книги из ГПНТБ / Живоглядов, В. П. Адаптация в автоматизированных системах управления технологическими процессами

где Kui*1),

(х1)— коэффициенты,

зависящие

общем

случае от х 1, или в дискретной

по

t и х 1 системе

^[ArJs]=/CUKM[s—к] + /^ к (X[s—к],

(1. 149>

X

t

коэффициенты.

где К= Т Х х ’ S== д7 ’ Кик’

Функцию

потерь

примем в виде

lFs= (g*[s^.T] —KlLU[s\ —

—К^ p[s])2.

Для

нахождения

оптимального

управления

Ply[*j\ I v-[i— K ] M i— K])=

1 _

f

(у [ ^ \ —К ^ и - к ] —Кики\1—к]) \ _

oh\K\V2~

Р1

2о*А[к]

J

(1. 150)-

где'

S— 1

I

^

а' S + ' ~

P(v-s) J

J I [~}P { y n j IPj—Ki llj —k) J ^ =

■ 1 '

Tv"* ^

- 1=1

K=°

Q(n-i)

1

s—1

= A J

... jexp

А Л

^ j(lV ~ PHy-i)2A i+

2 a 2

/=1

s —

1

l

^

^

{Укj

V

V'j —k

Kukuj—к)2у]к

djir ..rfixs,

j —1к= 0

% =

0, ^ — » 0<o*A<oo ;

(1. 151))

Выражение в (1. 151) в фигурных скобках равно:

{■}= —{—|*V 0+ tlSiA + .»+PV iJPs-i—гЫЯо+гн)—

(1.

152>

5—1

1

—2\i1(q°1-\-r\i2)—...~2^s- 1q°s- 1+ - ~ Y

j=

0

л с = 0

где

Ро =^Л ~(т + Дд);

А

A = ^ ^ " ( A 1+P2A i+m ) при

s—I;

(1.

153>

P /-i=

(

I

Если же

для

всех 2==0,1,.../, то

т = |( 1+1

при

s—г > /

{ s—i

при

k = s — г'<Х

N

<7i°=

i j ^ . / = « + ' ПРИ z= 0>b--,s—2,

АГ=0

тде

jV=min{/,s—i—1).

"Подставив

(1. 152)

в выражение

для

a's+T, a"s+T и вы­

полнив ряд

интегрирований,

находим по формуле (1. 150

оптимальное управление m*[s)

k*[s]= -jr <7*[s+ t] —

2а2/гр s_ u

-1 4"

Лц

г

(^,s—1+••• +

r

W . . . ) +

P s - 2,1

Pol

P s - 2,1

1+ p s —3,1 ■(5l,s—2 + •■ Pol

H-

~+^K,S—1+

P s— 1— K,1 -(ZK,s— 2 +

П^s-l-U

i= l

'+ - H —

~— 5*с,к)...)Ч—

i-------—--------- (Zl,s—1 +

+

^ ------в 1в- 2 + - + - £ Н « ) - - ) И . (1-

154>

Ps—2—1,1

Poi

где

Pi.1=Pi—

(1.

155>

Pi-i,i

S— 1

I

Ч s+ t

§Kj(yKj KuiiUj—fc)

S k .s — 1

K 0 , 1 , - . . , / ,

157>

(1.

g*j=gK,!+1—^Г------- ■

/= s —2,..., 1,0.

.(1-

158)

Pi—к, 1

При т)к=1 и любых к и / и

0< р<1 имеет

место

не­

равенства:

0<С§ко<С---<СЯку—i <^ - § K j <-ig ic ,s —

О-

159)'

' >

- , ‘г

«*-■> - i r ^ ^ r ^ o .

Доказательство

этого

факта опирается на

результаты,,

описанные

выше.

оптимальный

алгоритм управления явля­

Таким

образом,

формация в УУ обновляется.

режим и

распространим ре­

Рассмотрим

стационарный

зультаты на непрерывную систему

при

/( к=1,

о2Л[^]= аг/,в

к = 0 ,1 .-

Естественно

предположить,

что

в УУ можно

будет выде­

из

Пусть

интервалы

квантования

Д t

и Дли малы и г'-»-со,

(1- 155)

находим

г2

Р<*,\ - P i

,

-

-

г 00,1

РооЛ = -г^-т ( AI+P2 д 1+от)— Г—— ,

(1-160)

lah

Р00,1

так

как при этом Рп=Раз,\ ~Pi—1.1

•

Решая

уравнение

(1.

160) и учитывая

условие р 00д > р 0,

получаем

т + Д х+/72Д X+ V (m + Д 1—р2 Д 1)2—4р2Д 21

8

Рсо,1 —

4°д2

W

(1.

161)

Для перехода к непрерывной системе

введем допущение

°л2 (2*ySh

(1-

162)

Д х Д t

При малых ДгУ+О можно записать

Д1=-

(2* r s h

А х { М ) г2аю^

•

Используя

(1. 161),

получим

г

1

1

РОО,-1

т

■а+1°д /

\ + L ° h t '

2 Д 7

x + v O

t la

j

L°(-q)df]

“ * ( 0 S X

о о

0

( у(*,*-о~

—Ku(x)u(t—0— -£• ) \dxdO.

(1. 167>

Весовая

функция

УУ

зависит

от

пространственной

координаты х и времени 0 и

представляет

собой

некото­

рую поверхность

с

максимумом

в

точке (х=0,

0= 0).

Пусть

fZg — Ol°V

2 rSSlt

И Х + ц О > /1Г

Тогда

/ц

jt-f-оО

л+t/O

L°{t])df\=

^

dt{ +

^

fl?vj/as/H+ at2 =

О

о

/„

= - J r

T/ M H + a i2)3-

2 oi3

V «2/H+ Q'"l+

3^2

g'(x, 0)= e

-e

■e

.

(1 .

168)

Перейдем

к

случаю,

когда

х + и 0 < /„.

Этому условию со­

ответствует

наиболее важная

часть

весовой функции.

Находим

x + v b

L*(r\)d-q= _2_

^

У(айх+сьВ-Ь а ^)3—Gj3

(1.

169)

О

Зс

Итак,

при

лН-Ы)</н

нельзя

представить

g(x, О)

только от х,

а другая — только

от 0.

Следовательно,

УУ

__D_

«*(*) = Ка Ч*У+ Ч ) - М 1К„ \е

—Ш

■v

е

'[у(х,*?—0)—

О

О

Кахи

t—0-

л:

dx 1 dQ

(1. 170)

v

JL . \

V

—р?и

0 W ~ D + P

>-

где

lHD

сс=е

7

2247

97

Рис. 1.11

P(A[s])~A/(0,q 7 )

гили

P{h[s\)=yf

* 1 e'cpj- y At[s]Q aA[s] j,

(l.

172)V

V

(1.

173)

rs+T=Hf{^r[C?(9*-^[s+x])(7*-<7[s+T])r] | и [«-1],

(1. 174)

y|s—1]}=Л4{(?* —^[s+ x])7"

—ф + т ] ) | / s

!}