книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами

(2. 17)

инвариантных относительно u(x,l)eQp(u). Доказательство теоремы аналогично предыдущему.

Проверим, выполняются ли условия разделимости в за­ дачах, рассмотренных в разделе 1. Начнем с примера, при­ веденного в подразделе 1. 1.3. Уравнения объекта представи­ мы в виде (2. 9)

Рц— + <?[«,si) = 0,

где

Ад[к — 1 ,s] —-Bq[hc,s—1]— Са[к— 1 ,s —11—m[/c,s],

и, соответственно, в виде условия (2. 17) теоремы 4.

^«.1—№+<7(*,0] = 0 ,

где

d*q

Fa,1 = dxdt -аш + ь % +с'’ - “'х Л -

Следовательно, высказанное выше утверждение о нейтраль­ ности системы справедливо и возможно раздельное решение задач управ зения и оценки р. Аналогично для задачи подраз­ дела 1 . 3. 1 получаем

{уЫ—^(«[sl.s;) —{u-f /i[s])=/ru+ F p = 0

и убеждаемся в ее нейтральности.

Для объекта с мультипликативным возмущением (подраз­ дел 1. 3. 4)

g[s-|-T:] = ([x[s]-f/i[s])«[s], при ифО можно записать

- ^ f i ^ - W + h l s U - F u + F p = 0 .

Система нейтральна, область Qp (u), в которой возможно раз­ деление задач, включает все значения и, кроме и = 0. Усло­ вия теоремы 3 (стр. 119) выполняются для задач подразделов

120-

1. 4. 1 и 1. 4. 2, а условия теоремы 2 —для задачи управления многомерным объектом, исследованной в подразделе 1.5.

Независимый синтез алгоритмов оценки параметров мо­ жет оказаться полезным и в случае, когда условия раздели­ мости не выполняются. Такой способ, конечно, следует рас­ сматривать как приближенный и полученные на его основе алгоритмы нуждаются в дополнительном исследовании, на­ пример, методом статистического моделирования. В после­ дующих подразделах сформулирована задача оценки пара­ метров распределенных систем в статистической постановке и изложены общие методы ее решения.

2. 2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ

Проблема оценки параметров (идентификации) объектов управления освещена в многочисленных публикациях [2. 13— 2. 34], причем интерес к данной проблеме в последние годы

можно найти в обзорных докладах на симпозиумах и кон­ грессах ИФАК [2 . 20—2 . 2 2 ]. Среди методов оценки парамет­ ров по измерениям состояния объекта с помехами отметим методы теории статистических решений [1. 1, 2. 10, 2. 4], сто­ хастической аппроксимации [В. 17, 2. 23—2. 24] и метод Калмана [2 . 25, 2 . 26]. Для идентификации нелинейных объ­ ектов успешно применяются дисперсионные функции [2. 27]. Однако в большинстве работ исследуются объекты, описывае­ мые алгебраическими и обыкновенными дифференциальными уравнениями и представляющие собой сосредоточенные ем­ кости. Вопросы определения характеристик распределенных систем изучены и освещены в литературе слабо. В особенно­ сти это относится к синтезу алгоритмов оценки, пригодных для использования в адаптивных системах управления.

В докладе [2. 29] была поставлена задача оценки парамет­ ров распределенных объектов в условиях помех и указан путь синтеза оптимальных алгоритмов, основанный на теории ста­ тистических решений. Другие статистические методы иден­ тификации распределенных объектов изложены в [В. 34—

121

Рис. 2.2

В. 35, 2. 29—2. 32]. Системы без помех рассмотрены в рабо­ тах [В. 36, 2. 33], хотя отказ от дифференцирования функ­ ции q(x, t) в алгоритме идентификации и использование опе­ раций интегрирования учитывают требования повышения по­ мехозащищенности алгоритмов.

Отметим особенности задач оценки параметров и функ­ ций состояния распределенных объектов в- условиях помех.. Это, во-первых, сложность вычислений, связанных с нахож­ дением оптимальных алгоритмов, что обусловливает необхо­ димость разработки новых эффективных вычислительных, приемов. Сложнее, вообще говоря, оказывается и техниче­ ская реализация получаемых алгоритмов.. С другой стороны,, за счет учета распределенности можно получить дополнитель­ ную информацию о состоянии объекта. В некоторых случаях (например, при оценке величины чистого запаздывания в.

122

объекте) учет распределенности позволяет использовать еди­ ный подход теории статистических решений при исследова­ нии задач, для которых сама постановка оказывается затруд­ нительной, если объект аппроксимируется моделью с сосредо­

точенными параметрами.

Рассмотрим блок-схему, представленную на рис. 2. 2. Приняты обозначения: О — объект, состояние которого опи­

составляющие поля q(x, t) в выходные переменные ш(^), зави­ сящие только от времени; ИУ—измерительные устройства и каналы связи с пемехами; ВУ—вычислительное устройство. Из­ меряться могут все функции состояния ql{x, t) или часть, т. е.

размерность п вектора уг( х ^ ) ^ || y'{x,t)...yJ(x,t)...yn(x,t) || т

меньше или равна N, причем yr(x,t)— результат комбинации qJ\x,t) и пространственно-распределенной случайной помехи hJ\x,t). Аналогично yw,V= \\v°vl \\ т— измеренные с помеха­ ми hw, || q°,ql || т значения выхода w и входных воздействий- и= || и°а11| г . Вид уравнений объекта, плотности вероятно­ сти случайных сигналов, способ комбинации полезных, сигналов и помех в измерительных устройствах и каналах связи предполагаются известными. Помехи h(x,t),hw(t),q°(i), ql(t) статистически независимые с независимыми соседними значениями. Не зависят они также от q(x,t).

В качестве неизвестных параметров р могут выступать: а) случайные коэффициенты pi дифференциального уравнения в частных производных; б) параметры рг, определяющие воз­ действия на объект на границе (рг входят в выражения для граничных условий); в) параметры ро, характеризующие вид начального состояния q(x, 0) = 170(1.1, х). Таким образом, век­ торная случайная величина р представляет собой совокуп­ ность перечисленных параметров. Важность возможно более точного знания физических параметров (например, коэффи­ циента теплопередачи теплообменника) систем подчеркива­ ется в ряде работ [2. 34, 2. 50, 2. 51].

Пусть математическая модель объекта задана одним изспособов, описанных во введении, например, в виде уравне­ ния (В. 26) с точностью до вектора параметров р. Модель, считаем адекватной исследуемому процессу. Поскольку урав­ нение (В. 26) описывает реальный производственный объект, оно должно обладать следующими свойствами: решение его>-

123;

•существует, является единственным при данных входных воз­ действиях и непрерывно зависит от начальных условий. Зна­ чит, можно найти (см. подраздел 1 . 2 ):

o»(0 = -S1(?(* .^ .

0 , 5=1,2,...

где А\, В \— функционалы, U — ступенчатая функция времени. Для дискретно-непрерывных систем, когда функции сотоя-

•ния рассматриваются в фиксированных точках хк с интерва­ лом квантования Ах и в дискретные моменты времени s с ин­ тервалом At и Z = 0, уравнения объекта запишутся в виде

<7[K,s]=/4„(K,s,(7o,H-.^ts]),

(2. 19)

ay[s]=5,(^[0,s],...,^[/,s]),

где А и В — заданные функции своих аргументов.

Считаем, что выполняется условие: при стремлении Ах и At. к нулю по некоторому закону уравнение (2. 19) сходится к (2. 18), в котором Z = 0. При отсутствии помех объект предпола­ гается наблюдаемым по Калману и идентифицируемым [2. 10].

Задачу синтеза сформулируем следующим образом: при заданном критерии оптимальности R и известных статистиче­ ских характеристиках случайных сигналов требуется найти оптимальные оценки т параметров р (следовательно, и алго­ ритм действия вычислительного устройства ВУ), обеспечиваю щие минимум (или максимум) R.

Рассмотрим вначале оценки, оптимальные в смысле мини­

-'124

Функция правдоподобия, входящая в выражение (2. 21) при случайном U определяется

ЛУЫ.У® [s],V/ [s]/(j.)= Р(М*])Р(УЫ, yw[s], !/[% ,« [# * Q=

Й(ОД)

(2 . 22.)-.

S

= ^ P(£/[s]) J"J{P(0°[/] I u°lj])P(vl[j] I ul[j])X

£2(«[s]) j=\

к

Последнее преобразование проведено с учетом того, чтоизмерительные устройства безынерционные, а помехи неза­ висимые. Произведение в (2. 22) берется по всем k. Исполь­ зуя (2 . 2 1 ) и (2 . 2 2 ), запишем формулу риска в окончатель­ ном виде [2 . 28]

s

х{ \ [ Р м п \ u°ij])P(viij i| u![j])x i=i

X [ pjPlytfe,/] |<7[к,/>])]Р(ута[Л I ? [0 , г > ] ,-- Ж Ы )№ -

К

При отсутствии-помех- g s°, g-1'имеем;

Если переменные w не могут быть измерены, из (2. 25) шолучим

as= [ ^ '5(!А,^ ) Р ( |х ) П { П Р ( у [ л : л ] |9к ,/,р ])} с ?£2 =

(2 . 26)

Оптимальная в смысле минимума среднего риска оцен­ ка ms* находится из условия

Применение методов максимума апостериорной плотности вероятности Ps(p) и максимума правдоподобия сводится к максимизации по р. функций (2. 28) и (2. 29) соответст­ венно:

s n s

’где

АоДЛ= ln P (y J / 1| ?[(),/>,].....?[/,/>!) -

‘126

c— некоторая выбранная константа, например, нуль. Экстраполяция результатов на непрерывную систему

возможна, если существуют пределы:

+ j* A w b w V -fW ^ d£2(ti) = mln;

£2(0

б) по критерию максимума апостериорной вероятности

127

В частном случае, когда помехи в измерительных устройствах являются белыми гауссовыми шумами, форму­ лы (2. 34)—(2. 36) упрощаются. Например, (2. 35) для скалярного q(x,i) перепишется в виде

t

(2. 37)

О

^[q2(\i,x,t)—2q(\>.,x,t)y(x,t)]dxdt = min

н-

о о

где S w, 5/j— спектральные плотности шумов hw и h(x,t). Приравнивая производную по ^ выражения, стоящего

слева в (2. 37), нулю, получим

о

(2 . 38)

о о

Изложенный подход может быть применен и в случае, когда

128

Пусть система включена в работу достаточно давно .и мо­ жно не учитывать начальные условия. Тогда

—гх

q(x,t,\i) = {xe cos(<ut—>rx),

r = ] f l D -

В вычислительное устройство поступает аддитивная смесь сигнала q(x, t) и пространственно-распределенной помехи h(x, t) с независимыми значениями и -спектральной плот­ ностью Sh , т. е.

y(x,t)=q(x,t)+h(x,t).

- ехр<

Функция потерь квадратичная: U7(p, т ) = .( р —т ) 2. .'Дяя на­ хождения оптимальной оценки т* достаточно минимизировать по т выражение

После некоторых вычислений находим

t ОО

\(2. '42)

1129