Основы_акустики_Гринченко_Вовк

При этом максимальные значения амплитуд имеют вид:

Здесь Ω = ω20 − δ2 — собственная частота свободных колебаний сис-

темы с демпфированием.

На рис. 2.9 показаны частотные зависимости амплитуд смеще- ния и скорости. Когда амплитудная характеристика рассматривае- мой величины достигает максимального из всех возможных значе- ний, говорят о возникновении резонанса в системе. Вследствие указанного обстоятельства можно говорить о существовании в сис- теме с демпфированием резонанса по смещению и резонанса по скорости.

Итак, для системы с демпфированием имеем три характерных частоты, а именно:

Ω = ω20 − δ2 — собственных колебаний;

ωI = ω20 − 2δ2 — резонанса по смещению;

ωII = ω0 — резонанса по скорости.

Во многих практически важных случаях демпфирование в системе незначительное: δ2 << ω20 , поэтому количественные различия между

указанными характерными частотами малы. По этой причине в даль- нейшем, без специальных оговорок, мы будем говорить о резонансной частоте осциллятора, как о частоте ω0.

Для характеристики резонансных явлений важно обратить внима- ние на фазовые соотношения. Согласно формуле (2.47) для любой час- тоты ω имеем sin ϕ < 0, т.е. –π < ϕ < 0. Итак, отклик всегда отстает по фазе от внешней силы. Из выражения (2.47) имеем:

ϕ ≈ −π + +2δω. Таким образом, вне области резонанса колебания ос- циллятора происходят или в фазе с внешним воздействием ( ω << ω0 ), или в противофазе с ним ( ω >> ω0 ). Переход из одного состояния в

другого при изменении частоты воздействия происходит в узкой по- лосе шириной порядка 2δ вблизи резонансной частоты ω0. Точно на резонансе (ω = ω0) сдвиг фазы равняется ϕ = –π/2.

51

источника с неограниченной мощностью. Поэтому согласно формуле (2.53) на резонансе (при ω → ω0) и при условии δ → 0 (осциллятор без демпфирования) амплитуда колебаний системы стремится к беско- нечности, т.е. система потребляет неограниченную энергию. Тем не менее, решение (2.51), (2.53) записано в соответствии с предположени- ем о наличии установившихся колебаний с постоянной амплитудой, что не имеет место при таких предположениях. В этом случае нужно быть более осторожными.

Рассмотрим осциллятор без демпфирования (δ → 0), на который в момент времени t = 0 начинает действовать сила F(t) = F0cos(ωt), при

Как видим, колебание системы состоят из двух гармонических дви- жений (вынужденного и собственного), причем амплитуды этих коле- баний одинаковы. Поэтому результирующее колебание в общем случае не будет гармоническим. Раскачивание (амплитуда колебаний) систе- мы зависит от соотношения частот ω и ω0. При ω → ω0 нужно рас- крыть неопределенность типа 0/0. Таким образом, получим

В записанном резонансном решении амплитуда колебаний линей- но возрастает со временем. Для любого момента времени решение ос- тается конечным, но колебание некогда не выходят на установив- шийся уровень. Итак, наличие демпфирования в системе приводит к интересному результату, ни при каких условиях невозможен беско- нечный рост амплитуды. Амплитуда колебаний на резонансе ограни- чивается именно наличием в системе демпфирования.

В конце этого параграфа еще раз обратим внимание на аспект, который вытекает из проведенного анализа: для раскачивания коле- бательной системы недостаточно иметь источник с большой мощно- стью. Даже при неограниченной мощности источника колебания в системе могут быть очень малы, если характер действия источника не согласован с внутренними свойствами колебательной системы. По-

53

Δω = ω2 − ω1 = 2δ и добротность имеет такой вид:

Итак, добротность системы — это отношение двух ее временных характеристик. Уменьшение амплитуды собственных колебаний сис- темы характеризуется постоянной времени затухания τ = 1/δ (см. (2.38)). Учитывая этот факт, из формул (2.60) и (2.61) имеем важное соотношение между шириной резонансной кривой вынужденных ко- лебаний и постоянной времени затухания свободных колебаний:

Как видим, они связаны обратно пропорциональной зависимостью. Это есть общий результат в том понимании, что указанная зависи- мость характерна для колебательных систем разной физической при- роды. Уравнение (2.62) имеет практическое значение. Часто экспери- ментально легче изучить поведение системы вблизи резонанса в ре- жиме вынужденных колебаний, чем наблюдать время затухания. В этом случае, определив ω, из формулы (2.62) легко найти τ.

Запишем одно полезное соотношение между логарифмическим декрементом затухания θ и добротностью Q:

При Q = 1/2 имеем θ → ∞. Это наблюдается на границе колебатель- ного режима. При Q < 1/2 собственные движения в системе не коле- бательные. В случае высокой добротности (Q >> 1) (2.63) заменяется простым приближенным соотношением

В качестве примера приведем порядок величины добротности неко- торых типов осцилляторов:

электрический контур — 50…500; громкоговоритель (на низких частотах) — 3...10…10; рояльная или скрипичная струна — 1000; камертон — 3000; кристалл кварца — 500 000.

55

влиянием демпфирования на колебательный процесс в окрестности этих частот. Эти характерные особенности осциллятора мы еще рас- смотрим в следующем параграфе.

Фазовые соотношения отображены на рис. 2.12, в. Как видим, сдвиг фазы между скоростью и силой определяется неравенством −π2 < ϕυ < π2; сдвиг

фазы между откликом и силой изменяется в пределах –π < ϕ < 0, т.е. отклик всегда отстает от воздействия. Еще раз укажем, что для осцилляторов с Q >> 1 (скажем, Q > 10) при ω << ω0 колебания осциллятора происходят практически в фазе с внешним воздействием, а при ω >> ω0 — в противофазе. Переход с одного состояния в другое при изменении частоты внешнего воздействия наблюдается в довольно узкой полосе вблизи резонансной частоты ω0. Точно на резонансе (ω = ω0) сдвиг фазы ϕ = –π/2, а ϕυ = 0. Укажем, что при увеличении добротности кривые на рис. 2.12, в все больше приближаются к функции-ступеньке. Для осциллятора без демпфирования (Q → ∞)

ϕ = 0 и ϕυ = π/2 если ω < ω0 и ϕ = –π, ϕυ = –π/2 если ω > ω0.

Пример 2.5. Монокристалл сапфира в вакууме при низкой темпе- ратуре имеет добротность Q = 108…109... Частота собственных коле- баний монокристалла ω0 = 104 c–1. Оцените, во сколько раз изменится амплитуда свободных колебаний за сутки.

Решение. Добротность Q = ω0/(2δ), отсюда коэффициент затухания δ при Q = 108 равен δ = 5 10–5 с—1, а при Q = 109 имеем δ = 5 10–6 с–1. Амплитуда колебаний кристалла через сутки, т.е. за промежуток вре- мени t = 8,64 104 c, изменится в exp(δt) раз. При Q = 108 это составля- ет приблизительно 75, а при Q = 109 — приблизительно 1,5 раза.

Амплитуду колебания системы на частоте ω0 называют динамиче-

ским откликом системы ξд, т.е. ξд = А(ω0). Тогда из формулы (2.65)

будем иметь соотношение:

Таким образом, амплитуду установившегося вынужденного колебания на частоте резонанса ω0 можно определить, умножив величину пере- мещения при статической нагрузке ξст на добротность системы Q. По- нятно, что когда добротность системы Q >> 1, то амплитуда резонанс- ных колебаний может достигать значительных величин! Система, ус- тойчивая к внешнему статическому влиянию, может быть разрушена, если внешняя сила удерживает частотные компоненты, которые сов- падают с резонансной частотой системы. Именно поэтому необходи- мым есть точный расчет резонансных частот разнообразных сложных колебательных систем; например, мосты, корпусы самолетов и кораб- лей, сложные электрические схемы, мощные электроакустические преобразователи.

57

2.2.4. Комплексное механическое сопротивление

Из анализа поведения колебательной системы под влияни- ем внешней периодической силы видно, что реакция системы зависит не только от амплитуды внешней силы, но и от частоты воздействия. Как новая важная интегральная характеристика процесса вынуж- денных колебаний системы используется комплексный механический импеданс (от латинского слова impedio — препятствую), или ком-

плексное механическое сопротивление. Эта величина определяется как отношение комплексных амплитуд силы и скорости в режиме ус- тановившихся колебаний системы. Если учесть (2.45) для ξ(t), то вы- ражение для комплексного механического импеданса, который обо- значается как Z, Н с м–1 = кг с–1, будет иметь вид

Если частота ω20 = Кm и характеристика демпфирования 2δ = R/m, то последнее выражение записываем так:

Как любую комплексную величину, импеданс можно представить в виде

Z = Z exp(iϕυ), где

Итак, модуль Z равен отношению амплитуд внешней силы и колеба- тельной скорости, а величина ϕυ определяет разность фаз между внешней силой и колебательной скоростью в системе.

Рассмотрим зависимость импеданса системы от частоты внешней силы ω:

мнимый и положительный; он обратно пропорционален частоте ω и

58

не зависит от R. Такой импеданс называют импедансом упругого ти- па и говорят, что система управляется упругостью;

мнимый и отрицательный; он пропорционален частоте ω и не зави- сит от R . Это импеданс массового типа, и говорят, что система управляется массой.

Полученные результаты можно пояснить наглядными физически- ми соображениями. Если частота внешнего действия ω мала по срав- нению с частотой ω0, то в левой части уравнения (2.39) главную роль сыграет только слагаемое Кх и потому Kx ≈ F0cos(ωt). Внешняя сила тратится главным образом на преодоление упругой силы. Смещение совпадает по фазе с внешней силой.

Наоборот, когда частота ω значительно больше частоты ω0, то глав- ную роль играет слагаемое (mx ) и mx ≈ F0 cos (ωt ). В этом случае

внешняя сила, главным образом, тратится на то, чтобы придать массе ускорение. Ускорение совпадает по фазе с внешней силой (а смеще- ние противоположно по фазе).

Вобласти резонанса слагаемые (mx) и (Кх), хотя и велики каждый

вотдельности, но приблизительно равны по величине и противопо- ложны по знаку. Действительно, поскольку сдвиг фазы между внеш-

ней силой и смещением ϕ ≈ –π/2 при ω ≈ ω0, колебания происходят по

сила направлена только на преодоление силы демпфирования. Ампли- туда скорости Aυ(ω0) = F0/R и, если демпфирование мало, то Aυ(ω0) ве- лика; скорость совпадает по фазе с внешней силой.

Проведенный анализ свойств величины Z наглядно отображается в частотных характеристиках рис. 2.12. Как видим, в окрестности час- тоты резонанса ω0 поведение осциллятора определяется демпфирова- нием, т.е. величиной добротности Q. За пределами резонансной зоны поведение графиков совпадает. Это есть принципиальный момент, ведь вне резонансной зоны влияние демпфирования на колебательное движение практически несущественно.

59