Основы_акустики_Гринченко_Вовк

возбуждения струн щипковых инструментов. Итак, начальные усло- вия (3.15) будут иметь вид

Подставив формулу (3.82) в выражение (3.55), получим искомое ре- шение

и уменьшается обратно пропорционально n2.

Если величины ξ и n такие, что sin(nπξl ) = 0, т.е. точка ξ является узлом n-ой гармоники, то an = 0 , и в полученном решении соответст-

вующая гармоника отсутствует. Например, если струна оттянута в средней точке ξ = l2, то nπξ/l = nπ/2 и для всех четных значений n

точка l/2 есть узел. Тогда в решении будут присутствовать только не-

Рис. 3.18. Относительные значения энергии гармоник Hn /Hmax:

а — ξ = 0,5l, δ = 0,2l ; б — ξ = 0,3l, δ = 0,2l ; в — ξ = 0,3l, δ = 0,05l

Указанные особенности учитывают при создании музыкальных инструментов. Наличие высоких гармоник (начиная с 7-ой) нарушает гармоничность звука и вызывает ощущение диссонанса (от латинско- го слова dissonans — неблагозвучие). Наличие низких гармоник, на- оборот, вызывает чувство полноты звука. В рояле место удара моло- точка выбирают вблизи точки закрепления струны между узлами 7- ой и 8-ой гармоник, чтобы уменьшить их энергию. Регулируя ширину молоточка и его жесткость (для этого его ударную часть обтягивают кожей), стремятся увеличить энергию низких (3-ей и 4-ой) гармоник. В старых конструкциях рояля, которые имеют более резкий звук, да- же до некоторой степени звон, использовали узкие и жесткие моло-

точки [52, с. 143].

3.7. Вынужденные колебания струны

Рассмотрим струну длиной l, которая закреплена на кон- цах. Пусть функция g(x, t) характеризует внешнюю силу на единицу длины струны и не зависит от движения струны, т.е. имеем источник силы бесконечной мощности. Силы сопротивления отсутствуют (R = 0). Тогда уравнение движения струны приобретает вид (см. (3.6)):

Пусть внешняя сила периодическая во времени g(x, t) = g(x)exp(–iωt). Рассмотрим только вынужденные колебания; для этого необходимо найти частное решение уравнения (3.92). Колебание струны во вре-

134

Решение в виде ряда (3.97) наглядно раскрывает природу явления резонанса. Согласно (3.97) для возникновения резонанса необходимо выполнение двух условий:

1) приближение частоты внешней силы ω к одной из собственных

частот струны ωn, т.е. ω → ωn;

2) наличие в пространственном распределении внешней силы со- ставляющей, которая соответствует n-ой форме колебаний, т.е. gn ≠ 0. Например, когда ω → ω2, то необходимо, чтобы выполнялось условие

f2 ≠ 0.

Если эти два условия выполняются, то амплитуда движения во времени неограниченно возрастает (поскольку анализируем систему без демпфирования), и сумма ряда (3.97) определяется фактически одним слагаемым, для которого ω → ωn. Физически это означает, что при резонансе струна приобретает форму колебаний, которая соот- ветствует гармонике с номером n.

Итак, эффективность возбуждения той или другой гармоники за- висит не только от соотношения частоты внешней силы и собствен- ной частоты гармоники, но и от функции g(x), которая определяет распределение амплитуды внешней силы вдоль струны. Так, если гармоническая сила сосредоточено прикладывается в узловой точке одной из гармоник струны, и частоты внешнего воздействия и гар- моники совпадают, то явление резонанса все же не наблюдается.

3.8. Влияние демпфирования на движение струны

Рассмотрим влияние демпфирования на колебания стру- ны. Как и в случае систем с сосредоточенными параметрами, вос- пользуемся простейшей физической моделью демпфирования, пред- полагая, что сила сопротивления на единицу длины пропорциональна скорости движения элемента струны с коэффициентом пропорцио- нальности R.

Рассматривая движение струны с учетом демпфирования, необхо- димо также обратить внимание на некоторые особенности в поведе- нии коэффициента демпфирования R. Физические процессы, кото- рые служат причиной появления демпфирования в колебательных системах, чрезвычайно разнообразны. Относительно рассматривае- мого случая движения струны можно вспомнить несколько сущест- венных механизмов рассеяния энергии. Это, прежде всего, процессы преобразования механической энергии в теплоту при деформации

136

элемента струны. Иногда такие процессы характеризуют, вводя по- нятие внутреннего трения в материале. Соответствующая физиче- ская характеристика материала — коэффициент потерь — обычно определяется по циклической деформации образцов и является пас- портной характеристикой материала. Практически все материалы имеют существенную зависимость коэффициента потерь от частоты деформирования.

Для многих колебательных систем в акустике существенным меха- низмом рассеяния энергии есть потери на излучение, т.е. потери энергии за счет звуковых бегущих волн от колеблющегося тела. Во многих практически важных акустических системах такие потери на излучение существенно превышают потери энергии в материале. В случае тонкой струны потери на излучение очень малы. Более суще- ственными потерями в реальной струне есть потери в опорах, т.е. по- тери, связанные с переходом энергии от колеблющейся струны к тому объекту, на котором закреплена струна. В музыкальных инструмен- тах именно за счет таких потерь создается звук в окружающей среде. Здесь необходимо указать, что и для этого последнего механизма важной есть зависимость скорости потерь энергии от частоты. Это обстоятельство должно учитываться при анализе влияния демпфиро- вания на характер движения струны.

Рассмотрим такую ситуацию для вынужденных колебаний струны под действием периодической силы

Для установившихся колебаний струны, т.е. ее движения в те момен- ты времени, когда свободные колебания уже затухли, необходимо найти частное решение уравнения (3.6), принимая во внимание

(3.98):

где c2 = F/ρ, 2δ(ω) = R(ω)/F. Очевидно, что изменение во времени функции y(x,t) будет повторять зависимость от времени внешней си- лы, т.е. будет иметь вид y(x,t) = Y(x) exp(–iωt). Фазовые сдвиги при этом учитываются тем, что функция Y(x,t) комплексная. Для ее опре- деления из (3.99) получим обыкновенное дифференциальное уравне- ние с коэффициентом демпфирования, который соответствует за- данной частоте колебаний ω:

Частное решение этого уравнения должен удовлетворять граничным условиям на концах струны. Именно поэтому при его построении це- лесообразно использовать свойства собственных форм колебаний идеальной струны sin(nπx/l), n = 1, 2, 3… Запишем ряды Фурье по собственным формам струны:

Здесь gn — известные при заданном распределении внешней силы ко- эффициенты:

величины Yn должны быть определены. После подстановки формул

(3.101) и (3.101а) в уравнение (3.100) получим

Это соотношение будет определять значения Yn через заданные ко- эффициенты gn разложения внешней силы в ряд Фурье. Таким обра- зом, вынужденное движение струны описывается таким выражени- ем:

Здесь хорошо видно, что степень возбуждения каждой собственной формы колебаний зависит от степени близости заданного волнового числа ω/c и волнового числа собственной формы ωn/c = nπ/l. В случае резонанса, т.е. при ω/c = nπ/l, где n — некоторый фиксированный номер, амплитуда колебаний струны остается конечной. Следует от- метить, что влияние демпфирования на вынужденные колебания струны будет отражаться на тех формах, для которых можно полагать

Для тех собственных форм, у которых (ω/c )2 − (nπ/l )2 >> 2δ(ω), на-

личие демпфирования несущественно. Следует также обратить вни-

138

мание, что знаменатель в (3.104) аналогичен введенному во втором разделе комплексному механическому импедансу Z системы с одной степенью свободы. В случае системы с распределенными параметра- ми можно говорить о комплексном импедансе каждого нормального колебания.

Несколько сложнее учитывать демпфирование при свободных ко- лебаниях струны. Здесь необходимо найти решение однородного уравнения (3.99) (g(x) ≡ 0), которое удовлетворяет граничным и задан- ным начальным условиям:

Представим функции Q1(x) и Q2(x), которые определяют начальное возмущение, в виде рядов по собственным формам колебаний стру- ны:

Если в этих рядах отличными от нуля являются два или более коэф- фициентов — qn и βn, то это означает, что энергия начального возму- щения распределяется по нескольким собственным формам колеба- ний, и при дальнейшем движении струны будут присутствовать не- сколько нормальных колебаний. Каждое из них характеризуется соб- ственной частотой, и это нужно учитывать при рассмотрении демп- фирования, которое зависит от частоты.

Рассмотрим начальное возмущение, которое соответствует неко- торой конкретной форме sin(Nπx/l). В основу дальнейшего изложения положено предположение, что заданная форма колебаний будет оста- ваться неизменной; изменяется лишь амплитуда. Это означает, что решение однородного уравнения (3.99) для y(x,t) будем искать в виде

После подстановки в выражение (3.99) при g(x) ≡ 0 решения (3.108) получим обычное дифференциальное уравнение для функции време- ни:

139

Это достаточно простое дифференциальное уравнение, решение ко- торого нужно искать в виде

Если демпфирование отсутствует, то будем иметь α = ±ωN, т.е. сис- тема осуществляет незатухающие колебания с собственной частотой ωN. В общем случае при отличном от нуля δ(ω ) колебание струны опи- сывается произведением экспонент:

В случае демпфирования, меньше критического δ2 (ω)c4 < ω2N , имеем

колебательное движение с амплитудой, которая уменьшается. Для того чтобы правильно оценить количественные характеристики такого движения в формальном решении (3.113) нужно указать, при каком значении ω надо вычислять показатель демпфирования. При этом

допускают δ2 (ω)c4 << ω2N , и в (3.113) можно положить ω = ωN в каче-

стве первого приближения, т.е. δ(ω ) = δ(ωN). Физически это означает, что делается предположение о том, что демпфирование незначитель- но изменяет собственную частоту N-ой формы колебаний.

В случае необходимости полученный результат можно уточнить: вычисляем первое приближение для собственной частоты N-ой фор-

а в окончательном результате полагаем ω = ω(N1) :

140