Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Записывая (3.171) для собственных форм колебаний мембраны, ограничиваемся лишь функцией cos(nθ) при определении угловой за- висимости. Ясно, что выражение для Wnm(r, θ), будет удовлетворять уравнение Гельмгольца в полярных координатах, если заменить cos(nθ) на cos(nθ + αnm). Возможность такой замены указывает на то, что мембрана имеет для одной собственной частоты бесконечное множество собственных форм, т.е. наблюдаются указанные для пря- моугольной мембраны случаи вырождения. Понятно, что это не вызы- вает затруднений при решении задачи, поскольку вся неопределен- ность устраняется заданием конкретного вида функций Q1(r, θ) и

Q2(r, θ).

Как и в случае прямоугольной мембраны, каждая собственная форма колебаний мембраны характеризуется своими узловыми линиями. В данном случае такими линиями являются узловые окружности и узловые диаметры, которые определяются соответствующими уравнениями:

Первое из этих уравнений определяет m окружностей, концентриче- ских с контуром мембраны; радиусы rq этих окружностей определя- ются соотношением: knmrq = knqa, отсюда

Рис. 3.26. График функции J0(ξ)

Понятно, что корни knq должны удовлетворять неравенству: knq ≤ knm, а при q = m радиус rm должен совпадать с радиусом мембраны a. В качестве примера на рис. 3.26 приведен график функции Бесселя нулевого порядка. Корнями уравнения J0(k0ma) = 0 есть k01a, k02a, k03a, k04a, … Если рассматривать собственную форму колебаний W03, то, кроме контура мембраны, собственная форма этого колебания имеет две узловых окружности, радиусы которых находим из ра-

венств k03r1 = k01a и k03r2 = k02a; итак, r1 = k01a/k03 и r2 = k02a/k03.

161

Второе из уравнений (3.175) определяет n узловых диаметров мем- браны: действительно, (nθ + αnm) = (2p – 1)π/2, отсюда находим

θp = (2p – 1)π/(2n) – αnm/n, p = 1, 2, …, n. На рис. 3.27 изображены соб-

ственные формы первых нормальных колебаний круглой мембраны. Белый и черный цвета на рис. 3.27 указывают на то, что смежные участки мембраны колеблются в противофазе.

Рис. 3.27. Собственные формы первых нормальных колебаний круглой мем- браны

Понятно, что мембрана любой формы имеет характерную совокупность собственных форм колебаний. Это утверждение справедливо и для таких объектов, как тонкая пластинка. Модель тонкой пластинки можно построить подобно модели мембраны, с той разницей, что восстанавливающая сила при ее колебании определяется изгибной упругостью, а сила натяжения отсутствует. Мы заговорили о пластинках, чтобы рассказать об экспериментах, которые впервые провел Хладни . Он заметил, что, когда на металлическую или стеклянную пластинку насыпать слой мелкого песка и потом возбуждать колебания, проводя по краю пластинки смычком, то песчинки выстроятся в геометрические фигуры. Ситуация для нас понятна: песчинки ссыпаются с

частей пластинки, которые колеблются, и накапливаются вдоль узловых линий. Полученные таким образом картины распределения узловых линий на-

зывают фигурами Хладни. Возможность “сделать звук видимым” волно- вала не только ученых того времени, но и многих людей. В связи с этим есть интересный исторический факт. В 1809 г. во время пребы- вания в Париже Хладни был приглашен продемонстрировать свои

Хладни (Chladnі) Ернст Флоренс Фридрих (1756—1827) — немецкий физик.

162

эксперименты в присутствии Наполеона и всего двора. Вот как опи- сывает свои впечатления Хладни [ , с. 26-27]:

“Когда я вошел, он находился в центре комнаты, очень доброжела- тельно поздоровался со мной. Наполеон проявил большую заинтересо- ванность к моим экспериментам и разъяснениям, и как эксперт по математическим вопросам попросил все объяснить более подробно, что мне было нелегко сделать. Он был хорошо осведомлен не только о том, что пока невозможно выполнить все необходимые расчеты для пластин неправильной формы, но и о том, что когда это и можно будет сделать, результаты будут очень полезны и для многих других объектов”.

Наверное, император был поражен увиденным: на следующий день Хладни получил вознаграждение в размере 6000 франков и, кроме этого, был назначен приз в 3000 франков за адекватное мате- матическое описание фигур Хладни. В 1816 г. это вознаграждение получила французская женщина-математик Софи Жермен . Факти- чески эксперименты Хладни обусловили постановку новой задачи математической физики — задачи о колебаниях мембраны и пласти- ны.

В наши дни фигуры Хладни продолжают использоваться для изу- чения колебаний подвижной поверхности электроакустического пре- образователя (например, диффузора громкоговорителя), колебаний в деках фортепиано, струнных музыкальных инструментов и, в частно- сти, тонкой настройки скрипок высокого качества. Но теперь в большинстве случаев для визуализации фигур Хладни вместо песчи- нок используется голографическая техника.

3.13. Задачи

3.1. Найдите частоту колебаний струны длиной 10 см пря- моугольного сечения 0,2 × 0,4 мм2. Удельная плотность материала стру- ны ρ0 = 7,8 г/см3, натяжение F = 10 Н.

Ответ: ≈ 633 Гц.

3.2. Определите натяжение стальной струны длиной l = 0,8 м и диаметром 0,3 мм, чтобы ее основная частота была равна 200 Гц.

Ответ: ≈ 56 Н.

Наполеон I, Наполеон Бонапарт (Napoleon Bonaparte) (1769—1821) —

французский государственный деятель и полководец, первый консул Фран- цузской республики (1799—1804), император французов (1804—1814 и март—июнь 1815).

Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос. — М.: Физматлит, 2004. — 376 с.

Жермен (Germain) София (1776—1831) — французский математик и механик.

163

Ответ: а) ЕК = 0, ЕП = 2Е, б) ЕК = 2Е, ЕП = 0.

3.11. Стальная струна (масса 0,01 кг, длиной 2 м, сила натяжения 10 Н) колеблется на частоте первой гармоники. Определите частоту колебаний и амплитуду скорости в точке 0,5 м от каждого конца струны, если амплитуда отклонения в центре струны равняется 0,02м. Определите полную энергию основной моды колебаний.

Ответ: 11,2 Гц; 0,99 м/с; 0,00494 Дж.

3.12. Скорость волны в струне равна 480 м/с. На каком расстоя- нии друг от друга находятся узлы стоячей волны с частотой 86 Гц.

Ответ: 2,79 м.

3.13. Скрипичная струна колеблется с частотой 196 Гц. С какой частотой она будет колебаться, если ее прижать на расстоянии 1/4 от конца?

Ответ: 261 Гц.

3.14. Точечная масса M прикреплена в некоторой точке к беско- нечной струне, которая имеет волновое сопротивление ρс. При рас- пространении вдоль струны поперечной волны с частотой ω она час- тично отражается от этой массы, а частично проходит. Граничные ус- ловия состоят в том, что смещение струны в непосредственной близо- сти справа и слева от массы одинаковы, а разность поперечных сил в этих самых точках равняется произведению массы на ее ускорение. Обозначив A1, B1 и A2 амплитуды соответственно падающей, отра-

3.15. Определите частоту основного колебания прямоугольной мембраны с поверхностной плотностью материала 5,4 10–2 кг/м2 и на- тяжением по контуру 50 Н/м, если ее размеры 4 × 6 см.

Ответ: 456 Гц.

3.16. Мембрана размером a × b возбуждается на наиболее низкой собственной частоте, которая равняется 500 Гц, с амплитудой сме- щения в центре 2 мм. Определите амплитуду смещения и скорости в точке A(a/4, b/4).

Ответ: 10–3 м, π м/с.

3.17. Определите частоту колебаний круглой мембраны диаметром 3 см, если скорость распространения волн с = 60 м/с.

Ответ: 766 Гц.

3.18. Прямоугольная мембрана размером 3 × 4 см возмущается так, что на ее большей стороне помещается три узловые линии. Опре-

165

делите частоту колебаний мембраны, если ее натяжение по контуру равняется 10 Н/м, а поверхностная плотность — 2 10–3 кг/м2.

Ответ: 3940 Гц.

3.19. Определите собственную частоту колебаний круглой мем- браны в двух случаях: первый — мембрана имеет один узловой диа- метр, второй — одну узловую окружность; диаметр мембраны равен 10 см, натяжение по контуру 50 Н/м, а поверхностная плотность ма- териала — 5 10—3 кг/м2.

Ответ: f01 = 610 Гц, f02 = 879 Гц.

3.20.Убедитесь в том, что полная энергия круговой мембраны при ее колебании на основной моде равняется 0,135πa2ρω2A2 , где а — радиус,

ρ— поверхностная плотность, ω — угловая частота колебаний, А — ам- плитуда в центре мембраны.

3.21.Найдите колебание круглой мембраны радиусом а с такими

3.22. Найдите колебание круглой мембраны радиусом а (F — сила натяжения, ρ — поверхностная плотность), если в начальный момент t = 0 мембрана оттянута так, что имеет форму параболоида враще- ния, т.е. w(r, 0) = A(1 – r 2/a2). Начальная скорость равна нулю: ∂w (r, 0)/∂t = 0. При нахождении решения воспользуйтесь формулами:

где kn, n = 1, 2, … — корни уравнения J0(kna) = 0, kn = ωn/c, c = Fρ .

3.23. Квадратная (со стороной b) мембрана, которая имеет в на- чальный момент t = 0 форму Axy(b – x)(b – y), где A > 0 — достаточно малое число, начинает колебание без начальной скорости. Исследуйте свободные колебания мембраны.

166

Р А З Д Е Л 4

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ ДЛЯ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Линейные уравнения очень важны. Они настолько важны, что физики и инженеры, пожалуй, половину своего времени тратят на решение линейных уравне- ний. Главная причина заключается в том, что основные законы физики часто линейны. Если мы поняли ли-

нейные уравнения, мы готовы в принципе понимать очень многие вещи.

Г. Фейнман [29, вып. 2, с. 422]

Явление распространения волн с давних времен побужда- ло ученых к размышлениям. Леонардо да Винчи в XV ст. писал о волнах [ ,с. 350]: “Импульс намного быстрее воды, потому что много- численны случаи, когда волна бежит от места своего возникновения, а вода не двигается с места, - подобие волн, образуемых в мае на ни- вах течением ветров; волны кажутся бегущими по полю, между тем нивы со своего места не сходят”.

Наш мир наполнен волнами. Образно говоря, волны “разбежались” из физики и охватили много процессов в живой и неживой природе. Акустические, иначе упругие, звуковые волны представляют процесс распространения колебаний в упругой среде.

Четвертый раздел посвящен построению математической модели акустической среды и соответствующих уравнений, с помощью кото- рых можно будет изучать упругие волны в жидкостях и газах. Аку- стику жидкостей и газов будем рассматривать совместно: возмуще- ние и в жидкости, и в газе одинаково передается силами давления, которые возникают при сжатии или расширении некоторой части жидкости или газа. Поэтому термин “жидкость”, естественно, обозна-

Фейнман (Feynman) Ричард Филипп (1918—1988) — американский физик, лауреат Нобелевской премии (1965).

Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci) (1452—1519) — итальянский ху-

дожник, скульптор, ученый и инженер.

Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. —

М.: Изд-во АН СССР, 1955. — 1027 с.

168

чает как капельные жидкости, так и газы. В упругих твердых телах возникают, кроме давления, еще и сдвиговые силы при изменении формы тела. В отличие от упругих твердых тел жидкости и газы не способны сдерживать силы сдвига, поэтому жидкости и газы не име- ют своей формы, а принимают форму сосуда. Вследствие этого есть важные отличия в акустическом поведении твердых тел и жидкостей. (Упругие волны в твердых телах рассмотрим в шестом разделе.)

4.1. Полная система уравнений акустики и ее линеаризация

Мир звуков настолько разнообразен и его роль столь вели- ка в нашей жизни, например, многочисленные технические приме- нения звуковых колебаний, что кажется удивительной возможность описать все это многообразие одной или несколькими математиче- скими формулами. Вместе с тем при определенных ограничениях это возможно. Именно такая задача будет предметом исследования дан- ного раздела. Его результатом будет получение так называемого вол- нового уравнения, в решении которого содержится много конкрет- ных волновых процессов: хорошо известных по опыту, и других, ме- нее очевидных, и даже мало изученных. Конечно, для решения по- ставленной задачи будет необходимо осуществить идеализацию и тем самым ограничить круг рассматриваемых явлений.

4.1.1. Модель акустической среды

Начнем с идеализации среды, в которой распространяют- ся звуковые волны, т.е. с построения ее математической модели. Ос- новные свойства математической модели среды такие.

1.Среда (полагаем) сплошная, несмотря на то, что реальные среды состоят из атомов и молекул, и, следовательно, дискретные. Под час- тицей среды, следует понимать не отдельный атом или молекулу, а малый, по сравнению с расстоянием, где состояние среды изменяется существенно (например, длина волны), “кусочек” среды, который со- стоит из очень большого числа атомов или молекул. Для газов это тре- бование еще более жесткое: частица должна быть большой по сравне- нию с длиной свободного пробега молекул. Сплошная среда характе- ризуется плотностью ρ(r,t) , кг/м3.

2.Среда (предположим) идеально сжимаемая — это означает, что частица среды под влиянием внешних сил изменяет свой объем, а при снятии нагрузки возвращается к прежнему объему. При этом можно считать степень сжатия постоянной на всем протяжении час- тицы, а силы взаимодействия между соседними частичками перпен- дикулярными к поверхности их раздела; такую силу, которая дейст- вует на единице площади, называют давлением. Давление считается

169

положительным, когда оно сжимающее. Такая ситуация с взаимодей- ствием между частицами характерна для жидкости и газообразных сред. Как отмечалось, в твердых телах, кроме давления, возникают еще и упругие напряжения сдвига при изменении формы частиц. По- этому существуют важные отличия в акустическом поведении твер- дых тел и жидкостей.

3. Среда (считаем) не проводит теплоту и, следовательно, теплооб- мен между ее отдельными частицами исключен. Таким образом, при распространении звуковых волн в среде, объемные деформации этой среды происходят без теплообмена. Это является важным моментом. Ведь, конечно, всякая среда при сжатии нагревается, а при расши- рении охлаждается, а давление зависит не только от степени сжатия среды, но и от ее температуры. Отсюда понятно, что восстанавли- вающая упругая сила будет зависеть от того, успевают ли выравни- ваться температурные разности, которые возникают в звуковой вол- не.

На самом деле, разности температур, в области звуковых частот (обычно это диапазон частот от 20 Гц до 20 кГц), практически не ус- певают выравниваться, т.е. справедливо предположение об отсутст- вии теплообмена. Как известно, такие процессы называют адиаба- тическими. Тем не менее, укажем, что к адиабатичности процесса сжатия-растяжение среды в области очень высоких частот нужно от- носиться осторожно. Действительно, для гармонической волны такие параметры среды, как плотность и температура (Т), изменяются вдоль пространственной координаты х по гармоническому закону, т.е.

T sin(kx), где k = 2πλ — волновое число, λ — длина волны. Отсюда градиент температур ∂T /∂x (2π/λ)cos(kx) . Как видим, он возраста- ет при увеличении частоты волны f (или уменьшении λ = c f , с —

скорость звука). Но поток теплоты Q между частичками среды про- порционален градиенту температуры Q ∂T ∂x и, соответственно, Q

возрастает с увеличением f.

Можно предположить, что при уменьшении частоты, когда про- цесс деформации среды происходит довольно медленно, адиабатиче- ский закон не выполняется. На практике это предположение не вы- полняется, поскольку участки с небольшим отличием температур размещаются на расстоянии половины длины волны одна от другой, и при уменьшении частоты одновременно с отрезком времени воз- растает и это расстояние, т.е. уменьшается градиент температуры. Поэтому адиабатические условия не нарушаются даже на наиболее низких (инфразвукових) частотах.

Построенная модель среды получила название идеально сжимае-

мой жидкости, или коротко — идеальная жидкость, или идеальная акустическая среда.

170