Основы_акустики_Гринченко_Вовк

тоды математического моделирования. Именно в рамках таких мето- дов и построена предлагаемая читателям книга.

Рассмотрим коротко понятие модели. Слово “модель” (от латинско- го слова modulus) означает “копия, образец, прототип”. В самом об- щем определении, можно сказать, что модель — это такой матери- альный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования его характеристики (свойства). Сосредоточим наше внимание на математической модели.

Обычно в акустике математической модели предшествует по- строение мысленной физической модели. Мысленная физическая мо-

дель определяется двумя аспектами:

1) построение модели среды и отдельных составляющих исследуе- мого объекта (его геометрия, характеристики материала и поверхно- сти объекта). Например, при изучении колебаний пружинного маят- ника нужно определить свойства пружины и тела с некоторой мас- сой; обычно говорят о безмассовой пружине и идеально жестком теле, т.е., теле, поверхность которого не деформируется под действием внешней силы;

2) моделирование постановки задачи в рамках данной модели. При построении мысленной физической модели в акустике широ-

ко используется ряд моделей, которые заимствованы из механики, математического анализа, геометрии. Так, во втором разделе будем использовать модельное понятие материальной точки, как это приня- то в теоретической механике, а в следующих разделах — представле- ние о сплошной среде. Рассматривая предельные поверхности реаль- ных объектов, воспользуемся идеальными представлениями о линиях и поверхностях, развитыми в геометрии.

Итак, на этапе мысленного физического моделирования строят некоторую идеализированную модель реального объекта, при этом относительно менее важными свойствами объекта пренебрегают.

После того, как мысленная физическая модель создана, переходят к построению математической модели. Иногда во время этого про- цесса оказывается, что одна та же математическая модель соответст- вует нескольким мысленным физическим моделям. Так, механиче- ские и электрические колебательные системы описываются одинако- выми уравнениями (см. параграф 2.1); это позволяет, при необходи- мости, вместо относительно сложного эксперимента на механической системе провести более простой эксперимент на соответствующей электрической системе.

Один и тот же объект может иметь много неэквивалентных моде- лей. Прежде всего, это связано с необходимостью исследования раз- ных характеристик объекта. Например, исследование идеального ма- ятника без трения и, наоборот, учет сил трения во время колебатель- ного процесса приводят к принципиально разным математическим моделям. Различные математические модели могут использоваться

21

даже при изучении одной и той же характеристики объекта. Здесь важную роль играют средства исследования. Например, при приме- нении ЭВМ более удобны одни модели, а при аналитическом исследо- вании — другие.

Конечно, общие контуры математической модели очерчиваются уже на этапе мысленного физического моделирования. Тем не менее, и после завершения этого этапа, как правило, возможны различные модификации математической модели. Иногда в уравнениях можно оставить одни члены и отбросить другие, нелинейные зависимости заменить на линейные, сложные геометрические формы — на более простые и т.д. Это очень важный момент. Поэтому при изложении материала мы постоянно подчеркиваем сущность тех модельных предположений, которые приведены в данном разделе книги. Пони- мание содержания таких предположений необходимо для того, чтобы не сделать ошибку, которая все время подстерегает того, кто изучает предмет: расширить область применения полученного в рамках вы- бранной модели результата за границы применимости самих модель- ных предположений. В связи с этим при описании модели нужно го- ворить не только о свойствах объекта, которые отбрасываются или учитываются, но и указывать границы применимости принятых предположений. Часто определение таких границ является довольно сложной задачей, особенно, когда речь идет о возможных количест- венных оценках. В книге на простейших примерах показан характер такой работы.

Важно отметить, что понятие “исследовать модель” существенно сложнее, чем это может казаться на первый взгляд. Яркий пример, поясняющий эту мысль приведен в работе [ , с. 232]: “…математика учит нас, что решение уравнения dx / dt = x однозначно определяется начальными условиями (т.е., существующие интегральные кривые на плоскости (t, x) не пересекаются). Этот вывод математической модели далек от реальности. Компьютерный эксперимент показывает, что все эти интегральные кривые имеют общие точки на отрицательной полуоси t. Действительно, например, кривые с начальными условия- ми x(0)= 0 и x(0) = 1 при t = –10 практически пересекаются, а при t = – 100 между ними невозможно вставить и атом. Свойства пространст- ва на малых отрезках не описываются евклидовой геометрией. Ис- пользование теоремы единственности в этой ситуации — явное пре- вышение точности модели. При практическом использовании модели это нужно иметь в виду, иначе можно натолкнуться на серьезные не- приятности”.

Итак, важно понимать, что математическое решение уравнений математической модели еще не является решением физической за-

Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи матем. наук. — 1998. — 53, вып. 1. — С. 228—234.

22

дачи. Поэтому прежде, чем считать задачу исследования реального объекта решенной, нужно сформулировать результат в виде физиче- ских понятий, т.е. нужно четко понимать как математическое содер- жание полученных решений, так и то, что они означают на языке ре- ального мира, который описывает математика.

Важнейшее требование к математической модели – это требова- ние адекватности реальному объекту относительно выбранной сис- темы его характеристик. Под этим, обычно, понимают:

1)адекватное качественное описание объекта в соответствии с выбранными характеристиками. Например, исследование модели ко- лебательной системы дает возможность сделать правильный вывод о затухании колебаний реального объекта, об устойчивости его движе- ния и т.п.;

2)адекватное количественное описание объекта в соответствии с выбранными характеристиками с некоторой разумной степенью точ- ности, которая определяется практической целесообразностью и не- обходимостью.

Следует отметить, что любая адекватность только относительная и имеет свои границы применимости (как и модель в целом, о чем мы уже говорили). Об этом нужно помнить, чтобы не возникло желание навязать реальному объекту свойства его модели. Примером могут служить свободные колебания реальной системы с малым трением. Если при математическом анализе колебаний заменить эту систему линейной моделью без трения, то такая упрощенная модель может иметь высокую степень адекватности по частотам и формам колеба- ний, но будет, очевидно, совсем неадекватной по затуханию колеба- ний.

Если только исходить из требований адекватности, то сложные модели лучше простых. Действительно, с одной стороны, сложная мо- дель позволяет учесть больше факторов, которые так или иначе будут влиять на изучение характеристик объекта. С другой стороны, учет большого числа параметров, которые характеризуют объект, может привести к громоздким уравнениям, которые не поддаются исследо- ванию. И это справедливо даже при наличии мощных ЭВМ. Можно привести много примеров, когда, полагаясь только на мощности ЭВМ без вдумчивой разработки математической модели, исследователь сталкивался с непреодолимыми трудностями.

Таким образом, мы приходим к требованию достаточной просто-

ты модели относительно выбранной системы характеристик, кото-

рая в некоторой степени противоположна требованию адекватности. Итак, вместе с наличием адекватности, модель должна быть достаточ- но простой, чтобы можно было с необходимой точностью провести ка-

23

чественный или количественный анализ характеристик объекта и ос- мыслить результат.

Подводя итог короткому рассказу о математическом моделирова- нии приведем несколько общих соображений, которые не могут слу- жить непосредственным указанием к действию, они лишь дают ра- зумные подсказки, как и что, следует делать [ , с. 330].

“1. Чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выво- дов.

2.Модель должна быть простой, насколько это возможно, но не проще.

3.Пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это по- влияет на решение.

4.Модель должна быть грубой: малые поправки не должны карди- нально менять ее поведение.

5.Модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.

6.При анализе результатов исследования модели важны не только конкретные численные результаты, но и понимание того, почему и как все происходит и как все это зависит от параметров”.

Одной из загадок науки Эйнштейн считал возможность исследо- вания природы с помощью математики. Соглашаясь с мыслью велико- го ученого, мы в начале раздела говорили о чрезвычайной плодотвор- ности математического моделирования. Желая еще раз подчеркнуть важность этого положения, приведем отрывок из книги [ , с. 344, 346], содержание которой направлено на то, чтобы показать, что по- строение математических моделей — это одна из движущих сил науки. Заметим, что авторы используют термин абстракция. Согласно Эн- циклопедическому словарю (М., Советская энциклопедия, 1989), “аб- стракция (от латинского слова abstractio – отвлечение) – форма позна- ния, основанная на мысленном выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечении от других, частных его свойств и свя- зей...” Понятно, что процесс абстрагирования является основой при построении математической модели.

“Часто подчеркивают единство природы. Все связано со всем. К счастью, это не конструктивная формула. Явления, тела, разнообраз- ные типы движений естественным образом вычленяются из общей массы. Это свойство мира, в котором мы существуем, представляет

Неймарк Ю.И. Математические модели в естествознании и технике. – Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2004. – 401 с.

Эйнштейн (Einstein) Альберт (1879—1955) — немецкий физик, лауреат Нобелевской премии (1922).

Каганов М.И., Любарский Г.Я. Абстракция в математике и физике. —

М.: Физматлит, 2005. — 352 с.

24

собой необходимое условие возможности его изучения. Невозможно было бы исследовать явления природы, если бы каждое из них зависе- ло от всех остальных. Само понятие явление предполагает выделен- ность из всего происходящего.

Познаваемым делает мир абстрагирование. Возможность абстра-

гирования — одно из свойств нашего Мира.

Сравнение чисел, полученных на основе теории, с числами, добы- тыми экспериментальным путем, есть основной этап, без которого не- возможно выяснить, понимаем ли мы природу.

Природа учит абстрагировать и дает возможность проверить за- конность использования абстракции”.

Вообще построение математической модели есть один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт свидетельствует о том, что во многих случаях правильно выбрать модель — это решить задачу больше, чем наполовину. Умение правильно выбрать матема- тическую модель, образно говоря, находится на границе науки и ис- кусства. Понятно, что искусством построения моделей можно овла- деть только благодаря собственной практике, но ощутить и получить первые навыки на этом пути можно, работая над этой книгой.

Эти абстрактные рассуждения можно наполнить совершенно кон- кретным содержанием. В различных руководствах по акустике пред- ставлено решение задачи об излучении звука системой двух круговых цилиндров. При этом указывается, что случай касающихся цилинд- ров (см. раздел 10), рассматриваемый в рамках предельного перехода при стремлении расстояния между цилиндрами к нулю, не имеет ре- шения. Удивительно то, что авторы не продолжают рассмотрение фи- зической задачи. Ведь совершенно ясно, что физически такая задача совершенно корректна. Отсутствие ее решения в рамках математи- ческой модели, основанной на предельном переходе, свидетельствует лишь о ее неадекватности физической задаче Для читателя это ин- тересная ситуация для размышлений и построения собственной кор- ректной математической модели.

25

Р А З Д Е Л 2

КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

На балке висит колокол. Вы можете сильно дергать ве- ревку и не раскачаете колокол, а маленький мальчик его раскачает, если придаст выгодную форму кривой своей силы, если будет вовремя увеличивать и умень- шать свою силу. Одно дело, насколько колокол откло- нится под действием данного груза, другое — как рас- качать колокол последовательными толчками. Именно этим интересуется теория колебаний.

Л.И. Мандельштам [32, с. 12]

2.1. Незатухающие колебания в системе с одной степенью свободы

2.1.1. Исходные модельные представления

Уже при рассмотрении простейших моделей механических систем формулируются понятия, важные для описания сложных ко- лебательных и волновых движений. Говоря о простейших системах, имеем в виду не только их простоту, связанную с набором составных элементов, а и существенное упрощение описания процессов взаимо- действия таких систем с окружающим миром. В крайнем случае, можно вообще пренебрегать таким взаимодействием при рассмотре- нии.

Простейшая колебательная система имеет два элемента — упругость и массу. При этом в качестве простейшего элемента массы можно ис- пользовать материальную точку. В общем случае ее движение полно- стью описывается заданием радиуса-вектора положения точки как функции времени r или тремя его проекциями на оси, например де- картовой системы координат x(t), y(t), z(t).

Если на материальную точку не наложены никакие связи, то под действием произвольных сил, которые действуют на нее, все три ко-

Мандельштам Леонид Исаакович (1879—1944) — российский физик, академик АН СССР (1929).

26

один конец которой закреплен, а к другому приложена масса. Схема- тично такая система приведена на рис. 2.1, а. Равновесное положе- ние отвечает точке x = 0.

В отличие от любой реальной пружины идеальная, которую мы помещаем в систему, лишена массы. Кроме того, для растяжения или сжатия идеальной пружины на любую величину (x) необходимо при-

Здесь K — характеристика пружины, которая называется жестко-

стью, Н/м.

При рассмотрении колебательных систем используется также ве- личина, обратная к жесткости, которая называется податливостью: s = 1/K.

Соотношение (2.1) отражает важное предположение о свойствах пружины. Интуитивно понятно, что поведение идеальной пружины приближается к поведению реальной пружины лишь в случае относи- тельно небольших отклонений от положения равновесия. Движение системы при таких ограничениях определяет малые колебания близи положения равновесия.

Итак, мы начали использовать такие понятия, как большое и малое отклонение от положения равновесия. Для более полного понимания следует все время придерживаться такого правила: как только в тек- сте появились понятия “большой” и “малый”, необходимо выяснить, что с чем сравнивается и какой выбран масштаб для измерения этой величины. При этом удается избежать принципиальных ошибок, ко- торые возможны в процессе построения моделей реальных систем и качественного анализа особенностей их поведения.

В качестве примера системы с одной степенью свободы рассмот- рим систему, приведенную на рис. 2.1, а. Если характерной особен- ностью этой системы считать то, что для описания движения в ней достаточно задать лишь одну функцию x(t), то легко можно указать ряд систем, аналогичных по свойствам. На рис. 2.1, б изображена система с жестким диском, который характеризуется некоторым мо- ментом инерции относительно вертикальной оси, проходящей через точку O, и идеально упругим стрежнем заданной длины с крутильной жесткостью G. Итак, для закручивания стрежня на некоторый угол θ необходим крутильный момент

где размерность G, Н м. В такой системе возможно движение, кото- рое полностью определяется заданием угла закручивания как функ- ции времени.

28

двигаться свободно. Для полного и однозначного определения даль- нейшего движения системы результат внешнего влияния описывается той же функцией, что и движение системы. Поскольку такой функци- ей является обобщенная координата, то первоначальное внешнее влияние конкретизируется заданием начального значения обобщен- ной координаты и скорости ее изменения, а именно, обобщенной ско- рости.

Для получения соотношений, которые дают возможность опреде- лить изменение обобщенных координат с течением времени при за- данных начальных условиях, используются физические законы. Что- бы записать уравнение движения для систем, приведенных на рис. 2.1 (кроме последней), воспользуемся вторым законом Ньютона . Для первой, третьей и четвертой систем соответствующее векторное соотношение записывается в проекции на ось Ox. При этом для пер- вой и четвертой систем (рис. 2.1, а, г) имеем выражение

а для третьей (рис. 2.1, в) следующее:

ρlx + 2ρgx = 0.

Для математического маятника (рис. 2.1, д) восстанавливающая сила равна проекции силы тяжести на касательную к траектории движе- ния шарика. Поэтому соотношение, отражающее второй закон Нью- тона, примет вид

Закон сохранения момента количества движения для колебательной системы, приведенной на рис. 2.1, б, запишем следующим образом:

где I — момент инерции диска относительно вертикальной оси, кг м2. Используя закон Кирхгоффа для электрического контура, представлен- ного на рис. 2.1, е, приходим к соотношению

где размерности L, Гн, и C, Ф. Все полученные соотношения (2.3)— (2.5) содержат в себе как искомые функции, так и их производные, т.е. это — дифференциальные уравнения. В уравнения (2.3), (2.5) и

Ньютон (Newton) Исаак (1643—1727) — английский физик, механик, ас- троном и математик.

Кирхгофф (Kirchhoff) Густав Роберт (1824—1887) — немецкий физик.

30