Основы_акустики_Гринченко_Вовк

системой, в которой существуют возбужденные колебания, можно на- блюдать постепенное уменьшение амплитуды колебаний. Полученная системой в начальный момент энергия или будет вытекать из систе- мы в окружающие объекты (в частности, таким механизмом истече- ния может быть излучение звуковой энергии в окружающую среду), или будет превращаться в теплоту в самой системе. Эти обстоятельст- ва описывают с помощью понятия демпфирования (от немецкого сло- ва dёmpfer — глушитель) колебаний. Механизм рассеяния энергии чрезвычайно разнообразен, и создание соответствующей математиче- ской модели нередко является очень сложным делом. В задачах аку- стики часто удается достаточно точно качественно и количественно описать процессы рассеяния энергии, вводя в рассмотрение силу со- противления, пропорциональную первый степени скорости:

Здесь знак “минус” указывает на тот факт, что сила направлена про- тив вектора скорости; R — коэффициент демпфирования (сопротив- ления, трения), H c/м.

Если теперь учесть, что в колебательной системе (см. рис. 2.1,а) на массу действует сила сопротивления (2.25), то второй закон Ньютона будет иметь вид:

Разделив это уравнение на величину m, изменим размерность коэф- фициентов уравнения, придав ему стандартный вид уравнения для системы с одной степенью свободы при наличии демпфирования. При этом становится уже не существенным и физическое содержание самой обобщенной координаты, относительно которой записано урав- нение. Согласно принятым в первом параграфе обозначениям для гармонического осциллятора уравнение движения системы с демп- фированием запишем в виде:

Здесь ω0 — собственная частота системы при отсутствии демпфиро- вания; δ — коэффициент затухания.

Конкретное движение колебательной системы определяется зада- нием начальных условий (2.12). Задача нахождения решений обыч- ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (именно таким есть уравнения (2.27)) относительно простая. Она легко сводится к задаче нахождения корней алгебраических уравнений, степень которых совпадает с порядком дифференциального уравне- ния. При этом используется тот факт, что экспоненциальная функция инвариантна относительно операции дифференцирования. Если, в

41

Рис. 2.6. Пример колебания затухающего осциллятора

Решение (2.33) описывает затухающее колебательное движение, амплитуда которого уменьшается согласно закону exp(–δt) (рис. 2.6). Понятно, что функция ξ(t), как и функция ξ(t), не является периоди- ческой, поскольку для любого T очевидно, что ξ(t) ≠ ξ(t +T ). Поэтому в

строгом понимании слова периода не существует. Тем не менее, время между двумя последовательными прохождениями системы через по- ложение равновесия (в одном направлении), или между двумя после- довательными максимальными отклонениями, есть постоянная вели- чина. Это обстоятельство позволяет ввести понятие периода для зату- хающего осцилляторного процесса:

где Ω — угловая частота затухающего колебания. Видно, что наличие демпфирования увеличивает период колебаний сравнительно с пе- риодом колебаний системы без демпфирования. Уменьшение частоты собственных колебаний можно было ожидать, ведь трение вообще за- держивает движение. Скорость демпфирования колебаний зависит от коэффициента затухания δ, при этом отношение максимальных от- клонений, отстоящих на период, имеет вид

43

которых амплитуда уменьшается в е раз. Тогда τ = NT и θ = δT = T/τ = 1/N. Таким образом, θ — величина, обратная числу пе- риодов, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Если, напри- мер, θ = 0,01, то это означает, что амплитуда уменьшается в e раз по- сле 100 периодов.

2.2.2. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания системы — это такие ее движе- ния, которые обусловлены действием внешней силы. При математи- ческом моделировании такой ситуации необходимо построить опре- деленную модель внешней силы. При этом часто считают, что внеш- няя сила не зависит ни от обобщенной координаты ξ(t), ни от обобщен-

ной скорости ξ(t) системы, т.е. от характера движения системы. Как

будет показано ниже, такое предположение — это довольно грубая модель для любого реального источника колебаний. Суть дела в том, что это предположение эквивалентно предположению о неограничен- ной мощности источника движения.

Следует отметить, что в механических колебательных системах не так просто с технической точки зрения влиять периодической силой непосредственно на массу, которая двигается. Значительно проще это сделать в электрических или оптических колебательных системах, на- пример, в колебательном контуре, при подключении его к внешнему источнику переменного напряжения (рис. 2.7, б). Но нетрудно понять, что поддерживать колебание системы, которая изображена, напри- мер, на рис. 2.1, а, можно, не прикладывая непосредственно внеш- нюю силу F(t) к массе тела, достаточно эту силу приложить к свобод- ному кольцу пружины, как это изображено на рис. 2.7, а.

Итак, пусть правый конец пружины на рис. 2.7, а выполняет за- данное движение в горизонтальном направлении согласно закону x(t) . В состоянии покоя пружина не деформирована и x = 0 . Тогда

уравнение движения системы записывается аналогично выражению (2.2). Однако в данном случае упругая сила пропорциональна относи-

где F(t) = Kx(t) . Имеем уравнение осциллятора, в правой части которо-

го вместо нуля стоит заданная функция независимой переменной F(t). Эта функция определяет внешнее силовое влияние на систему.

45

Здесь обозначение Re(…) указывает на то, что выделена действитель-

ная часть комплексной величины. Поскольку коэффициенты уравне- ния (2.41) действительные, то при поиске его частного решения мож- но сначала найти комплексное решение уравнения

а потом для отыскания зависимости, которая описывает поведение реальной физической системы, выделить его действительную часть. Фактическое выполнение такой операции в задачах акустики, когда основной интерес представляет изучение интегральных характери- стик движения, часто не требуется. Все необходимые сведения удает-

ся получить непосредственно из комплексного решения.

Особое внимание нужно обратить на такое обстоятельство. Как видно из (2.42), cos(ωt) есть действительная часть двух разных экспо- нент, которые различаются знаком показателя степени. Если потом, анализируя решение, выделить действительную часть, то различие между двумя возможными решениями исчезает; если рассматривать решения в комплексной форме, то можно увидеть, что они сущест- венно различаются. В акустической литературе используются обе возможные формы комплексного решения. Важно лишь при этом быть последовательным, — выбрав одну из возможных форм зависи- мости, нужно сохранять ее на протяжении всего рассмотрения. В дальнейшем будем использовать временную зависимость exp(–iωt).

Частное решение (2.43) получаем в виде:

После подстановки (2.44) в уравнение (2.43) легко определить ампли- тудную характеристику А, тогда решение приобретает вид

Действительная часть комплексной функции (2.45) определяется вы- ражением:

где

47

Поскольку коэффициент затухания δ << ω0 (что практически всегда наблюдается для осцилляторов, которые нас интересуют), то частоты

Ω = ω20 − δ2 и ω0 мало отличаются одна от одной. Поэтому погреш-

ность, которая накапливается в фазе колебаний за время установле- ния вследствие такого изменения, будет малой. Итак, положив Ω ≈ ω0, в итоге получим такой результат:

типичный вид зависимости (2.50) отображен на рис. 2.8. Как видим, в начале происходит рост амплитуды колебаний, которая в установив-

шемся режиме выходит на стационарный уровень A = F0 (Rω0 ). Время наращивания колебаний можно оценить так: δ–1.

Рис. 2.8. График установления колебаний в осцилляторе под действием гар- монической внешней силы при нулевых начальных условиях

Вынужденные колебания в системе будут поддерживаться беско- нечно долго благодаря действию периодической силы. Собственные колебания после окончания определенного интервала времени зату- хают. Начальные условия возмущения колебаний влияют лишь на ам- плитудные и фазовые характеристики собственных колебаний. Сис- тема, которая находится в режиме установившихся вынужденных колебаний, “не помнит” начало колебаний. Эта возможность — абст- рагироваться от начальных условий при рассмотрении вынужденных колебаний — позволяет существенно упростить ряд сложных задач физической акустики. Сосредоточим наше внимание на установив- шихся колебаниях осциллятора.

49