Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Между плотностью звуковой энергии E и плотностью потока мощ- ности W существует важное соотношение, которое можно определить, помножив уравнение движения (4.22) скалярно на вектор v, а урав- нение неразрывности (4.23) на давление p. Складывая эти уравнения, получаем выражение ∂E /∂t = −divW. Интегрируем это уравнение по

некоторому объему Ω, ограниченному поверхностью S. При интегри- ровании правой части уравнения можно преобразовать объемный интеграл в поверхностный. Итак, имеем

Соотношение (4.56) выражает интегральный закон сохранения энер- гии для звуковой волны. Физическая суть формулы (4.56) понятна: изменение звуковой энергии в некотором объеме среды Ω пропор- ционально плотности потока звуковой энергии через поверхность S, которая окружает объем Ω.

4.7. Задачи

4.1.Получите приближенную формулу для скорости звука

ввоздухе, учитывая, что γ = 1,4 и М = 28,8 г/моль.

Ответ: с ≈ 20 T0 , где Т0 — температура, К.

4.2. Определите скорость звука в середине цилиндра двигателя внутреннего сгорания сразу после зажигания, если давление равно 200 атм, температура 1000 °С; для газовой смеси γ = 1,35, а плотность смеси при 0 °С и атмосферном давлении 105 Па равняется 0,0014 г/см3. Считать процесс адиабатическим.

Ответ: приблизительно 680 м/с.

4.3. Убедитесь в том, что средняя, за большой отрезок времени, плотность энергии суммы двух гармоничных волн E равняется

сумме плотностей энергий составляющих волн E1 и E2 .

191

Р А З Д Е Л 5

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ

Невозмутимый строй во всем, Созвучье полное в природе, — Лишь в нашей призрачной свободе Разлад мы с нею сознаем.

Ф.И. Тютчев

5.1. Гармоничные волны

В предыдущих разделах при исследовании колебаний раз- личных систем важную роль играла гармоническая зависимость от времени. Это было связано с поиском нормальных колебаний линей- ных систем, т.е. периодических колебаний системы с гармонической зависимостью от времени. После нахождения нормальных колебаний появилась возможность представить произвольное колебание систе- мы как суперпозицию нормальных колебаний. На основе этого важ- ного результата был проведен анализ свободных и вынужденных ко- лебаний системы. Если внешняя сила, которая действует на систему, имеет произвольную зависимость от времени, то с помощью ряда (или интеграла) Фурье ее можно представить в виде суперпозиции сил с од- ной-единственной гармонической зависимостью от времени, а потом, изучив действие гармонической силы на систему, снова возвратиться

кзаданной силе, используя ряд (или интеграл) Фурье.

Ввопросах распространения волн гармоническая зависимость от времени имеет аналогичные преимущества: для сред, в которых вол- ны удовлетворяют линейным уравнениям, сохраняется синусоидаль- ная зависимость параметров волны (давление, скорость частиц сре- ды) от времени при распространении волны, при ее отражении и проникновении сквозь какую-либо границу, при рассеянии от пре- пятствия и тому подобное. Волны с другой зависимостью от времени такого свойства не имеют. Поскольку для линейных уравнений аку- стики справедлив принцип суперпозиции, то волну практически с

Тютчев Федор Иванович (1803—1873) — российский поэт.

192

произвольной зависимостью от времени можно представить в виде суперпозиции гармонических волн разных частот. Такое представле- ние позволяет вместо волн с произвольной зависимостью от времени изучать волны с одной-единственной зависимостью — гармониче- ской. В зависимости от того периодическая во времени или нет дан- ная волна, получаем соответственно или ряд, или интеграл Фурье. Ес- ли размышления продолжить дальше, то следует указать, что поле гармонической волны зависит, в общем случае, и от трех пространст- венных координат. При одинаковой частоте зависимость от коорди- нат может быть самой разной. Возникает вопрос о дальнейшем уп- рощении изучения волн: имеется в виду возможность представить для гармонических во времени волн их пространственную зависи- мость также в виде суперпозиции некоторого набора гармонических волн (естественно, такой же частоты).

Итак, зная поведение гармонических волн разных частот при тех или иных условиях распространения, методом Фурье можно найти закон распространения волны любого типа. Все это обусловливает важность изучения гармонических волн.

5.2. Плоские гармонические волны

Рассмотрим простейший случай, когда давление и колеба- тельная скорость зависят лишь от одной декартовой пространствен- ной координаты x, т.е. в этом случае волновое уравнение (4.27) имеет вид

Для гармонической временной зависимости с частотой ω звуковое давление можно определить так:

где T = 2π/ω — период колебаний частиц среды; p(x) — комплексная амплитуда давления. Такое звуковое поле можно, например, создать в трубе с идеально гладкими жесткими стенками (рис. 5.1), в которой по гармоническому закону с частотой ω колеблется плоский жесткий диск.

Рис. 5.1. Плоский диск в трубе

193

Подставив (5.2) в (5.1), получим уравнение Гельмгольца для ком- плексной амплитуды давления p(x):

Решение уравнения (5.3) ищем в виде exp(αx); тогда получаем алгеб-

где А и В — произвольные постоянные. Понятно, что действительная или мнимая части решения (5.4) также является решением волнового уравнения (5.1).

Обсудим физическую суть каждого из слагаемых. Укажем, что ряд свойств бегущих и стоячих волн уже обсуждался при анализе волно- вого движения в струне и мембране, но, начиная изучение звуковых волн, рассмотрим еще раз основные понятия волнового движения. Обратимся к первому слагаемому в решении (5.4). Пусть в точке x′ в момент времени t′ имеем некоторое значение звукового давления. Очевидно, что то же самое значение давления будет и в следующий

показывает: состояние частиц среды, которые характеризуются оп- ределенным давлением и колебательной скоростью, передается от од- них частиц среды к другим с постоянной скоростью c в положитель- ном направлении оси Ох. Такой процесс перемещения состояния сре- ды имеет название бегущей волны. Не трудно убедиться в том, что второе слагаемое в решении (5.4) определяет волну, которая распро- страняется в отрицательном направлении оси Ox . Очевидно, в самом общем случае можно определить волну как пространственно- временную эволюцию некоторого состояния среды.

Для гармонической волны состояние среды определяется величи- ной (ωt ± kx), которая называется фаза. В фиксированный момент времени t′ части среды, которые имеют одинаковые значения фазы (ωt′ – kx) = const, образовывают поверхность, которую называют фронт волны. Для волн (5.4) фаза зависит от одной пространственной координаты х, поэтому фронт волны есть плоскость, к которой пер- пендикулярна ось Ох, вдоль которой фронт волны перемещается. Волны, с фронтом в виде плоскости, называют плоскими.

194

Обращаясь к выражению Эйнштейна [*, с. 424], сделаем важное замечание: “Понятие плоской волны, подобно многим другим физиче- ским понятиям, есть не больше как абстракция, которую мы можем осуществить лишь с известной степенью точности. Тем не менее, это

— полезное понятие, и оно нам понадобиться в дальнейшем”. Дейст- вительно, понятие плоской волны широко используется не только в акустике, а и в других физических науках, где рассматриваются вол- новые процессы.

В соответствии с решением (5.4) гармоническая зависимость бе- гущей волны (давление, колебательная скорость) существует как во времени, так и в пространстве. В связи с этим, еще раз внимательно посмотрим на выражение для фазы гармонической бегущей волны, которое запишем в виде функции ψ (x,t) = ωt – kx. Как видим, с физи- ческой точки зрения волновое число k определяет количество радиан фазы на единицу смещения вдоль направления оси Ох, а частота ω — количество радиан фазы на единицу времени. Иначе говоря, волно- вое число k определяет скорость изменения фазы в пространстве, а частота ω — скорость изменения фазы во времени. Величины ω и k — это не произвольные постоянные, они связаны между собой функ- циональной зависимостью ω = ω (k). Такая зависимость имеет назва- ние дисперсионного соотношения (см. параграф 3.6). Так, для нашего случая, подставляя первое частное решение (5.4) в уравнение (5.1), получаем соотношение k = ω/c, что определяет линейную связь между волновым числом k и частотой ω с коэффициентом пропорционально- сти в виде постоянной c.

Зафиксируем некоторое значение фазы бегущей волны, т.е. пусть функция ψ (x,t) = const. Это означает, что мы определили для себя со- ответствующий фронт волны, т.е. соответствующее возмущение сре- ды. В ходе волнового процесса это возмущение (фронт волны) пере- мещается в среде. Поскольку фаза определенного фронта волны оста- ется постоянной: ψ (x,t) = const, то изменение фазы, вследствие при- ращения времени dt и пространственной координаты dx (дифферен- циал функции ψ (x,t)), должно равняться нулю: dψ = ωdt – kdx = 0. Это условие выполняется, если скорость перемещения фазы (фронта вол- ны) в бегущей волне равняется υф ≡ dx/dt = ω /k. Принимая во вни- мание равенство k = ω /c, получаем, что фазовая скорость плоской гармонической волны в идеальной среде равняется постоянной с, т.е.

υф = с = сonst.

Таким образом, отношение частоты ω к волновому числу k опреде- ляет фазовую скорость гармонической волны. Это равенство, в сущ-

* Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов. Т. 4. — М.: Наука, 1967. — 599 с.

195

ности, является другой записью дисперсионного уравнения. Как ви- дим, фазовая скорость υф равна постоянной с и не зависит от часто- ты ω, что указывает на отсутствие дисперсии в идеальной акустиче- ской среде.

Для гармонических плоских волн (см. (5.4)) изменение состояния параметров звукового поля в пространстве также происходит по гар- моническому закону. Поэтому вместе с временным периодом Т вво- дят понятие пространственного периода λ, на котором фаза волны изменяется на 2π, а параметры среды для плоской волны приобрета- ют те же самые значения. Итак, для фиксированного момента време- ни t′ имеем [ω t′ – k(x + λ)] – [ω t′ – kx] = 2π, откуда kλ = 2π, или

Рассмотрим другие свойства плоской бегущей волны. Запишем давление и колебательную скорость волны, которая распространяется в положительном направлении оси Ох:

Для волны, которая распространяется в отрицательном направлении оси Ох, имеем υx = –p/(ρc). Поскольку ∂p/∂y = ∂p/∂z = 0, то скорость колебаний частиц направлена вдоль оси Ox, т.е. в направлении рас- пространения волны. Такая волна является продольной. Это естест- венный результат, поскольку еще при выводе волнового уравнения была исключена возможность взаимодействия частиц среды при сдвиге, а, следовательно, и возможность появления поперечных волн.

Во втором разделе было введено понятие комплексного механиче- ского сопротивления Z, которое характеризует противодействие ме- ханической системы приложенной силе. Аналогичное понятие оказы- вается полезным и при изучении свойств волн. Удельным акустиче-

ским сопротивлением среды называют величину

где p и υn записаны в комплексной форме, т.е. выражение (5.7) опре- деляет отношение комплексных амплитуд давления и скорости час- тиц. Подставляя (5.6) в (5.7), определяем удельное акустическое со- противление среды для плоской волны, распространяющейся в поло- жительном направлении оси Ох:

Соответственно, для волны, которая распространяется в отрицатель-

196

ном направлении оси Ох, ζ = –ρс. Произведение ρс является важной характеристикой среды, его называют волновым сопротивлением среды.

Схожесть определений механического и удельного акустического сопротивлений побуждает к подобному толкованию их физического содержания, а именно к тому, чтобы считать, что ζ характеризует противодействие среды звуковому давлению, которое заставляет час- тицы среды двигаться. Тогда, чем больше p нужно “приложить”, что- бы получить заданное υ, тем большим будет сопротивление ζ. От та- кого объяснения, несмотря на его внешнюю убедительность, следует отказаться, поскольку давление и колебательная скорость — равно- правные характеристики звуковой волны. Отдадим предпочтение другому объяснению. При распространении звуковой волны робота, которая осуществляется движущими частицами над ближайшими неподвижными, определяется энергией, передаваемой неподвижным частицам. Согласно принятой модели среды, как идеальной сжимае- мой жидкости, полученная энергия состоит из потенциальной и кине- тической энергий. Потенциальная энергия ЕП = р2/(2χ) связана со сжимаемостью среды, причем, чем больше упругость среды χ, тем большие давления необходимы при заданной энергии для сжатия

среды. Кинетическая энергия EK = ρ v 2 /2 связана со скоростью v и

плотностью ρ, причем, чем большее инерционное противодействие среды колебаниям (ρ), тем меньше будет v . Таким образом, отноше- ние p/υ тем больше, чем большие упругое и инерционное противодей- ствия среды колебанием.

Приведем числовые значения акустических параметров воздуха и воды. Воздух: ρ = 1,24 кг м–3, с = 340 м с–1, ρс = 420 кг м–2 с–1. Вода:

ρ = 1000 кг м–3, с = 1500 м с–1, ρс = 1,5 106 кг м–2 с–1.

Обратим внимание еще на одно важное обстоятельство. Удельное акустическое сопротивление среды для плоской волны оказывается действительной величиной. Это следствие совпадения фаз давления и колебательной скорости. Комплексный характер ζ должен свидетель- ствовать о наличии угла сдвига фаз между давлением и колебатель- ной скоростью.

Рассмотрим общий случай, когда давление в плоской волне зави- сит от трех пространственных координат. В приведенном выше слу- чае (зависимости давления от одной пространственной координаты) фазовый фронт двигался вдоль оси Ох. Линию, перпендикулярную к фронту волны, вдоль которой движется фронт волны, называют лу- чом. Характеризуя волновой процесс, говорят или о фронте бегущей волны, или о лучах, вдоль которых фронт волны распространяется. Если движение фазового фронта происходит не вдоль одной из коор- динатных осей, то его путь определяется скалярным произведением

197

вектора r, который определяет положение любой точки на плоскости фронта волны, и вектора нормали n к фронту волны (рис. 5.2). Равен- ство rn = l является уравнением плоскости, которая представляет со- бой волновой фронт. Таким образом, путь фазового фронта можно записать в таком виде:

где х, y, z — координаты вектора r; θx, θy, θz — углы, которые образует единичный вектор n с осями координат Ox, Oy, Oz (при этом выпол- няется соотношение [8]: сos2θx + cos2θy + cos2θz = 1).

Если фронт плоской волны перпендикулярен к плоскости хОу, то γ = 0 и фазовый путь зависит только от двух пространственных коор- динат х и у. В такой ситуации говорят, что рассматривается так на-

Запишем выражение плоской волны, которая двигается в произ-

Вектор k = kn называют волновым вектором. Его направление сов- падает с вектором n, а модуль |k| равен волновому числу k. Координа- ты вектора k = (kx, ky, kz) — это его проекции на соответствующие ко- ординатные оси. Перепишем выражение для волны давления (5.11), используя координатную форму записи скалярного произведения kr:

При распространении волна оставляет на координатных осях или координатных плоскостях так называемый след. Например, согласно (5.12), след на оси Ох имеет вид p(x, 0, 0, t) = a cos(ωt – kxx), его можно рассматривать как одномерную волну, которая распространяется

198

вдоль оси Ох. Волновое число следа kx = k cosθx — проекция волнового вектора k на ось Ox. В этом случае фазовая скорость следа равна

Аналогично след волны на любой координатной плоскости, напри- мер плоскости x = 0, p(0, y, z, t) = a cos(ωt – kyy – kzz), можно рассмат- ривать как двумерную бегущую волну на плоскости х = 0. Временная зависимость всех следов такая же, как и в исходной волне (5.12), но волновые векторы следов разные: они определяются проекциями волнового вектора исходной волны (5.11) на соответствующие оси или плоскости. Так, волновое число следа на оси Ох есть kx = kcosθx, а на плоскости х = 0 имеем

ky2 +kz2 = k2 cos θy2 + k2 cos θ2z = k2(1−cos2 θx ) = k sinθx .

Соответствующая фазовая скорость следа на плоскости x = 0 равня-

лелен плоскости x = 0, то фазовая скорость следа υф = ∞; если θ = 90°, здесь фронт волны (5.12) перпендикулярен к плоскости х = 0, то

υф = с.

Поскольку волновое число определяет скорость изменения фазы вдоль пространственной координаты, то можно также говорить и о длине волны следа. Например, для следа вдоль оси Ох

λ = 2π/k — длина волны (5.12). Вообще след волны можно определить на любой плоскости, которая пересекает пространство, в котором распространяется волна.

Таким образом, для любого следа гармоничной плоской волны вы- полняются следующие соотношения между характеристиками исход- ной волны и следа:

1)длина волнового вектора следа kсл не превышает длину волново- го вектора исходной волны k, ведь kсл является проекцией k на плос- кость следа;

2)фазовая скорость и длина волны следа не меньше, чем фазовая скорость и длина волны в исходной волне.

Рассмотрим энергетические характеристики волны. В бегущей пло- ской волне давление и колебательная скорость связаны простым соот-

ношением: p/υ = ρc. Отсюда согласно (4.44) для плотности кинетической и потенциальной энергий имеем равенство ЕК = ЕП, тогда плотность полной энергии в плоской звуковой волне можно определить так:

199

Для плоской волны, которая распространяется в направлении век- тора n, запишем вектор плотности мощности:

Направление вектора W совпадает с направлением распространения волны, а его модуль равен плотности энергии, умноженной на ско- рость волны, т.е. W = Wn = Ec. Другими словами, энергия в плоской волне переносится в среде со скоростью звука. Это обусловлено от- сутствием сдвига фаз между давлением и колебательной скоростью, что приводит к отсутствию реактивной составляющей в потоке мощ- ности (4.50). Итак, в плоской волне вся энергия, присущая подвиж- ным частицам, передается неподвижным, что и отображается соот- ношением (5.16).

Наконец, запишем формулу для среднего потока мощности (ин- тенсивности) в плоской волне. Согласно (4.52) положив ψ = 0, имеем максимально возможное значение интенсивности

где p0 и υ0 — амплитуды давления и колебательной скорости частиц среды в плоской волне.

5.3. Поглощение звука

При распространении звуковой волны в идеальной одно- родной среде уменьшение интенсивности звука обусловлено расши- рением волнового фронта (вспомним круговые волны на поверхности озера от брошенного камешка). В реальной среде происходит также затухание звука вследствие его поглощения, т.е. переход звуковой энергии в тепловую энергию. Такие процессы в физике называют диссипативними (от латинского слова dissipatus — разбросанный) и о среде говорят как о среде с диссипацией.

Вопрос о возможности пренебрежения поглощением нужно ре- шать в каждом конкретном случае— общего критерия здесь нет. От- вет зависит и от самой постановки задачи исследуемого явления, и от необходимой точности при решении задачи. Природа поглощения звука довольно сложна, поскольку определяется молекулярной струк- турой вещества среды, и исследование этих явлений выходит за рам-

200