1.2. Основные законы и тождества алгебры логики

Булева алгебра позволяет математически описывать логические функции и преобразовывать их, давая возможность реализации их на различных функционально полных системах. Выполнение операций в сложном логическом выражении возможно в определенном порядке, исходя из подчиненности операций между собой. Вначале выполняют операции инверсии, потом операции конъюнкции и в последнюю очередь – операции дизъюнкции. Для изменения рассмотренного порядка можно использовать скобки: операции в скобках выполняют в первую очередь, а если используют и вложенные скобки, то вначале выполняются операции во внутренних скобках. Для преобразований выражений булева алгебра располагает тождествами, в справедливости которых нетрудно убедиться:

; –	закон инверсии		–	закон двойного отрицания
–	закон сложения с 0		–	закон умножения на 0
–	закон сложения с 1		–	закон умножения на 1
–	закон тождества для сложения;		–	закон тождества для умножения
–	закон исключенного третьего;		–	закон противоречия

Для операций сложения и логического умножения действуют переместительный и сочетательный законы:

;

Проверить справедливость записанных соотношений можно непосредственной подстановкой в них значений и выполнением логических операций.

При преобразовании выражений используются законы тождественных преобразований:

, – закон поглощения;

, – закон склеивания.

Тождества, записанные в первой строке, называют операциями поглощения: информация сложного выражения (Х₁^.Х₂ или Х₁+Х₂) полностью поглощается информацией, содержащейся в более простой переменной Х₁.

При склеивании два выражения, отличающиеся только одной переменной, когда эта переменная в одно выражение входит в виде прямого значения величины, а в другое – в виде его инверсного значения, можно заменить общей для обоих выражений частью.

Большое значение для построения схем логических устройств имеют два правила де Моргана. Они дают возможность заменить операцию конъюнкции дизъюнкцией и наоборот, что позволяет строить логические устройства, используя только часть элементарных функций, обойтись их более простым набором.

1. Инверсия конъюнкции равна дизъюнкции инверсий:

.

2. Инверсия дизъюнкции равна конъюнкции инверсий:

При применении правила де Моргана (преобразовании логических операций) сначала используют двойную инверсию преобразуемой части выражения (при этом информация этой части не меняется), потом одну из инверсий заменяют по правилу де Моргана. Например, чтобы исключить дизъюнкцию из выражения надо взять двойную инверсию отдельно для выражений и и к каждому выражению применить второе правило де Моргана:

.

Чтобы убрать из рассматриваемого выражения конъюнкцию, надо дважды инвертировать и преобразовывать по первому правилу всю функцию, считая каждую ее часть как отдельную переменную, и конъюнкцию в первой дизъюнкции: