Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Оператор, который стоит в правой части уравнения (4.25), называют оператором Лапласа, он имеет специальное обозначение: . Нетрудно убедиться, что в декартовых координатах

Итак, волновое уравнение для давления имеет вид

Поскольку и дивергенция, и градиент не зависят от выбора системы координат, то и p зависит только от поля давления p, но не от сис-

темы координат.

Физический смысл волнового уравнения для давления можно объ- яснить так. Оператор Лапласа характеризует разность между концен- трацией некоторой величины в любой точке и вокруг нее. Итак, пра- вая часть уравнения (4.27) обусловлена сжатиям частиц среды, а ле- вая — инерцией. Волновое уравнение (4.27) выражает тот факт, что при увеличении давлении в некоторой точке над равновесным со- стоянием, оно стремиться со временем уменьшиться, а при уменьше- нии — увеличиться.

Волновое уравнение для скорости частиц среды v можно получить, дифференцируя уравнение (4.22) по времени и подставляя потом в него (4.23), исключив тем самым давление p. Итак, получим такое

ся от оператора div grad , причем [8] grad div ≡ div grad + rot rot, поэто-

му волновое уравнение для колебательной скорости частиц приобре-

Таким образом, волновое уравнение (4.27) дает возможность най- ти звуковое (акустическое) давление p (x, y, z, t). Для отыскания коле- бательной скорости v (x, y, z, t) можно или провести интегрирование по времени векторного уравнения движения (4.22), или решить век- торное волновое уравнение относительно вектора v. Оба варианта яв- ляются непростыми. Поэтому, по возможности, стремятся упростить поиск решения. Это удается сделать для модели акустической среды, об этом идет речь в следующем параграфе.

181

4.3. Потенциал скорости

Сначала сделаем замечания о характере движения частиц в звуковой волне. Применим операцию rot к обеим частям уравнения движения (4.22). Благодаря непосредственным вычислениям получим такое равенство: rot gradp = 0. Отсюда имеем, что rotv = 0. Укажем,

что операция rot, как и grad, div, , не зависит от выбора системы координат. Физически rotv характеризует “вращательную компонен- ту” поля скоростей частиц среды. Иначе говоря, в акустической среде в виде идеальной сжимаемой жидкости при распространении звуко- вой волны равнодействующая сил, которые действуют на частицу (рис. 4.1), проходит через ее центр и, как следствие, вращательный момент равняется нулю. Такие векторные поля (в нашем случае век- торное поле колебательной скорости частиц), называют потенциаль- ными, или безвихревыми. Действительно, звуковые волны в жидко- стях и газах практически всегда являются безвихревыми, т.е. колеба- ние частиц среды происходят вдоль прямой, которая характеризует направление распространения акустических волн. Другими словами, звуковые волны в идеальных жидкостях и газах являются продоль-

ными.

Известно [8], что любое потенциальное векторное поле можно представить как градиент некоторого скалярного поля. При этом ска- лярное поле называют потенциалом векторного поля. В нашем слу- чае мы имеем векторное поле колебательной скорости v. Итак, его можно определить как градиент некоторого скалярного поля, которое обозначим ϕ. Функция ϕ называется потенциалом скорости. Для оп- ределения потенциала скорости рассмотрим уравнение движения (4.22). Проинтегрировав его по времени t, получим

где v0 = v(t0 ). Пусть момент времени t0 = 0 соответствует невозму-

щенной среде, т.е. v0 = 0. Изменяя порядок интегрирования и диф- ференцирования в (4.28), имеем

Дифференцируя (4.30) по времени t, находим такое выражение для давления:

Для колебательной скорости v в соответствии с (4.29) и (4.30) имеем

В декартовых координатах проекции вектора скорости в соответст- вии с определением оператора grad имеют вид

Нужно помнить, что физическое содержание имеет не сам по- тенциал, а величины p, v и ρ , которые выражаются через него.

Применение потенциала скорости дает возможность однозначно и к тому же довольно просто описать состояние акустического поля с помощью только одной скалярной функции, которая зависит от ко- ординат и времени. Большинство задач теоретической акустики связано с определением потенциала скорости в звуковом поле. Оп- ределив потенциал скорости, и дифференцируя его по времени со- гласно (4.31), найдем давление p. В свою очередь, дифференцируя выражение для потенциала по координатам (см. (4.33)), получаем все три компоненты вектора скорости частиц.

Теперь нужно получить волновое уравнение для потенциала скоро- сти ϕ. Нетрудно убедиться, что по виду оно совпадает с волновым уравнением для давления (4.27). Действительно, подставив соотно- шение (4.31) и (4.32) в уравнение (4.23), получим волновое уравнение для потенциала скорости:

Для гармонических волн с временной зависимостью exp(−iωt) фор-

Соотношения (4.35) и (4.33) позволяют установить для гармонических волн простую связь между давлением p и компонентами колебатель-

ной скорости υx , υy , υz :

Следовательно, что для гармонических волн потенциал скорости ϕ, как промежуточную величину, можно вообще не использовать, а, по- лучив решение волнового уравнения для давления p, определить по формулам (4.36) колебательную скорость частиц среды v = (υx , υy , υz ) .

Итак, волновое уравнение получено, но это, конечно, не является самоцелью. Волновое уравнение представляет собой инструмент ис- следования звуковых полей. В связи с этим приведем такие общие соображения. Пусть в среду помещен излучатель, т.е. тело, которое колеблется относительно положения равновесия (например, круглый диск). Скорость движения всех точек поверхности задана. Также заданы расположения и свойства поверхностей всех других тел, ко- торые являются препятствиями на пути распространения звука (на- пример, стены помещения). Задано начальное (до момента включе- ния источника) состояние всех частиц среды (обычно состояние по- коя). Тогда расчет звукового поля излучателя представляет собой ма- тематическую задачу отыскания такого решения волнового уравне- ния, которое давало бы на поверхности излучателя скорость, кото- рая совпадает с действительной скоростью движения всех точек его поверхности, и удовлетворяло бы условиям на поверхности всех дру- гих тел (так называемые граничные условия), а также начальным условиям. При исследовании приема звука обычно интересуются распределением звукового давления на чувствительной части по- верхности приемника звука. Здесь заданными являются падающее поле (т.е. поле в среде при отсутствии приемника звука) и свойства поверхности приемника. Таким образом, при расчете звукового поля нужно сначала сформировать все граничные и начальные условия, а потом решить при этих условиях волновое уравнение. Если бы была возможность перебрать все возможные граничные и начальные ус- ловия, то можно было бы рассмотреть все звуковые поля как част- ные решения волнового уравнения.

4.4. Уравнение Гельмгольца

В основном, в дальнейшем будем рассматривать так на- зываемые установившиеся (стационарные) звуковые поля, т.е. когда момент включения источника звука весьма отдален (tвкл → −∞ ) от

момента наблюдения. В этом случае целесообразно зависимость па- раметров поля p, ρ , v от времени представлять с помощью интегра-

ла или ряда Фурье в виде совокупности гармонических составляю- щих, и рассматривать поле каждой такой составляющей отдельно (с такой техникой исследования задач акустики мы в дальнейшем озна-

184

комимся). Итак, пусть давление звукового поля изменяется во време- ни по гармоническому закону, т.е.

Здесь принята комплексная форма записи, которая уже применялась ранее. Множитель p(x, y, z) представляет собой комплексную ампли- туду давления в точке с координатами x,y,z . Для давления и его

комплексной амплитуды будем использовать одинаковое обозначе- ние: p.

Подставляя (4.37) в волновое уравнение (4.27), получаем уравне- ние Гельмгольца для комплексной амплитуды давления:

где k определяют как отношение угловой частоты ω к скорости звука c, называют волновым числом.

4.5. Граничные условия

Если в поле звуковой волны находится некоторое тело, то для определения этого поля нужно задать граничные условия на по- верхности тела. Конечно, задание граничных условий является зада- чей более сложной, чем построение модели среды. Ведь именно с по- мощью характеристик среды p и v нужно описать поведение границы тела, а это не всегда удается сделать довольно точно. Приведем не- сколько моделей граничных условий, которые используются в акусти- ке для описания реальных объектов.

1. Модель акустически (абсолютно) жесткой границы соответству- ет ситуации, когда поверхность границы S не деформируется, т.е. неподвижна в поле звуковой волны. Тем не менее, это не означает, что колебательная скорость частиц среды, которые находятся вблизи границы, равна нулю. Ведь согласно построенной модели акустиче- ской среды невозможно зафиксировать касательное смещение (среда не сопротивляется сдвигу). Отсюда условие на границе состоит в том, что нулю равняется нормальная, к поверхности S, составляющая υn

скорости частиц среды, которые находятся близ границы тела S:

Реальное построение такой границы возможно с достаточной точ- ностью лишь для газов: в нормальных условиях довольно большое

185

твердое тело или поверхность жидкости для звуковых волн в газе почти всегда можно считать абсолютно жесткими. Для жидкости или твердых тел построить абсолютно жесткую границу довольно сложно, но в ряде случаев такое приближение оказывается возможным и для этих сред.

Если рассматривается задача излучения звука поверхностью S, то

условие υ | =V (r,t) определяет равенство нормальной составляющей n S

скорости частиц среды υn |S , которые размещены вблизи поверхно-

сти S, и скорости частиц поверхности S, которая описывается функ- цией V (r,t); т.е. в процессе движения поверхность S не деформирует-

ся под действием среды.

2. Модель акустически (абсолютно) мягкой границы — это поверх- ность S, которая не способна оказывать сопротивление давлению, т.е. поверхность S повторяет движение частиц среды, размещенных вблизи нее. Отсюда граничное условие заключается в равенстве нулю давления на поверхности:

Это граничное условие выполняется на границе жидкости или твер- дого тела с вакуумом. С достаточной точностью абсолютно мягкая граница моделирует случай падения звуковой волны, которая рас- пространяется в воде, на границу раздела вода-воздух.

3. Модель границы сопряжения двух идеальных жидкостей. Здесь задают два условия:

1)кинематическое условие, которое свидетельствует о том, как двигаются частицы двух сред, которые располагаются вблизи грани- цы (это условие отражает принцип непрерывности среды);

2)силовое условие — это, по сути, есть требование выполнения третьего закона Ньютона.

Поскольку идеально сжимаемые жидкости не оказывают сопро- тивление сдвигу, то кинематическое условие будет заключаться в ра- венстве нормальных составляющих скоростей частиц первой и вто- рой сред, которые располагаются вблизи границы, т.е.

Силовое условие заключается в равенстве давления, которые оказы- вают частицы первой и второй сред одна на другую вдоль границы S:

Другие типы граничных условий будем определять в случае необхо- димости, когда они будут встречаться в конкретных задачах.

186

4.6. Энергетические характеристики звуковых волн

При анализе излучения и распространение звуковых волн большое значение имеют энергетические характеристики. Характер- ным свойством волн является возможность переносить энергию, не перемещая вещество. Под акустической энергией понимают часть полной энергии среды, которая обусловлена наличием в ней звуковых волн. Выбор характеристики зависит от модели среды. Для модели идеально сжимаемой жидкости акустическая энергия возможна в виде кинетической и потенциальной энергий. Других видов энергии при распространении звуковой волны не возникает.

4.6.1. Плотность энергии

Определим плотность энергии (энергия единицы объема) среды E = EК + ЕП. Плотность кинетической энергии EК = ρ0 v 2 2 , а плотность потенциальной энергии EП = ps2 , где s — акустическое

сжатие (формула аналогична выражению для потенциальной энергии гармонического осциллятора (см. параграф 2.3)). Учитывая линейную связь между акустическим сжатием и давлением p = χs (см. (4.18)),

получим соотношение EП = χs2 2 = p2 2χ. Таким образом, плотность акустической энергии среды

Единица измерения плотности энергии есть Е, дж м–3.

При линеаризации уравнений акустики, величины которые опи- сывают звуковое поле в среде ( p, ρ , v ) считались малыми, поэтому

можно было пренебречь их квадратами в системе уравнений акусти- ки (принимая также во внимание, что произведение двух таких ве- личин является величиной, которой также пренебрегают). Но, как ви- дим, другое правило используется для выражения энергии, в котором первые степени малых величин p и v отсутствуют. Поэтому следует сохранять квадраты и произведения двух малых величин, а пренеб- регать их кубами (понимая при этом, что произведение трех и более таких величин является величиной, которой также пренебрегают).

Рассмотрим детальнее плотность энергии в гармонической волне, т.е. волне, для которой давление и скорость частиц в некоторой точке среды изменяются по гармоническому закону. Для определения плот- ности энергии в гармонической волне запишем давление и скорость частиц в действительном виде (экспоненциальная форма записи не может быть использована, поскольку в формулах присутствуют квад-

187

ратичные величины; напомним, что для комплексных чисел z1 и z2

имеем Re(z1z2 ) ≠ Re z1 Re z2 ):

υ = υ0 cos(ωt − ψ), p = p0 cos(ωt), (4.45)

где p0 и υ0 — амплитуды соответственно давления и скорости в дан- ной точке; величина ψ определяет сдвиг фаз между звуковым давле- нием и скоростью частиц среды. Тогда плотность энергии в данной точке имеет вид

Как следует из данного выражения, плотности кинетической и по- тенциальной энергий осциллируют между нулем и максимальными

значениями ρ0υ20 2, p02 2χ . Интерес представляет среднее значение плотности энергии за один период T колебаний частиц среды:

Поскольку интеграл от квадрата косинуса за период равен 1/2, то искомое среднее таково:

Плотность звуковой энергии является малой величиной по обыч- ным масштабам энергетики даже для очень громких звуков. Так, плотность звуковой энергии при обычном разговоре на расстоянии 1м от разговаривающего (давление при этом равняется приблизи- тельно 0,02 Па), составляет приблизительно 1,4 10–9Дж/м3. В зале (20 000 м3) при фортиссимо оркестра суммарная звуковая энергия достигает порядка 0,1 Дж [20, с. 111], что приблизительно равняется работе силы тяготения при подъеме груза массой 10 г на высоту 1 м. Тем не менее, очень часто применяют ультразвук (звуки с частотой более 20 кГц), вследствие возможности концентрации его энергии на очень ограниченных участках среды.

4.6.2. Плотность потока мощности. Интенсивность

Рассмотрим теперь перенос энергии звуковой волной, ко- торая распространяется в среде. Поскольку в процессе распростране- ния волны изменяется энергия частиц среды, то можно говорить о потоке энергии в звуковой волне. Выделим в среде некоторую по-

188

верхность А. Тогда энергию, которая переносится, можно определить как работу, которую выполняют движущиеся частицы, расположен- ные слева от А, над неподвижными частицами, расположенными справа от А. При этом на единичной площадке с нормалью n будет развиваться мощность

Величину W называют плотностью потока мощности. Зная направ- ление вектора n, говорят о модуле плотности потока мощности

W =Wn . Поскольку вектор скорости частиц определяется своими ко- ординатами, т.е. v(υx ,υy ,υz ), то можно определить плотность потока

мощности вдоль любой оси декартовой системы координат; напри- мер, вдоль оси Ox имеем Wx = pυx . Вообще при необходимости мож-

но определить плотность потока мощности вдоль произвольного на- правления.

Остановимся подробнее на гармонических волнах. Рассмотрим общий случай в соответствии с формулами (4.45), когда между ис- ходными величинами p и υn есть некоторый сдвиг фазы ψ. Мгновен-

ный поток мощности имеет вид

Обычно при рассмотрении гармонических волн не интересуются мгновенным потоком мощности Wn (t) . Более содержательным для

гармонической волны есть средний за период поток мощности, кото- рый называется интенсивностью и обозначается In. Итак,

Подставим формулу (4.50) в выражение (4.51) и вычислим интегралы. Тогда получим, что

In = p0υ0 2 является наибольшей. В случае, когда p и υn, сдвинуты по

фазе на 90°, интенсивность равняется нулю. Эти важные частные случаи еще будут обсуждаться нами при анализе волновых процессов.

Рассмотрим выражение (4.50) для плотности потока мощности. Как видим, в общем случае Wn (t) состоит из двух частей. Для первой

189

части при вычислении среднего потока мощности за период получаем формулу (4.52). Она характеризуется постоянным знаком при изме- нении t от 0 до T и определяет, как видим, поток энергии в направле- нии вектора n. Вторая составляющая при определении среднего по- тока мощности за период равна нулю. Это означает, что за период T частицы, которые находятся слева от поверхности А, сначала отдают часть энергии частицам справа от поверхности А, а потом ее отбира- ют у них. Понятно, что эта составляющая Wn (t) не связана с распро- странением энергии в среде — здесь происходит локальное перерас- пределение энергии между частицами среды, которые находятся сле- ва и справа от поверхности А.

Если говорить об источнике звука, то, естественно, первая состав- ляющая Wn (t) в выражении (4.50) будет полезной с точки зрения вос- произведения звукового поля далеко от источника, а вторая состав- ляющая — бесполезной. Отсюда возникли такие названия: для первой составляющей Wn (t) — активная мощность, а для второй состав-

ляющей — реактивная мощность.

Оказывается, интенсивность можно определить, используя пре- ставление давления и колебательной скорости в комплексном виде:

p = p0 exp(−iωt ) и υ = υ0 exp (−iωt + iψ).

Для действительных частей давления и колебательной скорости, как физических величин, имеем такие выражения:

p = Re p = (p + p )/2 и υ = Re υ = (υ + υ )/2.

Тогда мгновенная плотность потока мощности приобретет вид

Понятно, что (4.50) и (4.53) тождественные выражения. Согласно формулам (4.53) и (4.51) определяем интенсивность

Как видим, выражения (4.52) и (4.54) совпадают. Итак, имеем иско- мую формулу для интенсивности

где давление p и скорость υn записаны в комплексной форме. Едини- ца измерения плотности потока мощности и интенсивности In, Вт/м2.

190