Основы_акустики_Гринченко_Вовк

возможны. Достижение Д. Бернулли определялось его пониманием того, что суперпозиция нормальных колебаний (3.55) описывает ре- альное движение струны. Именно богатство физического содержания решения (3.55) задачи о колебаниях струн, а также совпадение полу- ченных таким образом результатов с физическими экспериментами, побуждало Д. Бернулли так настойчиво отстаивать свою мысль и от- брасывать критику глубоко им почитаемых Ейлера (он был его дру- гом) и Д’Аламбера.

Дальнейшее усовершенствование методики Д. Бернулли связано с исследованиями Фурье . Фурье впервые изложил общую теорию раз- ложения функций в тригонометрические ряды, основанную на фор- мулах (3.58) для определения коэффициентов ряда; он привел также много примеров разложения конкретных функций. Но еще более важным было применение подобного рассмотрения к конкретным за- дачам физики; например, к задаче о распространении тепла. И не случайно, несмотря на то, что разложение функций в тригонометри- ческие ряды до Фурье рассматривалось многими учеными, сегодня все эти ряды принято называть рядами Фурье. Процедура разложе- ния функции в ряд Фурье (или в тригонометрический ряд) носит на- звание спектрального анализа. Ныне в рамках углубленной теории рядов Фурье вопрос о возможности разложения (3.56) решено в поль- зу Д. Бернулли.

Предложенный подход для определения коэффициентов an и bn не единственно возможный. Разницу между подходами можно наглядно проиллюстрировать, рассматривая вопрос об аппроксимации функ- ции рядом. Рассмотрим, например, вместе с функцией Q (x) функцию

Q(x), которая задается отрезком ряда

Выберем коэффициенты an так, чтобы функция Q(x) была как мож-

но ближе к заданной функции Q (x) на отрезке [0,l]. Значение коэф- фициентов an и способ их определения зависят от того, как определя-

ется степень близости заданной функции Q (x) и ее аппроксимации Q(x). Здесь можно поступить по-разному. Один подход, когда вводят величину

Фурье (Fourier) Жан Батист Жозеф (1768—1830) — французский мате- матик.

121

и выбирают значение постоянных an такими, чтобы при заданном N величина I1 была наименьшей.

Возможен другой подход, когда вводят в рассмотрение величину

и коэффициенты an определяют из условия минимума величины I2.

Получение алгебраических соотношений для an из условия миниму- ма величины I1 является достаточно сложной задачей. В то же самое время из условия минимума ∂I2 ∂an = 0 , n =1,2,... , для коэффициен-

тов an имеем выражение, которое совпадает с первым уравнением в

(3.58).

Таким образом, можно говорить, что отрезок ряда Фурье — лучшее приближение функции в понимании минимальности среднего квад- ратичного отклонения значения функции и аппроксимирующего вы- ражения. Широкое использование такого типа аппроксимаций в тео- рии колебаний и вообще в физике обусловлено не только относитель- ной легкостью определения коэффициентов рядов, но и тем, что квадратичные по кинематическим характеристикам процесса вели- чины имеют значение энергии колебательного процесса и, следова- тельно, указанный способ аппроксимации наиболее приемлем с энер- гетической точки зрения.

3.6. Анализ движения струны

3.6.1. Бегущие и стоячие волны

Таким образом, при любых начальных условиях (3.43) сво- бодное движение струны определяется рядом (3.55), т.е. суперпози- цией нормальных колебаний. Поскольку все собственные частоты нормальных колебаний относятся как целые числа, движение струны в общем случае является периодическим.

Выражение y(x,t) для прогиба струны в каждый момент времени

при свободном движении должно удовлетворять волновому уравне- нию (3.44). Из сказанного выше следует, что общее решение этого уравнения — это суперпозиция двух бегущих волн, которые направ- ляются навстречу друг другу. На первый взгляд, форма решения (3.55) кажется такой, которая не отвечает этому утверждению. Тем не менее, в отсутствии противоречия легко убедиться, преобразовав (3.55) с помощью известных тригонометрических соотношений:

122

При этом решение общей задачи о свободном движении струны по заданным начальным условиям приобретает вид совокупности бегу-

щих волн:

Выражения для y (x,t) (3.55) и (3.62) количественно приводят к тожде- ственным результатам. Первый из них — это прогиб струны в виде суперпозиции так называемых стоячих волн. Этот термин говорит о том, что в решении волнового уравнения в виде

yn (x,t) = sin nlπ x cos (ωnt )

можно указать точки (например, x = l/n), где функция yn(x,t) равна нулю для всех моментов времени. Эти точки называют узлами. Точки струны между соседними узлами двигаются синфазно по гармониче- скому закону, каждая со своей амплитудой (рис. 3.15). Вообще вся длина струны делится узловыми точками на участки, причем движе- ние струны в соседних участках является противофазным, т.е. сдвиг фаз равен 1800.

Отдельное решение волнового уравнения в виде гармонической волны

yn (x,t) = sin nlπ(x +ct)

представляет собой бегущую волну, которая распространяется в от- рицательном направлении вдоль оси Ox, очевидно, указанных свойств не имеет. Интересно, что при наблюдении в обеих волнах за колебанием одной частички струны невозможно отличить стоячую волну от бегущей. В обоих случаях отдельные частички струны колеб- лются по гармоническому закону (кроме узловых точек в стоячей вол- не). Отличие между бегущей и стоячей волнами проявляется, если сравнить движение двух разных частичек струны. В случае бегущей волны разные частички колеблются с одинаковыми амплитудами, но с разными фазами. В случае стоячей волны разные частички струны колеблются в одинаковой фазе или противофазе, но с разными ам- плитудами. Из сравнения (3.55) и (3.62) видно, что стоячая волна —

123

это суперпозиция двух гармонических бегущих волн с одинаковой ам- плитудой, которые распространяются навстречу друг другу.

Перепишем выражения для стоячей и бегущей волн в виде

Термин “гармоническая волна” указывает, прежде всего, на периоди- ческое изменение характеристик волн со временем. Тем не менее, из предыдущих выкладок видно, что для такой волны характерна перио- дичность и по пространственной координате. Характеристикой перио- дичности во времени есть период Tn = 2πωn , а пространственным пе-

риодом является длина волны λn = 2ln . Величина λ определяет рас-

стояние между соседними максимумами (минимумами) функции sin(2πxλ) . Для характеристики гармонических волн часто используют

также понятие волнового числа k = 2πλ — величины, которая обратно

пропорциональна длине волны. Величина k характеризует колебание в пространстве, аналогично тому, как круговая частота ω характеризует колебание во времени. Действительно, если записать гармоническую бегущую волну в виде sin(ωt −kx), то ω определяет скорость изменения

фазы (ωt − kx) волны во времени, а величина k определяет скорость

изменения фазы в пространстве. По сути, волновое число представляет собой пространственную частоту, в соответствии с которой характери- стики волны изменяются в пространстве в фиксированный момент времени.

Таким образом, из всех возможных типов волн в конечной струне возникают лишь те, которые соответствуют дискретным временным характеристикам (частота, период):

и дискретным пространственным характеристикам (длина волны, вол- новое число):

Понятно, что именно такое соотношение между длиной волны λn и длиной струны l определяется граничными условиями на концах струны. Концы струны неподвижны, и в них естественно размеща- ются узловые точки гармоник. А расстояние между узловыми точка- ми в стоящей волне равно λn/2. Итак, на длине струн размещается целое число полуволн (рис. 3.15).

Гармоничная волна как простейший тип волнового движения час- то используется в акустике при анализе колебательных процессов в механических системах, процессов генерации и распространения звука. При этом часто используют комплексное представление для основных характеристик волны. В рассматриваемом одномерном случае струны комплексное представление для гармонической бегу- щей волны имеет вид

Определим фазовую скорость υф гармонической бегущей волны (3.67). Зафиксируем любое значение фазы (ωt −kx) = const и просле-

дим за перемещением соответствующего возмущения в пространстве. В таком случае изменение фазы вследствие приращений dt и dx должно равняться нулю: d(ωt −kx) = ωdt −kdx = 0 . Это условие выпол-

няется, если скорость перемещения фазы в бегущей гармоничной волне имеет вид

итак, фазовая скорость гармонической волны равна отношению кру- говой частоты ω к волновому числу k. Поскольку ω = 2πf , k = 2πλ и

f =1T , то имеем такой ряд формул:

По сути, длина волны λ определяет путь, который проходит бегущая волна за время равное периоду T . Вместе с тем период волны T есть интервал времени, за которое через некоторую точку струны прохо- дят два гребня волны.

3.6.2. Дисперсионное соотношение

Очень важно подчеркнуть, что частота ω и волновое число k в выражении для гармонической волны cos(ωt −kx) не являются

произвольными постоянными. Они связаны между собой некоторой функциональной зависимостью, вид которой определяется уравнени- ем, описывающим волновое движение. Чтобы ее определить, нужно

125

подставить выражение для гармонической волны в соответствующее уравнение движения. Полученное алгебраическое уравнение, которое устанавливает функциональную зависимость между ω и k (или f и λ) гармонической волны, называется дисперсионным соотношением, или дисперсионным уравнением (от латинского слова dicpersio — рас- сеяние). Термин “дисперсия” сначала появился в оптике, он означает разложение света с помощью призмы на отдельные цветные лучи. В дальнейшем это понятие было распространено на волны разной фи- зической природы.

В общем виде дисперсионное уравнение можно записать таким образом:

Если решение дисперсионного уравнения D(ω,k) = 0 получено, т.е. из-

вестна зависимость ω = ω (k) или k = k (ω), то фазовая скорость гармо- нической волны согласно (3.68) определяется соотношением

D(ω,k) = 0 может иметь несколько корней, тогда говорят о нескольких

“ветвях” дисперсионных кривых, которые соответствуют разным волнам. Для изотропной среды такие “ветви” появляются симметрич- ными парами: ω1,2 = ±ω(k), что отвечает бегущим волнам, которые

распространяются в противоположных направлениях.

Определим дисперсионное уравнение для гармонических бегущих вдоль струны волн. Для этого подставим выражение y(x,t) = cos(ωt −kx) в уравнение движения струны (3.7). Итак, получим

такое дисперсионное соотношение:

Тогда фазовая скорость волны имеет вид

Полученное дисперсионное уравнение (3.72) устанавливает именно такую связь между ω и k, которая определяет выражение cos(ωt kx)

как гармоническую бегущую волну вдоль струны. Из него следует, что скорость такой волны не зависит от частоты (или длины волны), а за- висимость между ω и k имеет линейный характер; это свидетельству-

126

ет об отсутствии дисперсии. Поскольку произвольное возмущение на струне определяется как суперпозиция гармонических составляющих, то отсутствие дисперсии определяет неизменность формы возмуще- ния при распространении вдоль струны. Что касается стоячей волны, то мы не вводим понятие фазовой скорости, поскольку стоячие волны никуда не “бегут”. Они “стоят и колеблются”, как большой “размазан- ный” гармонический осциллятор. Здесь можно говорить об устойчи- вом характере отношения ω /k и его независимости от длины волны.

Если для некоторой среды связь между ω и k нелинейная, то фазо- вая скорость зависит от частоты (или волнового числа), и разные гар- монические составляющие возмущения распространяются с разными фазовыми скоростями. Вследствие этого форма возбуждения при распространении изменяется; только гармонические волны будут распространяться в такой среде без искажения. В этом случае гово-

рят о дисперсионной среде или дисперсии волн.

В качестве примера рассмотрим цепочку связанных осциллято- ров (рис. 2.28) бесконечной длины. Пусть вдоль цепочки распро- страняется гармоническая волна с частотой ω, тогда поперечное от- клонение n-го шарика запишем в виде

где a — расстояние между шариками, k = 2πλ — волновое число, λ — длина волны. Подставив (3.74) во второе уравнение (2.124), получим

муле (3.73) для фазовой скорости волны в непрерывной струне. Пусть m/a = ρ, тогда помножив и разделив (3.75) на ka2 , получим

где c = Fρ , ρ = ma , значение c равно фазовой скорости волны в

непрерывной струне с линейной плотностью ρ и натяжением F. Вследствие нелинейной зависимости ω (k), которая определяется

(3.76), фазовая скорость гармонической волны в цепочке υф = ωk за- висит от ω (или от k ):

127

Рис. 3.16. Дисперсионные зависимости: а — ω(k ) , б — υф(k)

Зависимости ω(k) и υф(k) изображены на рис. 3.16. Приведенные

результаты позволяют высказать такие соображения.

1. Для малого волнового расстояния между шариками (ka <<1),

иначе, для большой длины волны по сравнению с величиной a (a << λ) , дисперсия практически отсутствует, и согласно (3.76), (3.77)

имеем ω ≈ ck и υф ≈ c .

2. С увеличением волнового числа k (а значит и ω) скорость υф

(см. рис. 3.16, б) уменьшается. Такую зависимость фазовой скорости от частоты называют нормальной дисперсией. Для некоторых физи- ческих явлений возможна ситуация, когда фазовая скорость возрас- тает с увеличением частоты. В этом случае дисперсию называют

аномальной.

3. Дисперсионная кривая (рис. 3.16, а) заканчивается, когда вол- новое число и частота достигают максимального значения, а именно, kmax = πa и ωmax = 2ca . Действительно, при ω = ωmax длина волны λmin = 2πkmax = 2a . Волны длиной λ < λmin не могут существовать в

цепочке, ведь на длине волны, которая распространяется, должно находиться не меньше двух шариков, которые колеблются.

Возникновение явления дисперсии обусловлено свойствами среды, в которой распространяются волны. В случае цепочки идентично свя- занных осцилляторов это обусловлено наличием пространственного периода как расстояния a между шариками. Если a << λ , то волновой процесс в непрерывной струне и в цепочке будет практически одина- ковый (обдумайте это утверждение, принимая во внимание то, что в цепочке шарики соединяются один с другим отрезками прямой). Если же неравенство a << λ не выполняется, то восстанавливающая сила

128

будет существенно зависеть от количества шариков, которые разме- щаются на длине волны.

Интересно отметить, что для реальной струны пианино дисперси- онное соотношение имеет такое приближенное выражение [24, с. 67]:

где α — малая положительная постоянная, равная нулю для идеально гибкой струны. Слагаемое αk2 в формуле (3.78) определяется наличием в реальной струне изгибной жесткости. Причем ее влияние тем больше, чем выше частота колебаний струны. Действительно, более высокие моды имеют более короткие длины волн, и им соответствует большая кривизна струны. Это приводит к тому, что восстанавливающая сила, которая обусловлена изгибной жесткостью, возрастает с увеличением величины k = 2π/λ с большей скоростью, чем восстанавливающая си-

ла, определяемая натяжением струны. Последняя согласно (3.6) равна F ∂2y /∂x2 и пропорциональна k2, а восстанавливающая сила, которая

обусловлена изгибной жесткостью, как оказывается, пропорциональна k4. Собственные формы реальной струны совпадают с конфигурацией

одинаковы. Итак, имеем одинаковые волновые числа kn = 2πλn у ре-

альной и идеальной струн, но частоты нормальных колебаний реальной струны не отвечают “гармонической” последовательности: f2 = 2f1, f3 = 3f1,... У струны пианино или рояля, частоты высоких

мод согласно (3.78) имеют несколько большие значения, чем частоты гармонической последовательности. Таким образом, можно сделать вывод, что модель струны с шариками хуже модели непрерывной, идеально гибкой, струны, поскольку дает поправку, знак которой не соответствует реальной струне.

В дальнейшем будем рассматривать случаи других дисперсионных соотношений, которые возникают благодаря специфическим свойст- вам среды или условиям распространения волн.

Рассмотренная задача о колебании струны с шариками позволяет получить весомые аргументы в пользу использования модели сплош- ной среды в задачах акустики. Действительно, пусть шарики на струне — это атомы в кристаллической решетке кристалла. В кри- сталле постоянная упругой силы F/a имеет порядок 15 Н ·м–1, а ти- пичное значение атомной массы равно 60 ·10–27 кг [39, с. 142]. Тогда, согласно (3.75), квадрат максимальной угловой частоты равен

129

fmax = ωmax 2π ≈ 5 1012Гц. Эта частота значительно больше, чем час- тоты, которые наблюдаются в акустике. Поэтому действительно, в задачах акустики реальные среды, несмотря на их атомную структу- ру, можно рассматривать как сплошные.

3.6.3. Энергия колебаний конечной струны

Определим энергию струны длиной l, которая свободно ко- леблется, с учетом того факта, что колебание струны представлено как суперпозиция нормальных колебаний (3.55). Подставим (3.55) в (3.33) и проинтегрируем по всей длине струны, т.е. пределами интег- рирования будут a = 0, b = l . Вследствие этого получим такое выраже-

ние для энергии струны, которая свободно колеблется (сделайте вы- кладки самостоятельно):

∞

H = ∑ Hn , (3.79) n =1

где

Величину Hn можно интерпретировать как энергию, которая прихо-

дится на отдельную гармоническую составляющую, тогда энергия ко- леблющейся струны будет определяться как сумма энергий нормаль- ных колебаний струны.

3.6.4. Примеры колебаний конечной струны при разных начальных условиях

В музыкальных инструментах возбуждаются поперечные колебания струн. Различают три типа струнных инструментов: щип- ковые, ударные и смычковые. В ударных инструментах (например, рояль) колебания возбуждаются ударом, который придает струне на- чальную скорость без начального отклонения. В щипковых инстру- ментах (например, арфа, гитара) колебания возбуждаются вследствие предоставления струне некоторого начального отклонения без на- чальной скорости.

Рассмотрим колебания струны при разных начальных условиях. Пусть для струны с закрепленными концами x = 0, x = l начальное от- клонение (рис. 3.17) определяется оттягивания струны в точке x = ξ

на величину h, т.е. y(ξ,0) = h . Начальная скорость при этом равна ну- лю. Такая задача может рассматриваться как основа простой теории

130