Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Выражение в квадратных скобках есть сумма кинетической и потен- циальной энергий E = EК + EП . По сути, это энергия E, которую нака-

пливает колебательная система к моменту времени t. Назовем ее энер-

гией накопления или просто энергией системы. Производная по вре-

мени от энергии накопления определяет скорость ее изменения. Вто- рое слагаемое в выражении (2.78) представляет собой мощность сил демпфирования, которые преодолевает внешняя сила.

Таким образом, сравнивая выражения (2.76) и (2.78), можно при- дать двум слагаемым в формуле (2.76) указанный выше физический смысл, а именно: первое слагаемое обуславливает скорость изменения энергии накопления E, а второе — мощность сил демпфирования. Со- гласно формуле (2.76) производная по времени от энергии накопления dE/dt может быть больше и меньше нуля в некоторый момент време- ни. Если dE/dt > 0, то это обуславливает поток энергии от источника в систему, а при dE/dt < 0 — наоборот, т.е. имеем энергообмен между источником и системой. Интересно, что на резонансе, когда ω = ω0 ,

имеем dE/dt = 0, т.е. энергия накопления сконцентрирована в систе- ме, а работа источника связана только с преодолением сил демпфи- рования. Второе слагаемое в формулах (2.76) и (2.78) всегда больше от

нуля (Rξ2 ) > 0 , что определяет поток энергии от источника к системе в

любой момент времени.

Существенная разница между двумя слагаемыми мгновенной мощности видна при рассмотрении среднего во времени потока мощ- ности. Найдем среднюю за период T = 2πω мощность W , , используя выражение (2.76). Учитывая, что

Как видим, первое слагаемое в (2.76), где наблюдается сдвиг фаз ме- жду F(t) и ξ(t ), равный 90°, не влияет на W . Средний поток мощ- ности определяется синфазной составляющей в выражении для W (t) , т.е. вторым слагаемым.

62

Рис. 2.13. Кривая поглощения осциллятора

На рис. 2.13 изображена кривая зависимости W от частоты ω

внешней силы. По аналогии с рис. 2.11 этот рисунок характеризует реакцию осциллятора на действие внешней силы. Изображенная кри- вая называется кривой поглощения осциллятора. Острота максимума определяется коэффициентом демпфирования R. Максимум приходит-

ся на частоту резонанса скорости ω0 , когда энергия, которая отнима-

ется системой у внешней силы, максимальна. Если система высоко- добротная и частота ω близка к частоте ω0 , то амплитуды скорости

Aυ и смещения A приобретают большие значения, что обуславливает

значительное накопление энергии. При этом средний поток мощностиW наибольший, и внешняя сила выполняет наибольшую работу по

преодолению сил демпфирования; это происходит при совпадении направления движения в системе и действия внешней силы (разность

фаз между ξ(t) и F(t) равна нулю). Наоборот, когда ω существенно от- личается от ω0 , направление движения в системе в течение одной

части периода колебаний совпадает с направлением внешней силы, а в течение другой части периода противоположно ему. Внешняя сила вы- полняет как положительную (W > 0), так и отрицательную (W < 0) рабо- ту, и за весь период робота будет небольшой, т.е. происходит энергооб- мен между источником и системой. Таким образом, с энергетической точки зрения явление резонанса обусловлено тем, что при совпадении частот ω и ω0 реактивная мощность равна нулю, тогда имеем наи-

лучшие условия для перехода энергии от источника к системе. Явление резонанса можно рассматривать как случай, когда под действием гар- монической внешней силы система выполняет почти собственные ко- лебания. При этом роль внешней силы сводится главным образом к компенсации действующих в системе сил демпфирования.

Интересно отметить, что накопленная энергия EК + EП по срав- нению с работой W T , которую выполняет внешняя сила за период

64

систем, которые имеют две и более степеней свободы. Их число опре- деляется количеством независимых переменных (обобщенных коорди- нат), которые необходимы для полного описания движения системы. Сосредоточим внимание на изучении системы с двумя степенями сво- боды. Примеров таких систем можно привести множество. Некоторые из них представлены на рис. 2.14. Важным моментом при изучении сложной системы есть возможность рассматривать ее как систему, ко- торая состоит из отдельных подсистем с одной степенью свободы, свя- занных одна с другой. Например, систему, изображенную на рис. 2.14, а, можно рассматривать как систему, состоящую из двух осциллято- ров, соединенных между собой с помощью пружины. Отдельные сис- темы с одной степенью свободы, из которых составляется исследуемая система, называют парциальными. Принятый способ выделения пар- циальных систем определяет и выбор обобщенных координат для опи- сания движения. Например, для системы на рис. 2.14, б — это углы θ1 и θ2. Следует отметить, что выделенные парциальные системы в этом случае имеют общий элемент — пружину, которая соединяет маятни- ки. Выбор парциальных систем (как и обобщенных координат) неодно- значный. Так, для системы на рис. 2.14, в равноправными есть такие пары координат: x1, x2 и x0, θ.

Рис. 2.14. Примеры колебательных систем с двумя степенями свободы

Соответствие между парциальными системами и обобщенными координатами устанавливается таким образом: парциальная система, которая соответствует данной координате, образуется из полной сис- темы в ситуации , когда все координаты системы, кроме данной,

66

второй парциальных систем. При дальнейшем изложении для опреде- ленности будем считать, что ω1 ≤ ω2 .

Уравнения (2.86) описывают свободные колебания системы с дву- мя степенями свободы. Чтобы выделить конкретную колебательную ситуацию, необходимо задать начальные условия:

2.5.1. Нормальные колебания

Система дифференциальных уравнений (2.86) имеет толь- ко четные производные от искомых функций. В связи с этим ее мож- но свести к алгебраической системе, используя в качестве пробных решений выражения

Последние выражения более удобны с точки зрения учета фазовых соотношений, их и будем использовать. При этом, конечно, физиче- ское содержание в полученном комплексном решении будет иметь его действительная часть.

Выражение (2.88) имеет три произвольные величины: A1, A2, ω. Их нужно выбирать так, чтобы эти выражения удовлетворяли исходной системе уравнений (2.86). После подстановки (2.88) в (2.86) и сокра-

щения на exp(−iωt ) получаем такую систему линейных алгебраиче- ских уравнений:

(ω12 − ω2 )A1 − Km3 A2 = 0, 1

68

Рис. 2.16. График функции g (ω2 )

Таким образом, в рассмотренной системе с двумя степенями сво- боды возможные два периодические движений с частотами ω− и ω+ .

Эти частоты определяются только внутренними свойствами колеба- тельной системы, и их можно назвать ее собственными частотами, а соответствующие колебания — собственными колебаниями. Эти осо- бые типы свободного движения в системе называют также нормаль- ными колебаниями, или модами. Каждое нормальное колебание ха- рактеризуется не только соответствующим значением частоты, а и соотношением амплитуд колебаний, которые определяются равенст- вами (2.89). Так, для нормального колебания с частотой ω+ из первого

уравнения (2.89) имеем

Поскольку определитель системы (2.89) равен нулю, такая же связь между значениями A1+ и A2+ вытекает и из второго уравнения (2.89).

Итак, исходная система имеет два периодические решения:

(2.93)

x1+ (t ) = A1+ exp(−iω+t ), x2+ (t ) = A2+ exp(−iω+t ).

Амплитудные характеристики таких движений произвольные. Теория дифференциальных уравнений обосновывает утверждение о том, что представление искомых функций в виде

70