Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Таким образом, с помощью формулы (5.132) для cosθ2 при θ < θкр и формулы (5.141) — при θ > θкр можно рассчитать коэффициенты от- ражения и прохождения, используя равенства (5.133).

5.21. Зависимость |W | от угла падения θ: (ρ2c2/(ρ1c1) = 1,9, c2/c1 = 1,7,

θкр ≈ 36°; h/λ2: 1 - 0,3; 2 — 0,7

На рис. 5.21 приведена зависимость модуля коэффициента про- хождения через слой от угла падения θ падающей волны. Здесь при-

нято ρ2c2/(ρ1c1) = 1,9, c2/c1 = 1,7, тогда θкр ≈ 36°. Из рисунка видно, что вблизи критического угла коэффициент прохождения звука начинает

уменьшаться, причем, чем больше волновая толщина слоя, тем быст- рее уменьшается коэффициент прохождения звука. Однако за слоем всегда имеем поток звуковой энергии. При угле падения θ ≈ 24° (кри- вая 2) наблюдается полное прохождение звука через слой. В этой си- туации в соответствии с условием (5.134) выполняется соотношение hcosθ2 = λ2/2.

5.10. Спектральное разложение звукового поля

Здесь рассмотрим так называемое спектральное разложе- ние звукового поля. Идея представления произвольного колебательно- го процесса в виде суперпозиции простых периодических движений уже использовалась в нашей работе. Будем продолжать изучать этот подход к исследованию колебательных и волновых процессов, кото- рый очень широко применяется в акустике.

В общем случае спектральное разложение — это представление данной функции в виде линейной суперпозиции (ряда или интеграла) набора функций с более простыми свойствами. Если эти вспомога- тельные функции изучены, то исследование других функций сводит- ся к определению коэффициентов в спектральном разложении. В акустике (и других волновых науках) в качестве такого набора функ- ций используют гармонические функции, которые в теории линейных колебаний и волн играют фундаментальную роль. Иногда говорят, что

241

это обусловлено тем, что синусы и косинусы — это самые “простей- шие” из периодических функций. Но “простота” является произволь- ным критерием. Дело в том, что в акустике (и вообще физике и тех- нике) много колебательных систем описываются линейными диффе- ренциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, ча- стным решением которых являются гармонические колебания. Кро- ме того, однородные линейные среды с постоянными параметрами допускают в общем случае лишь один тип стационарных волн, т.е. волн бегущих без искажения формы — это и есть гармонические волны. Но если перейти, например, к так называемым параметриче- ским системам, которые описываются линейными дифференциаль- ными уравнениями с периодическими коэффициентами, то гармо- нические функции теряют свое особое значение и их место занима- ют несинусоидальные периодические функции.

Остановимся на основных моментах процедуры спектрального разложения звукового поля [20, глава 3]. Пусть имеем волну ϕ(x,t) с произвольной временной зависимостью (для простоты будем писать одну пространственную координату x). При выполнении известных математических условий [8] (конечно, они выполняются в ситуациях интересных для физики) периодическую во времени функцию ϕ(x,t) раскладывают в ряд Фурье, а не периодическую — в интеграл Фурье. Пусть волна ϕ(x,t) — периодическая во времени с периодом T = 2π/ω, тогда она раскладывается в ряд, в котором составляющими есть гар- монические волны. Будем использовать комплексную запись волн:

≡ d 2/dx2).

Итак, спектральный подход освобождает нас от необходимости исследовать каждую волну со своей временной зависимостью отдель- но: волна с произвольной временной зависимостью заменяется су- перпозицией волн со стандартной временной зависимостью — гар- монической.

Но поле гармонической волны зависит вообще от трех простран- ственных координат и при одинаковой частоте зависимость от коор- динат может существенно различаться. Возникает вопрос о возмож-

242

ности дальнейшего упрощения изучения волн: записать произволь- ную от координат и гармоническую во времени функцию также в виде суперпозиции некоторого набора гармоничных волн (конечно, той же частоты), которые стандартным образом зависят от коорди- нат. Этот вопрос является вопросом о пространственном спектре гармоничной волны.

Ответ на него зависит от акустической ситуации. Если известно поле данной гармонической волны на плоскости, то в качестве стан- дартного набора можно взять плоские гармонические волны; если из- вестно поле на сфере, то удобно проводить разложение в спектр по набору сферических волн (см. раздел 7) и т.п. Сейчас рассмотрим разложение поля по плоским волнам.

Пусть на некоторой плоскости задано распределение давления или нормальных скоростей частиц. “Тогда, как известно из теории диф- ференциальных уравнений, в отсутствие волн, приходящих из беско- нечности, поле в полупространстве, прилегающем к плоскости и не содержащем источников звука, определяется по заданному полю на границе единственным образом” [20, с. 87].

Приведем схему нахождения поля в полупространстве в виде су- перпозиции плоских волн. Пусть на плоскости z = 0 задано гармони- ческое поле (давления или нормальной колебательной скорости) как некоторая функция двух координат x и y. Разложим это распределе- ние давления или нормальной скорости в двойной ряд (или интеграл) Фурье. Компоненты разложения будут иметь вид (амплитуды не пи- шем) exp(–iωt + iςx + iηy), т.е. представляют собой двумерные плоские бегущие волны одинаковой частоты, которые распространяются по плоскости z = 0 с разными фазовыми скоростями. К каждой такой двумерной волне нужно достроить трехмерную бегущую волну от плоскости. Это можно сделать, ведь каждая такая волна создает на плоскости двумерную волну как свой след. Итак, суперпозиция всех полученных бегущих волн в полупространстве, которые имеют на плоскости заданное распределение давления (или нормальной скоро- сти), является искомым разложением поля в полупространстве.

Реализуем эту схему. Пусть на плоскости z = 0 имеем периодиче- ское распределение давления, которое изменяется во времени по гармоническому закону с частотой ω. Рассмотрим ситуацию, когда давление на плоскости z = 0 зависит только от одной координаты x с пространственным периодом L:

Запишем разложение в ряд Фурье функции p(x). Формула (5.144) являет собою разложение некоторой периодической во времени функции в ряд по гармоническим составляющим с частотами nω, n = 0, ±1, ±2, …, ω = 2π/T, T — период функции. Аналогично запишем

243

функцию p(x) в виде ряда Фурье по гармониками с волновыми числа-

ми nς, ς = 2π/L:

Теперь к каждому слагаемому ряда (5.147) pn exp(inςx) нужно достроить в пространстве бегущую волну, которая оставляет на плоскости след pn exp(inςx). Волновой вектор k ( k = k = ω/c) пространственной волны имеет проекцию nς на плоскость z = 0, тогда его проекция на ось Oz

должна быть k2 −(nς)2 . Тогда пространственную волну, которая име- ет на плоскости z = 0 след pn exp(inςx), можно представить так:

Таким образом, поле в пространстве, которое создает на плоскости z = 0 гармоническое во времени распределение давления p(x)exp(–iωt), имеет вид

Поле p(x, z, t) записано в виде набора плоских волн. Но, как видим, не все волны являются бегущими однородными, а только те, для которых nς ≤ k. Направляющий косинус волны относительно оси Ох равен

θ0x = 90°. Составляющая n = 0 соответствует постоянной составляю- щей в разложении давления p(x) на плоскости, которая в свою оче- редь соответствует плоской волне с фронтом, параллельным плоско- сти z = 0. Волны, в которых nς > k, — неоднородные бегущие волны, которые распространяются вдоль оси Ох и затухают экспоненциально вдоль оси Oz. Понятно, что чем выше номер n неоднородной волны, тем быстрее затухает волна. Неоднородные волны образовывают “ближнее поле”, которое локализовано вблизи плоскости z = 0. Поле вдали от плоскости, или “дальнее поле”, будут определять однородные волны, для которых проекция волнового вектора k на плоскость z = 0

244

nς ≤ k и, соответственно, длины волн следа λсл = 2π/nς на плоскости z = 0 больше длины волны в среде λ = 2π/k. Если вся структура дав- ления на плоскости z = 0 мала по сравнению с длиной звуковой волны λ = 2π/k, т.е. nς > k, λсл < λ , то от плоскости будет распространяться

только нулевая волна p0exp(–iωt + kz).

Таким образом, рассмотрена общая схема построения звукового поля по известному периодическому распределению давления на не- которой плоскости. Аналогично строится пространственный спектр для распределения нормальных скоростей на плоскости. (Предлагаем читателю самостоятельно записать поле в пространстве, если оно оставляет на плоскости z = 0 пространственный периодический след, который зависит от обеих координат x и y (см. задачу 5.22).)

5.11. Волноводы

5.11.1. Волноводное распространение звука

Волноводное распространение акустических колебаний происходит в условиях, когда акустические волны возбуждаются в среде, ограниченной незамкнутой поверхностью, по обе стороны от которой среда имеет разные акустические свойства. В отличие от свободной среды, для которой характерно ослабление звукового поля вследствие распространения волн во все стороны, при волноводном распространении этого ослабления не возникает.

Волноводное распространение звука происходит как в естественных условиях, так и в разнообразных технических устройствах. К естественным волноводам принадлежат разные среды, которые ограничены поверхностями, которые хорошо отражают звуковые волны. Это моря и океаны, для которых верхней границей является воздух, а нижней — донные грунты. Кроме того, в природе встречаются также волноводы, в которых границы опреде-

лены не резко. Эти волноводы образовываются в толще атмосферы, а также в океане за счет особого распределения значений скорости звука с высотой. Так, в океане на некоторой глубине (обычно это не- сколько сотен метров) могут возникать условия, когда скорость звука будет минимальная. Она возрастает вверх, где размещены слои воды, которые прогреваются солнечной энергией, и вниз вследствие повы- шения гидростатического давления (скорость звука в воде увеличива- ется с повышением давления и температуры). Слой вокруг уровня, где скорость минимальна, является волноводом. Действительно, лучи, вдоль которых распространяются звуковые волны, искривляются вследствие изменения скорости звука при распространении. Это яв- ление носит название рефракции. Поэтому, лучи, расположенные под относительно малыми углами к уровню, где скорость звука минималь- на, рефрагируя в более высоких и более глубоких слоях водной толщи

245

океана, возвращаются к этому уровню. На рис. 5.22 приведена ти- пичная зависимость скорости звука от глубины и соответствующая картина лучей, вдоль которых распространяются звуковые волны.

Рис. 5.22. Зависимость скорости звука от глубины и соответствующая кар- тина лучей, вдоль которых распространяются звуковые волны

Осмыслите самостоятельно явление рефракции звука в океане (рис. 5.22). Для этого поделите среду на узкие параллельные поверх- ности океана слои, считая скорость звука внутри каждого слоя посто- янной, но от слоя до слоя значения скорости будет изменяться на не- которую малую величину. Выпустив из плоскости с минимальной скоростью звука луч под некоторым углом, проследите, как изменяет- ся путь луча от слоя к слою. При относительно небольших углах выхо- да луча создается ситуация, когда в некотором слое угол падения луча становится критическим и возникает явление полного отражения в толще водной среды, т.е. образуется подводный звуковой канал. Лучи, которые удерживаются подводным волноводом, не доходят ни до дна, где бы они частично перешли в грунт, ни до поверхности океана, где бы они испытали рассеяние; поглощение звуковой энергии в воде достаточно мало, и поэтому звук в волноводе распространяется на большие расстояния с малым ослаблением. Аналогичные волноводы возникают и в атмосфере вблизи уровня минимальной температуры воздуха, где располагается минимум скорости звука.

В инженерной практике волноводные системы имеют очень широ- кое применение, например, простейшие из них это — трубы и щели с жесткими границами.

Характер волнового распространения довольно сложный: он опре- деляется геометрической конфигурацией волновода, свойствами гра- ничных поверхностей и средством возбуждения акустических коле- баний. При этом волноводное распространение звука имеет несколь- ко особенностей, для детального ознакомления с которыми рассмот-

246

рим простую волноводную систему в виде слоя, ограниченного двумя жесткими плоскими поверхностями.

5.11.2. Нормальные волны плоского волновода

Пусть волновод образован двумя параллельными жестки- ми поверхностями (рис. 5.23), которые расположены на расстояния h одна от другой. Волновод заполнен идеальной жидкостью с парамет- рами: плотность ρ, скорость звука с.

Рис. 5.23. Пример плоского волновода

Вспомним, как мы проводили исследование колебания струны ко- нечной длины. Сначала искали периодические (по гармоническому закону) движения струны. Оказывается, что произвольное движение струны можно представить в виде суперпозиции нормальных колеба- ний. Этот важный результат дает возможность провести эффектив- ный анализ колебаний струны при произвольных начальных услови- ях.

Попробуем реализовать подобный подход при исследовании зву- кового поля в волноводе. Здесь следует искать возможность распро- странения в волноводе гармонической бегущей волны с частотой ω, которая движется вдоль волновода без изменения формы. Такие вол- ны называют нормальными волнами или модами волновода. Итак, запишем давление в искомой волне:

Считаем, что параметры звукового поля не зависят от координаты y, т.е. имеем так называемую плоскую задачу. Комплексная амплитуда давления p(x, z) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Решение этого уравнения должно удовлетворять граничным услови- ям на жестких поверхностях волновода, которые заключаются в том, что составляющая колебательной скорости вдоль оси Oz равня- ется нулю, т.е. υz = 0 при z = 0 и z = h, или

247

Запишем искомую функцию p(x, z) в виде произведения двух функ- ций, каждая из которых является функцией одной переменной:

Для определения уравнений для X(x) и Z(z) подставим (5.155) в урав- нение Гельмгольца (5.153): X″Z + XZ″ + k2XZ = 0, или, сократив на XZ,

имеем ZZ′′ +k2 = − XX′′ . Поскольку левая часть этого уравнения не зави-

сит от x, а правая — от z, то равенство справедливо только при ус- ловии, когда обе части отдельно равны некоторой постоянной вели- чине, которую обозначим γ 2. Укажем, что размерность γ должна сов- падать с размерностью волнового числа k. Таким образом, получим

Это решение определяет бегущие волны вдоль оси Ох в противопо- ложных направлениях. В дальнейшем рассмотрим бегущую волну, ко- торая движется в положительном направлении оси Ох, т.е.

Здесь принято C1 = 1, поскольку необходимый постоянный множитель можно учесть при решении уравнения (5.158). Общее решение урав- нения (5.158) запишем таким образом:

248

то волновое число моды

где ωкрn— называют критической частотой n-й нормальной волны.

Тогда фазовую скорость нормальной волны запишем так:

Как видим поведение данной нормальной волны существенно зависит от частоты ω. Если ω > ωкрn, то γn и сфn есть действительные величины и

имеем бегущую волну вдоль оси Ox; при ω < ωкрn величины γn и сфn —

мнимые и нормальная волна представляет собой неоднородную волну, амплитуда которой вдоль ос Ох уменьшается по экспоненциальному закону. Действительно, при ω < ωкрn формула (5.166) принимает вид

На самой критической частоте ω = ωкрn имеем γn = 0 ; в этом случае про-

исходят синфазные колебания частиц среды по всей длине волновода. Количество бегущих нормальных волн определяется соотношением

(скобки означают целую часть числа).

Рис. 5.24. Графики распределения амплитуд pn и υxn (а) и υzn (б) вдоль коор- динаты z для первых номеров мод волновода

Найдем составляющие колебательной скорости в нормальной вол-

не:

250