книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами

Та= а Н -у % ц Я ’й >

Й(У[*Я.®])

если в s-й момент времени производится измерение w, т. а s кратно т,

Ts==as + ^Ts+i*^>

Й(У[«Л>5])

если s не кратно х, причем

У1к„,в]= II yl/c^s],...,у 1кп,s] || т,

160

Буквой v (v < s) обозначен номер такта, ближайшего к s-му,

вкоторый измеряется до.

Вработе [В. 16] рассмотрена задача управления линейным объектом с запаздыванием и одним косвенным показателем. Полученное управляющее устройство можно представить так, как показано на рис. 3. 1. В этом случае ВУ-1 включает звено

сзапаздыванием и фильтр, параметры которого меняются скачком при каждом новом измерении выхода до.

3.2. АДАПТИВНЫЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫЙ КОНТРОЛЬ

ВРАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМАХ

Выше, в разделах 1 и 2, а также в ряде работ (например, [В. 56], [3. 7—3. 11]) указывалось на возможность примене­ ния для управления объектами распределенного контроля, позволяющего учесть свойства распределенности управляемо­ го процесса и тем самым повысить качество систем управле­ ния. При этом возникает задача определения оптимальной ве­ совой функции распределенного контроля. Такая задача ре­ шается, например, в детерминистской постановке в работе [3. 8]. Автор синтезирует оптимальную весовую функцию рас­ пределенного контроля для объекта с известным математиче­ ским описанием и заданным управляющим устройством.

Статистическая постановка задачи содержится в [3. 9— 3. 11]. Неполнота информации о протекании процессов в уп­ равляемом объекте и изменение режимов работы приводит к задаче применения адаптивного распределенного контроля, т. е. построению такого устройства контроля, в котором мож­ но менять его весовую функцию в зависимости от состояния регулируемого объекта. Действительно, при управлении та­ кими процессами оптимальная весовая функция распределен­ ного контроля для данного времени, вследствие дрейфа харак­ теристик, в последующие моменты времени может значитель­ но отличаться от оптимальной. Ниже синтезируется устройство адаптивного дискретного распределенного контроля косвен­ ных показателей для одного класса распределенных объектов [3. 9—3. 11]. Считаем, что в системе на рис. 3. 1 блок УБ от­ сутствует, ВУ-1 решает задачу дискретного распределенного контроля q{xK, /) и прогноза выхода до, а ВУ-2 предназначено для настройки ВУ-1 путем коррекции вектора весовых коэф­ фициентов

а = II «1,га,••■,«/ II т-

Вид уравнений, описывающих объект, неизвестен, но дол­ жен удовлетворять следующему условию: регрессия до на q может быть аппроксимирована линейной зависимостью. Пред­ положив, что q измеряется точно, введем сигнал дискретного распределенного контроля

1

Q(s]= У] aKqKlxK,s —хЛ]=oc3"^[s—т],

к = 0

Если можно задать модель объекта по каналам «контролируе­ мые входы и — косвенные q и выходные показатели ну», т о сигнал в непрерывном времени целесообразно формировать в виде [3. 12]

а{хк,р) и w(p).

Слагаемое f в (3. 4) может отсутствовать.

Определим весовые коэффициенты дискретного распре­ деленного контроля ак (к—1, 2, .., I) такие, чтобы косвенный показатель был наилучшим по критерию R приближением вы­ ходного показателя до, причем

где G — заданный оператор преобразования выхода до.

При квадратической функции потерь задача определения

стохастической аппроксимации [В. 17, 3. 9—3. 10]. Алгоритм настройки вектора коэффициентов имеет вид

a[s] =a[s—1]—ГЫ Va W(a[s— 1 l,ce»[s],G—1qr[s—~1}, (3. 6)

162

где Va № — градиент функции потерь W по вектору а;

G-1 — оператор, обратный оператору G (например, опера­ тор задержки, обратный оператору прогнозирования);

r[s] — матрица переменных коэффициентов, удовлетво­ ряющих условиям Роббинса и Монро. Этим условиям, в част­ ности, удовлетворяет диагональная матрица

стемах с адаптацией возникают трудности, связанные с огра­ ниченной длиной реализации сигналов. Применение же адап­ тации оправдано лишь при дрейфующем а*. В противном случае параметры определяются один раз во время наладки системы и затем не меняются. Следовательно, с одной сторо­ ны получение очень длинных реализаций затруднительно, с другой — нецелесообразно из-за возможной нестационарностн объекта. Поэтому повышение скорости сходимости явля­ ется одним из условий эффективного применения алгоритмов [3. 13]. В зависимости от выбора A[s] получаются различные модификации алгоритма (3. 6). Один из способов ускорения сходимости предложен Г. Кестеном [3. 14]. Коэффициенты T k [ s ] в алгоритме выбираются следующим образом:

-рД1]= £к, ТЛ2] = Вк/2;

s

^КЫ = 5 К[2+ ^ £ { (aKUl—0LK[i— l])(aKU— П—aKU—2])}]—1;

f 1 при {-)<0

(3. 8)

j 0 при { )>0.

Ускорение сходимости достигается за счет того, что в об­ ласти, удаленной от оптимальных значений коэффициентов, выражение (ак[Л—a jt —1]) редко меняет знак. Поэтому коэффициент Тк изменяется в этой области медленнее, чем коэффициент, входящий в матрицу K[s] (3. 7) обычного ва­

163

рианта алгоритма стохастической аппроксимации. В окрест­ ности точки оптимума [s] уменьшается, обеспечивая асимптотическую сходимость.

Я- 3. Цыпкиным [В. 17] предложено находить компонен­ ты Тк диагональной матрицы (3. 7) путем минимизации по вектору 7 Ы = II 70[s]...f/[s] || т выборочного функционала

При квадратичной функции потерь W такой подход приводит к рекуррентной форме записи алгоритма наименьших квад­ ратов. При этом

s

/= 1

164

.cr-

.«л

Рис. 3.5

Отметим, что структура последнего алгоритма такова, что начальные значения компонентов вектора а[0] перестают вли­ ять на величины настраиваемых коэффициентов спустя I так­ тов работы алгоритма. Поэтому априорные сведения относи­ тельно а при использовании формул наименьших квадратов бесполезны.

Экспериментальная проверка работоспособности различ­ ных модификаций алгоритма (3. 6) настройки весовых коэф­ фициентов осуществлялась в системе дискретного распреде­ ленного контроля процесса помола клинкера в цементной мельнице открытого цикла [3. 10]. Рис. 3. 3 иллюстрирует изменение во времени расстояния до области оптимума (пунк­

рисунка видно, насколько характер сходимости зависит от вы­

3. 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С АДАПТИВНЫМ РАСПРЕДЕЛЕННЫМ КОНТРОЛЕМ

КОСВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Рассмотрим общий подход к решению задач синтеза адап­ тивных алгоритмов параметрической оптимизации замкну­ тых систем с распределенным контролем при наличии несколь­ ких управляющих входов и и нескольких выходов ху, измеряе­ мых с помехами h. На рис. 3. 1 показана блок-схема системы.

К объекту приложены сосредоточенные ц°(0. МО и распре­ деленное ц(х, t) возмущающие воздействия. ВУ-2 работает на

лизация ВУ-2 возможна, например, в виде программы управ­ ляющей вычислительной машины (УВМ), а УБ и ВУ-1 — на обычной аппаратуре промышленной автоматики. При пере­ рыве в поступлении данных о w или при выходе из строя и отключении УВМ локальная система регулирования продол­

167

жает работать с постоянными ненастраиваемыми параметра­ ми. Структуры блоков УБ и ВУ-1 считаем известными. Возмо­ жен и другой путь, когда все устройства УБ, ВУ-1, ВУ-2 реали­ зуются программно на УВМ.

Критерий оптимальности работы системы R определяется значениями выходного показателя до, согласно (3. 1).

Функция потерь W — выпуклая дифференцируемая. Пред­ полагаем, что в допустимой области изменения параметров а функция /?(а) имеет единственный экстремум. Условия су­ ществования и единственности экстремума должны быть рас­ смотрены особо, применительно к отдельным классам систем. Задача синтеза состоит в следующем. Требуется найти алго­ ритм функционирования ВУ-2, обеспечивающий в условиях случайных помех сходимость параметров к оптимальным зна­ чениям а*, при которых

Воспользуемся методами стохастической аппроксимации и теории чувствительности. Рассмотрим вначале простой одно­ мерный случай, а затем проведем обобщение результатов на многомерные линейные системы [3. 151.

3. 3. 1. Настройка коэффициентов распределенного контроля в замкнутой схеме

Пусть объект с распределенными параметрами устойчив и описывается следующими уравнениями в операционной

Здесь Фи (р ), Ф,А(р), Ф(х, р) — передаточные функции, при­

чем Ф{х, р) зависит не только от оператора р, но и от прост­ ранственной координаты х. Возмущающие воздействия ц°(/), K(t) считаем стационарными случайными функциями. Распре­ деленное возмущение ц(х, /) — случайное поле, стационарное по аргументу /; А\ и А2 — некоторые линейные операторы, ха­ рактеризующие связь между ц(х, /) и выходными сигналами

16»

q(x.. t) и w(t)\ контроль q (x, i) осуществляется в дискретном ряде точек х i (i = О, 1, /). Управление определяется сле­ дующим выражением:

гдеФ ^д) — передаточная функция регулятора. Все входные и выходные переменные считаем скалярами. Предполагаем также, что инерционность и запаздывание в канале «управ­ ление и — выход w» значительно больше, чем в контуре ре­ гулирования по косвенным показателям. Это естественное предположение обычно оправдывается на практике. Одновре­ менно это одно из условий эффективного применения косвен­ ных показателей для целей управления.

Определим градиент функции потерь W по а:

(/=0,1,...,/)

В соответствии с [3. 15] запишем алгоритм настройки пара­ метров распределенного контроля внепрерывной форме:

где у (/) — матрица переменных коэффициентов, удовлетво­ ряющих условиям Роббинса—Монро. Обычный путь получения функций чувствительности S/ [3. 16] состоит в построении модели чувствительности, на вход которой подается сигнал ге. Учитывая спорадический характер поступления сигнала w и возможность случайного перерыва, откажемся от такого пути ипопытаемся сформировать функциичувствительности 5 /, используя лишь косвенные показатели qi. При этом можно также надеяться на ослабление требований к точности реали­ зации модели чувствительности и упрощение системы.

169