Основы_акустики_Гринченко_Вовк

отношения амплитуд F1 и F2. Итак, возникновение резонанса в систе- ме с двумя степенями свободы при действии двух сил зависит от рас- пределения амплитуд внешних сил F1 и F2. Поэтому возможна ситуа- ция, когда частота внешней силы совпадает с одной из частот нор- мальных колебаний, но резонансное раскачивание системы при этом не наблюдается. Таким образом, для возникновения резонанса в сис- теме необходимо, но не достаточно, чтобы частота внешней силы сов- падала с одной из собственных частот.

Практически важен случай, когда на систему действует одна сила. Пусть F1 ≠ 0 и F2 = 0. Тогда, согласно формуле (2.112) амплитуды ко- лебаний имеют вид

На рис. 2.22, а, б приведены зависимости амплитуд колебаний A1 и A2 парциальных систем от частоты внешней силы ω. На графиках можно увидеть интервалы частот, где изменение координаты x1 (t) или x2 (t) происходит в фазе с внешней силой или в противофазе. На час- тотах резонанса ω = ω – и ω = ω + кривые для A1 и A2 стремятся в бес- конечность; при ω → ∞ обе зависимости стремятся к нулю. В то время, как A2 для всех значений ω отлична от нуля, A1 приобретает нулевое значение при ω = ω2. Физически это объясняется тем, что при опреде- ленной настройке масса m2 колеблется в противофазе с внешней си- лой и именно с такой амплитудой, что сила, с которой пружина K3 действует на массу m1, уравновешивает внешнюю силу. Для этого ам- плитуда колебаний массы m2, как следует из (2.113), должна быть равной

Этот эффект используется при конструировании разных глушите- лей колебаний. Понятно, что такие глушители способны ослаблять ко- лебания определенной частоты или частоты, которая мало изменяет- ся. Отметим, что в реальной системе, где есть демпфирование, иде- альный характер гашения нарушается.

81

бых начальных условиях определяются суперпозицией N нормальных колебаний. Амплитуды отдельных нормальных колебаний определяют- ся из начальных условий, которые, естественно, записываются для каждой обобщенной координаты отдельно. В случае воздействия на систему в некоторый момент времени t гармонической силы, прило- женной к одной из частей системы, во всей системе возбуждаются сложные колебания, которые состоят из собственных колебаний с час- тотами, равными нормальным частотам системы, и вынужденных ко- лебаний с частотой внешней силы. При наличии демпфирования в системе собственные колебания за некоторое время затухают и в сис- теме остаются вынужденные колебания. Конечно, исследование сис- тем, которые имеют N степеней свободы, становится более трудоем- ким.

2.7. Биения

Во многих физических явлениях наблюдается суперпози- ция двух и больше гармонических колебаний с разными частотами. В качестве примера приведем колебания системы с двумя степенями свободы, которые представляют собой суперпозицию двух нормаль- ных колебаний системы. Примером другого рода будут гармонические колебания, вызванные внешними силами. Источниками таких внеш- них сил могут быть, например, два камертона разной частоты. Каж- дый камертон дает свою “ноту”, которая распространяется в воздухе как звуковая волна. Движение воздуха, которое воспринимается на- шей барабанной перепонкой, и является суперпозицией гармониче- ских колебаний.

Математическое описание процессов в приведенных примерах одинаково. Запишем суперпозицию гармонических колебаний

ξ1 (t ) = a1 cos (ω1t ) и ξ2 (t ) = a2 cos (ω2t ) :

Перепишем (2.115) в другом виде. Для этого введем разностную час- тоту:

Всегда можно найти такие действительные величины A(t) и ψ (t), что- бы удовлетворить уравнения

83

Рис. 2.24. Графики биений ( Ω /ω 1= 0,1): а —a2 = a12 , б — а2 = а1

На рис. 2.24 приведены графики суперпозиции двух колебаний, характерных для биений; соотношение между частотами складывае- мых колебаний: Ω/ω 1 = 0,1.

Итак, две формы записи суперпозиции колебаний (2.115) и (2.122) математически эквивалентны, и можно лишь говорить об удобстве записи (2.122) при анализе колебательного процесса. Но с точки зре- ния физики может быть так, что эти две формы записи принципи- ально будут различаться. Ситуация будет определяться конкретным приемником звуковых колебаний.

Пусть таким приемником будет ухо человека. Если разностная час- тота Ω = ω 2 − ω 1 достаточно велика, то мы слышим звучание двух тонов, и математическим отображением такой ситуации есть форму- ла (2.115). Прослушивая акустические сигналы с близкими частотами, высота тона которых заметно различается при их раздельном про- слушивании, возникает впечатление звучания одного чистого тона с

85

При этом значение частоты Ω определяется конструкцией прибора. Если взять вольтметр с большей инерцией индикатора, то частота Ω, при которой возникают биения, уменьшится.

В заключении, вспомним систему с двумя степенями свободы. Те- перь понятно, что свободные колебания в системе, которые представ- ляются в виде суперпозиции двух нормальных колебаний с частотами ω + и ω – (рис. 2.22), представляют собой явление биения. Энергия пе- реходит от одной системы к другой с частотой биения.

2.8. Цепочка идентичных осцилляторов

Систему связанных осцилляторов, в которой они размеще- ны таким образом, что каждый из осцилляторов соединен только с двумя соседними (за исключением, возможно, крайних), называют цепочкой осцилляторов. Исследование процессов в цепочке связан- ных осцилляторов имеет большое значение, как в теоретическом пла- не, так и с точки зрения практических применений. Например, ши- рокое распространение получили радиотехнические, механические и акустические цепочки, которые используют как фильтры для выделе- ния или гашения сигналов с частотами в определенной полосе частот. Для построения современной теории твердого тела большую роль сыгра- ла модель кристалла, в которой периодически расположенные атомы были изображены шариками, соединенными между собой пружинами, которые заменяли межатомные силы.

Большое значение имеет тот факт, что в случае цепочки связанных идентичных осцилляторов можно осуществить полный теоретический анализ. Рассмотрим цепочку в виде безмассовой струны длиной l, на которой размещены N + 2 шариков массой m каждый (рис. 2.25). Пусть на концах струны x = 0 и x = l шарики закреплены. Все шарики

струны в равновесии равно F. Шарики выполняют поперечные коле- бания в плоскости рисунка.

Рис. 2.25. Равновесное положение струны с шариками

В примере п. 2.3 (см. рис. 2.5) рассмотрено колебание одного ша- рика на безмассовой струне. Согласно приведенным соображениям в случае малых отклонений шарика от положения равновесия силу на- тяжения F можно считать постоянной в ходе колебательного процес-

87

−ω2m sin(kan ) = Fa sin(ka (n +1))− 2sin(kan )+ sin(ka (n −1)) ,

откуда, после ряда тригонометрических преобразований, получим

Остается использовать условие (2.126в). Подставляя в это условие вы- ражение (2.127), имеем равенство sin(ka (N +1)) = 0 , из которого вы- текает, что

Укажем, что максимальное значение j равно N, т.е. числу степеней свободы в системе на рис. 2.25. Уравнения (2.128) и (2.129) опреде- ляют собственные частоты колебаний цепочки осцилляторов

В соответствии с формулами (2.127) и (2.129) получим

что задает распределение амплитуд колебаний осцилляторов вдоль цепочки для j-й моды.

Рис. 2.27. Распределение собственных частот системы связанных идентич- ных осцилляторов (N = 5)

Распределение собственных частот удобно изобразить графически так, как показано на рис. 2.27. Здесь построен график функции, кото- рая задается уравнением (2.128). Положение собственных частот на графике отмечено точками, координаты которых на оси абсцисс опре- деляются формулой (2.129). На рис. 2.27 приведен случай, когда N = 5.

89