1.1. Логические функции

Переключательной или булевой функцией называют функцию вида , которая, как и ее аргументы ( переменные ), может принимать два значения: 0 или 1. Областью определения булевой функции является совокупность комбинаций значений аргументов. Каждую совокупность значений аргументов называют набором. Для переключающей функции от n переменных существует 2ⁿ различных наборов. Булева функция определена на 2ⁿ наборах.

Например, одна переменная может принять только два отличающихся значения (0 или 1). Две переменные образуют четыре различных сочетания (набора) значений. Три переменные могут образовать восемь таких наборов.

Наборы значений двоичных переменных для функций одной, двух и трех переменных приведены соответственно в таблицах 1.1-1.3.

Таблица 1.1 Таблица 1.2 Таблица 1.3

Х 1 0 0 0 0 1 1 1 1 Х2 0 0 1 1 0 0 1 1 Х3 0 1 0 1 0 1 0 1

Х1 Х2

0 0 1 1 0 1 0 1

Х

0 1

Набор может быть представлен некоторым n-мерным вектором-строкой или вектором-столбцом. Наборы аргументов нумеруют двоичными числами, разрядам (знакоместам) которых соответствуют номера аргументов, а значениям цифр знакомест – значения соответствующих аргументов. Так как двоичное число может быть переведено в любую систему счисления, то и значения аргументов булевой функции может быть представлено числами в любой системе счисления.

Поскольку Булева функция определена на 2ⁿ наборах и сама принимает два значения, то существует булевых функций от n аргументов. Например, при n=1 существует 4 функции (табл.1.4).

Функции одного аргумента Таблица 1.4.

Функция	Значение аргумента	Значение функции	Название функции
F0	0	0	Константа 0
	1	0
F1	0	0	Повторение
	1	1
F2	0	1	Отрицание или инверсия
	1	0
F3	0	1	Константа 1
	1	1

При n=2 существует 2⁴=16 логических функций, определенных на 4 наборах. Из 16 функций реально бинарными являются 10.

Логическая функция может быть задана либо математическим выражением (формулой), либо таблицей, описывающей связь между входными и выходными значениями функции. Такая таблица носит название таблицы истинности. В таблице истинности указываются все возможные (имеющие смысл, допустимые в условиях применения функции) наборы входных переменных и соответствующие им значения выходной (выходных) переменной (переменных).

Простейшие логические функции, из которых можно выполнить любую сложную функцию, называют элементарными. К элементарным логическим функциям относятся функции одной и двух переменных.

Рассмотрим наиболее распространенные элементарные логические функции, имеющие большое практическое значение. Они, как правило, имеют несколько общепринятых названий. Каждую функцию представим таблицей истинности и условным графическим изображением логического элемента, который ее реализует.

1. Инверсия (логическое отрицание, операция НЕ): выходной сигнал всегда принимает значение, противоположное входному, что можно выразить следующим математическим (логическим) выражением:

Инверсия – функция одной переменной.

Логический элемент, в котором выполняется операция инверсия, называется инвертором. Таблица истинности инвертора приведена в таблице 1.5, условное обозначение инвертора показано на рис. 1.2.

Таблица 1.5

X	0 1
Y	1 0

Рис. 1.2. Инвертор

2. Дизъюнкция (операция логического суммирования, операция ИЛИ): как и все рассматриваемые в дальнейшем функции, является функцией не менее двух переменных: на выходе логического элемента (устройства) будет уровень единицы, если есть единица хотя бы на одном входе (ИЛИ на входе X1, ИЛИ на входе X2, ИЛИ на входах X1 и X2 вместе). Она получается логическим суммированием значений входных переменных, при этом, если суммируются две и более единицы, то в результате получается единица. Математически это записывается так:

.

Таблица 1.6 описывает работу логического элемента ИЛИ с двумя входами (двумя входными переменными); его условное обозначение приведено на рис. 1.3.

Таблица 1.6

X1 X2	0 0 1 1 0 1 0 1
Y	0 1 1 1

Рис.1.3. Элемент ИЛИ

3. Конъюнкция (операция логического умножения, операция И):

на выходе логического устройства будет единица, если единица поступает одновременно на все его входы. Нетрудно заметить, что значение выходной переменной определяется перемножением значений всех входных переменных. Математическая запись операции конъюнкции:

.

Таблица 1.7 является таблицей истинности логического элемента И; его условное обозначение приведено на рис. 1.4.

Таблица 1.7

X1 X2	0 0 1 1 0 1 0 1
Y	0 0 0 1

Рис. 1.4. Элемент И

Следующие две операции являются попарным объединением уже рассмотренных.

4. Операция штрих Шеффера (И-НЕ) объединяет элементы конъюнкции и инверсии: сначала выполняется конъюнкция, а потом результат инвертируется:

Таблица 1.8 описывает работу логического элемента И-НЕ, условное обозначение приведено на рис. 1.5.

Т аблица 1.8

X1 X2	0 0 1 1 0 1 0 1
Y	1 1 1 0

Рис. 1.5. Элемент И-НЕ

5. Операция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ) объединяет дизъюнкцию и инверсию: сначала выполняется операция дизъюнкция, а потом результат инвертируется:

Работа логического элемента ИЛИ-НЕ описана в таблице 1.9, условное обозначение приведено на рис. 1.6.

Т аблица 1.9

X1 X2	0 0 1 1 0 1 0 1
Y	1 0 0 0

Рис. 1.6. элемент ИЛИ-НЕ

6. Операция исключающее ИЛИ: на выходе логического элемента (устройства) будет уровень логической единицы, если есть единица только на одном входе (ИЛИ на входе X1, ИЛИ на входе X2).

Работа логического элемента исключающее ИЛИ описана в таблице 1.10, условное обозначение приведено на рис. 1.7.

Таблица 1.10

X1 X2	0 0 1 1 0 1 0 1
Y	0 1 1 0

Рис. 1.7. Элемент исключающее ИЛИ

Эти функции могут быть распространены на большее число аргументов с помощью суперпозиции, т.е. замены аргументов одной функции другими функциями. Таким образом, возможно получение более сложных функций из элементарных.

Система элементарных булевых функций называется полной, если на ее основе можно получить любую функцию, используя лишь операцию суперпозиции. Существует несколько таких наборов. Основной функционально полный набор: , , .

В этом наборе одна из функций F₁ или F₂ является лишней, так как без одной из них полнота сохранится. Тогда функционально полными наборами будут: и или и .

Оказывается, каждая из функций: штрих Шеффера ( ) и стрелка Пирса ( ) являются также функционально полными. Недостающие функции можно получить на основе известных аксиом, тождеств и правил алгебры логики.

Для реализации логических операций над входными логическими сигналами промышленностью выпускаются интегральные логические микросхемы. При этом микросхемы могут содержать не только несколько отдельных логических элементов, выполняющих элементарную функцию, но и объединения элементов, выполняющих более сложные функции.

а б в

Рис. 1.8. Примеры состава микросхем

На рис. 1.8 приведены условные графические обозначения состава некоторых микросхем. Выполняемые ими логические функции определяются последовательным прохождением сигналов от входа к выходу и выполнением встречающихся при этом логических операций. Например, микросхема на рис. 1.8,а содержит четыре отдельных логических элемента И-НЕ, каждый из которых имеет два входа. Микросхема на рис. 1.8,б выполняет более сложную функцию: два – четырехвходовых элемента И объединяются операцией ИЛИ и результат инвертируется, что можно условно записать 2-4И-ИЛИ-НЕ. Микросхема на рис. 1.8,в содержит четыре логических элемента И на два входа каждый, которые попарно сгруппированы в два элемента ИЛИ-НЕ, причем второй элемент ИЛИ-НЕ обладает возможностью расширения по входам А и В.

Подаваемые на входы А и В второго элемента логические переменные образуют с третьим и четвертым элементами И дизъюнкцию, результат которой перед поступлением на выходы инвертируются. Таким образом, микросхема выполняет функцию 2-2И-2ИЛИ-НЕ с возможностью расширения по ИЛИ.