Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Рис. 5.8. Графики коэффициентов отражения и проникновение при θ = 0

Такие особенности процесса отражения и прохождения звука че- рез границу становятся понятными после определения энергетиче- ских соотношений. Энергетическим коэффициентом прохождения назвают отношение интенсивности прошедшей волны к интенсивно- сти падающей волны. Используя формулу (5.17), получаем

Тогда коэффициент отражения по энергии можно определить так:

Значение энергетических коэффициентов не зависит от того, в какой среде распространяется падающая на границу волна. Например, при переходе из воды в воздух (или наоборот) WE = 0,0011, т.е. 0,9989 всей падающей энергии отражается назад от границы. На рис. 5.8, в приведена зависимость VE и WE от параметра ξ. Согласно (5.54) сумма ординат кривых равна единице, что выражает закон сохранения энергии. При условиях ξ << 1 или ξ >> 1 почти вся энергия отражает- ся. Интересно отметить, что энергия делится пополам между отражен-

ной и прошедшей волнами при условии ξ = 3 2 2 , т.е. когда ξ≈ 0,172

или ξ≈ 5,83.

Итак, как следует из (5.48)—(5.51), отражение и прохождение вол- ны при нормальном падении определяется лишь величиной

211

ξ =ρ2c2 /(ρ1c1), т.е. отношением волновых сопротивлений сред. Если ξ→ ∞ (абсолютно жесткая поверхность отражения), то имеем Vp → 1, Vυ → –1. Как следствие, давление на границе увеличивается вдвое, а колебательная скорость равняется нулю. Реальным примером, близ- ким к такой ситуации, может быть отражения волны от границы воз- дух-вода (ξ ≈ 3,5 103 ). Если ξ → 0 (акустически мягкая поверхность отражения), то Vp → –1, Vυ → 1. Здесь колебательная скорость увели- чивается вдвое, а давление равняется нулю. Реальным примером, та- кого отражения, может служить отражение от границы вода-воздух (ξ ≈ 2,8 10–4 ). Эти примеры показывают, когда можно переходить от задачи сопряжения звуковых полей на границе радела двух сред к более простой задаче отражения от идеальных границ.

5.5.3. Анализ наклонного падения волны

Вернемся к общему случаю наклонного падения волны. Согласно (5.46) и (5.47) выражения для коэффициентов отражения и прохождения по давлению имеют вид

Равенство плотностей и скоростей звука в двух средах гарантиру- ет отсутствие отраженной волны при наклонном угле ее падения (то- гда как при нормальном падении достаточным условием было равен- ство ρ1c1 = ρ2c2). Однако, как следует из (5.55), при наклонном паде- нии возможно полное прохождение, если ρ2c2cosθ = ρ1c1cosθ2. Исполь- зуя закон Снеллиуса, находим формулу для угла θ, при котором про- исходит полное проникновение звука в другую среду:

Это возможно, если выполняются такие два условия:

1) (ρ1c1/ρ2c2 )2 −1 > 0,

(ρ1/ρ2 )2 −1

Условие 1 выполняется в двух случаях: а) ρ1c1 /(ρ2c2) > 1, ρ1/ρ2 > 1; б) ρ1c1 /(ρ2c2) < 1, ρ1/ρ2 < 1. Эти случаи вместе с условием 2 дают ис- комые условия полного прохождения звука при наклонном падении под углом θ (см. (5.57)): из “а” условия 1 и условия 2 получаем

Рис. 5.9. Зависимость коэффициента отражения Vp от угла падения θ: а — c1 > c2; б — c1 < c2

Итак, полное прохождение звука возможно, если большее удельное акустическое сопротивление имеет среда с меньшей скоростью рас- пространения звука. В этом случае возможно полное прохождение как из первой среды во вторую, так и наоборот.

Перепишем формулы (5.55) и (5.56) несколько иначе, исключив из них угол преломленной волны θ2 с помощью (5.45). Тогда, используя обозначения

получим

213

Как видим, характер зависимости коэффициентов Vp и Wp от угла падения θ существенно зависит от отношения скоростей звука n. Ес- ли n > 1, т.е. c1 > c2, то согласно (5.45) угол преломленной волны

всегда меньший, чем угол падения (θ2 < θ). На рис. 5.9, а приведена за- висимость коэффициента отражения Vp от угла падения θ при c1 > c2:

θ = 0 до Vp = –1 при θ = 90°, причем ход кривой зависит от соотноше- ния волновых сопротивлений ρ1c1 и ρ2c2.

Если n < 1, т.е. c1 < c2, то имеем θ2 > θ. Как следует из формулы (5.62), существует такой угол падения θ, когда угол преломления θ2 = 90°. Этот угол падения называют критическим, и определить его можно так:

до Vp = +1 при θ = θкр.

Возникает естественный вопрос, какой волновой процесс будет происходить в случае c1 < c2 при углах падения волны θ > θкр.

5.5.4. Звуковое поле при закритических углах падения волны

Для ответа на этот вопрос вернемся к решению задачи. При рассмотрении граничных условий на плоскости x = 0 были полу- чены соотношения (5.43). Физическая суть этих соотношений заклю- чается в утверждении, согласно которому, проекции волновых векто- ров на ось Oy падающей, отраженной и прошедшей волн должны быть одинаковыми. Поскольку частота падающей, отраженной и прошедшей волн одинаковая, то и пространственный период (т.е.

214

длина волны следа) на плоскости x = 0 для всех волн должен быть одинаковым. Иллюстрацией к сказанному есть рис. 5.10, на котором изображено распределение амплитуды давления в падающей и про- шедшей волне (отраженная волна не показана).

Рис. 5.10. Распределение амплитуды давления в падающей и прошедшей волне:

а — ξ = 0,8, c2 /c1 = 0,6, θ = 60°, θ2 ≈ 31°; б — ξ = 1,5, c2 /c1 = 1,45, θ = 40°, θ2 ≈ 69°, θкр ≈ 44°

Как уже отмечалось, нарушение этих соотношений приводит к не- возможности выполнения граничных условий на всей поверхности границы x = 0. В случае критического угла падения волновой вектор следа прошедшей волны достигает максимального значения, т.е. вол- новой вектор во второй среде параллелен границе x = 0 и, при даль- нейшем увеличении угла падения проекция волнового вектора па- дающей волны увеличивается, а для прошедшей волны дальнейшее увеличение проекции волнового вектора невозможно.

Таким образом, при условии θ > θкр представление прошедшей волны в виде плоской бегущей волны, а именно

215

не соответствует сложившейся ситуации. Единственно, о чем можно пока говорить, так это о характере волнового процесса вдоль оси Oy. Эта зависимость определяется следом падающей волны на ось Oy, т.е. функцией exp(–ik1y sinθ). Итак, для углов θ > θкр прошедшую волну можно представить в таком виде:

где F(x) — функция, которая определяет волновой процесс вдоль оси Ox, пока неизвестная. Поскольку волна (5.66) должна удовлетворять уравнению (5.37), то, подставив (5.66) в (5.37), получим дифференци- альное уравнение для функции F(x):

Его решение хорошо известно; оно определяется суперпозицией функций

Поскольку при условии θ > θкр имеем k1 sinθ > k2 , то целесообразно их записать так:

Вторая экспонента будет определять волну, в которой с увеличением ко- ординаты x, т.е. при отдалении от границы раздела сред, бесконечно возрастает энергия волны. Это противоречит физической сути. Поэто- му, отбросив второе решение и оставляя первое, запишем прошедшую волну при условии θ > θкр в виде

Возвратимся снова к граничным условиям (5.38), (5.39) с учетом нового представления волны p2 в виде (5.68). Подставляя выражения

(5.35), (5.40) и (5.68) в уравнения (5.38), (5.39), получим систему ал-

гебраических уравнений:

Решая эту систему, находим

216

k1 sinθ > k2 или, иначе, sinθ > n. Переписываем формулы (5.70), (5.71),

Как видим, Vp и Wp являются комплексными величинами. Учитывая то, что |Vp| = 1, запишем (5.72) и (5.73) в виде

Итак, давление звукового поля в первой среде можно представить так:

Таким образом, при условии θ > θкр имеем |Vp| = 1, т.е. волна пол- ностью отражается. Это явление получило название полного внут- реннего отражения. Во второй среде будем иметь бегущую вдоль оси Oy плоскую волну, причем ее амплитуда с отдалением от границы спадает вдоль волнового фронта (вдоль оси Ox) по экспоненциальному закону. Эта особенность определяет название такой волны — неодно- родная плоская волна, в отличие от “обычных” плоских волн, которые называют однородными. Графической иллюстрацией к описанию не- однородной волны есть рис. 5.11, на котором изображено распреде- ление амплитуды давления в падающей на границу однородной и прошедшей неоднородной волн.

Рис. 5.11. Распределение амплитуды давления в падающей и прошедшей волне при θ > θкр:

m = 1,3, n = 0,8, θкр ≈ 53°, θ = 54,5°

Другой особенностью является то, что неоднородная плоская вол- на распространяется вдоль оси Oy с фазовой скоростью υфу, меньшей,

Рассмотрим, например, случай падения волны на поверхность раздела воздух-вода. Здесь ρ1 = 1,3 кг/м3, ρ2 = 103 кг/м3, c1 = 333 м/с, c2 = 1500 м/с. Итак, m ≈ 800, n = 0,22. Полное внутреннее отражение

218

наблюдается при углах падения θ > θкр = arcsin(0,22) ≈ 14°. Тогда, скажем, для угла падения волны θ = 30° имеем такое соотношение:

нии x = λ1 волна во второй среде уменьшается в e3 ≈ 20 раз. Приведенный пример показывает также, что характер уменьше-

ния амплитуды неоднородной волны с увеличением x связан с ее час- тотой ω. Как видим, быстрее с удалением от границы уменьшается амплитуда волны, которая характеризуется большей частотой. Можно сказать, что в действительности неоднородная волна, которая образу- ется при падении плоской волны на границу под углом θ > θкр, рас- пространяясь вдоль границы, возмущает некоторый приграничный слой среды. Теперь понятным становится название этого явления — полное внутреннее отражение. Подтверждением термина есть су- ществование в другой среде своеобразного волнового процесса. Эта ситуация кардинально отличается от случая падения волны на абсо- лютно жесткую или мягкую поверхность, ведь в этом случае волново- го процесса за идеальной границей не существует.

Перепишем выражение (5.78) для давления p2 в таком виде:

Очевидно, неоднородная волна не может существовать во всем бес- конечном пространстве, ведь ее амплитуда возрастает в некотором направлении (для волны (5.80) это отрицательное направление оси Ox) бесконечно. Для α > 0 в полупространстве x ≥ 0 не может существо- вать неоднородная волна exp(ik1y sinθ + αx). В слое, ограниченном двумя плоскостями, параллельными плоскости x = 0, могут существо- вать две неоднородные волны.

Неоднородная волна не является чисто продольной волной: коле- бательная скорость v2 частиц имеет компоненту, которая перпенди- кулярна к направлению распространения волны. Действительно, компоненты колебательной скорости v2 = (υx2, υy2) определяются в ви-

Тогда компоненты смещения частиц вдоль осей Ox и Oy определяют-

реходя к действительной форме записи, имеем

ux2 = − ω2αρ2 B exp(−αx )cos(ωt −k1 sinθy + ε) ,

uy2 = k1 sinθ B exp(−αx )sin(ωt −k1 sinθy + ε).

ω2ρ2

Отсюда находим уравнение траектории частиц:

Итак, частицы в неоднородной волне двигаются по эллипсам с по-

правлении самого быстрого изменения фазы, т.е. в направлении рас- пространения волны (вдоль оси Oy), малая ось — в направлении само- го быстрого изменения амплитуды (вдоль оси Ox).

Несколько слов об отраженной волне при условии θ > θкр. Согласно (5.77) модуль коэффициента отражения |Vp| = 1, а фаза коэффици- ента отражения одинакова для любой частоты падающей гармониче- ской волны. Эта дополнительная фаза эквивалентна уменьшению длины пробега отраженной волны в среде на величину 2ε/k1 = 2εc1/ω, эта величина будет разной для волн разных частот. Можно сказать, что отражение при условии θ > θкр сопровождается “сосредоточенной” (на границе) дисперсией. Поэтому при падении плоской негармониче- ской волны при условии θ > θкр формы отраженной и падающей волн будут различаться.

Заметим, что при угле падения волны, который точно равняется критическому, отражение подобно отражению от акустически жест- кой поверхности. В самом деле, согласно полученным результатам, при θ = θкр нормальная составляющая скорости частиц на границе равна нулю, коэффициент отражения по давлению — +1, а коэффи- циент прохождения по давлению достигает 2.

220