q[l,j]\\>-,q[l-\,j-\\,q[t,j— \},
(2. 50)2
q[l— \,j],ul[j])\dQ.
2 . 3. 2 . Применение метода стохастической аппроксимации
Получение оптимальных алгоритмов связано с большой сложностью вычислений и получаемых структур оптималь ных ВУ, а также с необходимостью располагать определен ным объемом априорной информации. Поэтому представляет ся весьма интересной разработка простых, хотя и неоптималь ных методов оценки параметров, причем в случае распреде ленных объектов эта задача особенно актуальна в связи со сложностью самих объектов.
Методы Калмана и стохастической аппроксимации на за дачи идентификации распределенных объектов обобщаются достаточно просто [2. 30, 2. 31], если в качестве модели объ екта использовать линейное уравнение в частных разностях. Заменим в уравнениях (2. 49) действительные значения сиг
налов q, и° и 1, и наблюдаемыми y,v°, vl , v, а значения пара метров ц — их оценками т. Воспользовавшись несколько бо лее общей, чем (2. 49), формой записи, получим
132
y[tf,sj—<7[K>s] = e lK»sb
q[K,s\ = qK(m,y[к— 1,s— 1] |
o°[s].^[s],tt[K,sl). l2. 51) |
Пусть уравнение (2. 51) линейно относительно искомых
значений т. Величину отклонения q[k, s] от у [k, s] и, следо вательно, близость оценок m[s] и параметров ц будем харак теризовать значением R математического ожидания (функ ционала) потерь I:
/? = Л Ш )= ж |^ й [« ,в ],у [ М )} - |
(2- 52) |
|
к |
|
|
Сумма берется по всем к, |
для которых можно вычислить |
|
W. Функция потерь W должна удовлетворять определенным |
||
условиям [В. 17]. |
|
Учитывая это |
Градиент критерия I по т обозначим |
||
и воспользовавшись методом |
стохастической |
аппроксимации |
[В. 17, 2. 36], получим следующий сходящийся алгоритм Для вычисления текущих оценок m[s] неизвестных параметров:
m [ s ] = m [ s - l] - 'f[s] у и У |
= /7I [S— 1 ] — |
|
m=w[s—1] |
|
|
|
(2. |
53) |
к |
Jm=m[s—1J |
|
|
|
|
где т [s] — убывающая функция, удовлетворяющая условиям
(1.101) Роббинса и Монро [В. 27, В. 28], например, типа —•
Для квадратичной функции потерь имеем
» ф ]= /в [5 —1] + t[s]5 /[ /c,s] у«<7[М - |
(2. 54) |
к |
|
Если ц и у — скаляры и рассматривается лишь к-я точка, из (2. 54) с учетом (2. 51) получим
133
mls] = m[s—1 1 + т И
(2. 55)
Когда математическое ожидание градиента функции по терь отлично от нуля при m[s] = p, оценка будет смещена. Для устранения смещения необходимо подкорректировать ал горитм.
Предложен следующий способ [2. 31]. Вычисляется зна чение математического ожидания градиента критерия качест ва в точке т [s] = р,
е = М у т / |
(2. 56) |
|
Г?1=\Х |
Учитывая, что в точке оптимума градиент критерия качества должен быть равен нулю, вместо (2. 53), получим
m[s] = m[s— 1 ]—-f [s] V ml e |
(2. 57) |
|
H=m=m[s—1] |
Очевидно, что е зависит от статистических характеристик по мех. При s —*оо оценка т сходится к р. с. вероятностью единица.
Достоинства данного метода следующие: простота получе ния алгоритмов; текущая оценка m[s] получается из рекур рентного соотношения, для вычисления ее необходимо пом нить лишь предыдущую оценку m[s—1 ] и поступившую с объ екта новую информацию (при реализации алгоритмов на УВМ этот факт важен с точки зрения экономии памяти ма шины); меньший объем априорной информации, чем при на хождении оптимальных байесовых оценок.
Оценка «распределенного» запаздывания (коэффициента диффузии)
Объектом с «распределенным» запаздыванием называют объект [В. 54], описываемый уравнением диффузии
(2. 58)
134
Ш ‘« А OX& |
х=1,ю Ц'(0 ] = 0 . |
(2. |
59) |
|
|
Здесь коэффициент диффузии ц характеризует величину «распределенного» запаздывания.
Дискретизируя уравнение (2. 59) по координате и вре
мени, получим |
|
|
A tq=^.A\g+'fl(x,l), |
(2. |
60) |
где ДЛ2—вторая разность по х. |
сеточная модель |
|
Предположим, что выбрана устойчивая |
||
и можно пренебречь погрешностью аппроксимации, т. |
е. |
|
г] = 0. Для конкретности примем следующую модель объекта:
q[ic,s]—q\K,s—1 ] =^(<7[к—l,s]— |
l,s]). (2, 61) |
|
Пусть сигналы q[i, /] |
измеряются с аддитивными Независи |
|
мыми помехами h[i, /] |
в трех точках объекта: y[i, j] — q[i, /] + |
|
+ h[i, /]. Минимизируя |
меру ошибки по методу наименьших |
|
квадратов и вычисляя величину смещения, получим выраже ние для асимптотически несмещенной оценки т параметра р
s
2 ( Д tq[K,j] Д x2q[n,i] + 2 а гЛ) |
|
|
m[s]= Ь Ц ------------------------------------ |
. |
(2 . 62) |
2 |
{(а л [к,л )*—6av |
|
/ = 1 |
|
|
Нетрудно показать, что полученная оценка при
S
Q— lim — 2 ( А^с2^[к»у] ) > 0 состоятельна.
S - + оо 3
1=1
Если выходной сигнал измеряется в большем числе точек объ екта, то формула для вычисления оценки для модели (.2 . 61) имеет вид
s
X |
- y [K ,i— l ] ) ( y [ K - l , j \ - 2y[“>i] + |
|
|
|
X Х ( № - 1 - л - 2у к л + |
|
|
|
+ y [K+ l ,s]) + 2 g2/i} |
(2. |
63) |
|
+У[к + 1,/])2- 6 а г/г} ■ |
||
|
|
|
Суммирование производится по всем к, для которых возмож
но |
определить Aax q. Применение метода |
стохастической ап |
||
проксимации дает |
следующий алгоритм |
вычисления |
оценки |
|
т, |
сходящимся при |
_ |
л |
|
Q> 0 к истинному значению р с вероят |
||||
ностью, равной единице: |
|
|
||
|
w[s]'=/n[s—l ] + 7 [s]{(y[K,s]—y[K,s-l])(y[/<:—l,s] — |
|||
|
—2 у f/c,s]Ч-у [*с+1 ,s] ) + 2 а/(2—m[s—1 ](у[к— 1 ,s] — |
|||
|
— 2y[/r,s]-by[tf4-l,s])2+63/j2/«[s— 1]}. |
(2- 64) |
||
При1 отсутствии погрешностей измерения ай2=0.
2; 4. ОЦЕНКА МАТРИЦЫ НЕИЗВЕСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Ранее мы предполагали, что неизвестным является вектор коэффициентов. Выведем теперь формулу для оценки по ме тоду стохастической аппроксимации матрицы неизвестных параметров.
|
И-11 ••• Piг |
= II V-ij Илл= |
(2. 65) |
Рш •••• Рпг
Пустькритерий оптимальности имеет вид
( 2. 66)
13&
V= |
где tr— след матрицы; |
|
|
|||
|| Vtj || пп— симметрическая неотрицательная (п Х п )- |
||||||
|
|
матрица |
весовых коэффициентов; |
|
||
*= e[s] =(y[s]—^[s])— вектор |
ошибок; |
|
|
|||
У — II У1 .....Уп II т— вектор |
измеренных значений выход |
|||||
А |
Л |
ных сигналов объекта; |
|
|
||
Л |
|
|
адаптивного |
|||
Я= |
II Яи--->Яп II г —выход модели или сигнал |
|||||
|
|
настраиваемого распределенного |
конт |
|||
|
|
роля, причем |
|
|
||
|
|
ф 1 = /ф ]/(г ф ]) = / ф ] ф ] ; |
|
(2. 67) |
||
|
|
f —известная вектор-функция; |
|
|
||
» = II ^ ,...,0, Иг — вектор |
входных сигналов адаптивной мо |
|||||
7я = |
|
дели; |
оценок неизвестных |
параметров- |
||
|| пц,- || гп— матрица |
||||||
Равенство (2. 66) перепишем следующим образом: |
|
|||||
|
|
tr [Vyy т— VmvyT— VyvTmT+ V tnvvTm r ] |
(2. 68) |
|||
Вычислим градиент у mW путем дифференцирования [2.37Ш по матрице тп:
^ t r j Руу7" —VmvyT— VyvTm+ VmvvTmT]=
— -^-j—2 ^ t r f VyvTniT\ |
trl VmwTmT1 |
|
= -V(yt>T-~mvuT). |
(2. 69) |
|
Стохастический алгоритм идентификации в дискретном времени имеет вид
/ra.[s]^/rcjs-l] —rjs] V,nW (/n[s-lI,y[s]), |
(2. |
70) |
77l{s]=/rajs —1]— PJs] P(y[s]— 77?[s— l]t)[bj)'n7'[s], |
(2. |
71) |
где T[s] — квадратная неотрицательная ('пХп)-матрица пе ременных коэффициентов. Для обеспечения сходимости алго ритма при идентификации стационарных объектов (p = const) необходимо, чтобы элементы матрицы Г [s] удовлетворяли ус ловиям Роббинса и Монро [В. 17].
137
2.5 ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Описанный в подразделе 2. 3 метод не может быть непос
редственно использован, если функция |
состояния |
обьекта |
q(x, t) измеряется в отдаленных точках |
(Ах велико), |
а также |
в задачах идентификации чисто непрерывных систем. Поста вим задачу разработки на основе стохастической аппрокси мации рекуррентных помехоустойчивых алгоритмов оценки параметров линейных распределенных объектов по всем до ступным для измерения значениям q{x, t). Ниже излагается в соответствии с [2. 32] два различных подхода к решению за
дачи в зависимости от того, |
измеряется ли все поле q(x, t) |
||||
О |
t> 0 или же только |
входные и выходные |
сигналы |
||
объекта в некоторых фиксированных точках. |
|
||||
|
Идентификация с использованием непрерывного |
|
|||
|
распределенного контроля функции состояния |
|
|||
|
Пусть объект описывается линейным дифференциальным |
||||
уравнением в частных производных |
|
||||
|
F, |
dq |
dq |
= 0 |
(2. 72) |
|
dt |
’ Tx |
|||
|
|
|
|
||
с некоторыми граничными и начальными условиями. Здесь F— линейная вектор-функция, q(x, t) также может быть вектор ной функцией. Для простоты учитывается распределение по одной пространственной координате х. Функция состояния измеряется со случайной распределенной в пространстве по мехой h(x, t) с нулевым математическим ожиданием
y(x,t)=q(x,t)+h{x,t). |
(2. |
73) |
|
Воздействия u°(t), и I (t) входящие |
в граничные условия, |
||
измеряются точно, производные dq |
dq не |
измеряются. |
|
Воспользуемся результатами работы [В. 37]. Обе части уравнения (2. 72) умножаются на диагональную матричную функцию G(x, t) и интегрируются в пределах 0,/н; 0,/. Реко мендации по выбору функции F даны в [В. 37]. Учет гранич ных условий производится соответствующим выбором F. По сле интегрирования по частям
138
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
\\GFdxdt= 0 |
(2. |
74> |
||
|
|
о 0 |
|
|
|
|
приходим к |
выражению, |
содержащему линейные |
формы |
|||
относительно q(x,t),u°((),ul(i) |
вида |
|
|
|||
|
|
|
г |
t /и |
|
|
|
|
|
|
V'l \ \ qFi{x,f)dxdt+ |
|
|
|
|
|
1 = 1 |
о о |
|
|
|
Г |
t |
|
|
|
|
|
S |
ну jV y'^ n . t W ( 0 —Fj(p,t)u°(t)]dl=0. |
(2. |
75> |
||
|
= 1 |
|
|
|
|
|
Заменим |
<7 (x, |
t) в (2. |
75) |
измеренным значением у{х, |
t), |
|
а параметры р. — их оценками т = {ти ..., тп). Введем функ цию потерь W(P), например квадратичную, и применим метод стохастической аппроксимации для нахождения оценок т ■па раметров р.
|
dmi _ ./Л дЩР) |
дР(т,у ,и°,а'-) |
i= |
|
(2. 76) |
||
|
dt |
' |
дР |
дт |
|
||
|
|
|
|
||||
где |
т(0 — переменный |
коэффициент, |
удовлетворяющий |
||||
условиям Роббинса и Монро. |
|
|
(2. 72), |
||||
то |
Если известно аналитическое решение уравнения |
||||||
необходимость |
в |
модулирующих функциях |
отпадает. В' |
||||
частности, для примера 1 , |
рассмотренного в подразделе 2 . 2, |
||||||
при квадратичном критерии точности оценки R |
|
|
|||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
R = M W } = M |
| j1 [y(x,t)—q(x,t,p)]2d x ^= m in |
(2. 77> |
||||
|
|
|
6 |
|
14 |
|
|
алгоритм стохастической |
аппроксимации |
имеет |
вид |
|
|||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
^=f(/)[cosco!f ^y{x,t)g1{x)dx+
о