Дисперсійний аналіз однофакторного досліду

Дисперсійний аналіз проводять в декілька етапів. Кількість їх залежить від структури експерименту. Найбільш простим є однофакторний дослід, але й він виконується за певними етапами.

Для прикладу розглянемо аналіз даних врожайності пшениці в залежності від 4 варіантів удобрення. Для порівняння взятий варіант без добрив (контроль).

Перший етап. Складають підсумкову таблицю, де находять суми по варіантах та повтореннях, визначають середню врожайність (табл. 1).

Таблиця 1. Врожайність пшениці, ц/га

Варіанти (l)	Повторення (n)				∑V	Середня
	І	ІІ	ІІІ	IV
1(St)	53,4	54,2	54,4	54,5	216,5	54,1
2	58,6	57,4	56,8	57,3	230,1	57,5
3	53,5	53,8	54,0	54,3	215,6	53,9
4	47,2	47,4	49,2	48,1	191,9	48,0
5	56,2	56,8	56,3	56,6	225,9	56,5
∑P	268,9	269,6	270,7	270,8	∑X=1080,0	= 54,0

Завершується перший етап перевіркою:

Якщо цього рівняння немає, обчислення за першим етапом повторюють. Середню врожайність досліду ( ) обчислюють за формулою:

де _; l - кількість варіантів, п - кількість повторень.

Другий етап. Для подальших розрахунків вводять довільний показник, який за значенням близький середньому з досліду (у нас , тому візьмемо А=55,0) і обчислюють від нього відхилення: і так далі (табл. 2).

Таблиця 2. Відхилення від довільного показника

Варіанти	Повторення				∑V1
	І	ІІ	III	IV
1 (St)	-1,6	-0,8	-0,6	-0,5	-3,5
2	3,6	2,4	1,8	2,3	10,1
3	-1,5	-1,2	-1	-0,7	-4,4
4	-7,8	-7,6	-5,8	-6,9	-28,1
5	1,2	1,8	1,3	1,6	5,9
∑P1	-6,1	-5,4	-4,3	-4,2	∑X1 = -20

Цю таблицю теж завершують перевіркою:

.

У разі помилки в розрахунках, відхилення варіантів та повторень перевіряють за формулами та .

Третій етап. За даними табл. 2 розраховують квадрати відхилень (табл. 3).

Таблиця 3. Квадрати відхилень

Сорт	Повторення				(∑V1)2
	І	II	III	IV
1 (St)	2,56	0,64	0,36	0,25	12,25
2	12,96	5,76	3,24	5,29	102,01
3	2,25	1,44	1	0,49	19,36
4	60,84	57,76	33,64	47,61	789,61
5	1,44	3,24	1,69	2,56	34,81
(∑P1)2	37,21	29,16	18,49	17,64	(∑X1)2=400

Четвертий етап. Розраховують суми квадратів відхилень, для чого визначають такі показники:

Коригуючий фактор: ;

Розсіювання загальне:

Розсіювання повторень:

;

Розсіювання варіантів:

Розсіювання залишку (похибки):

Перевірка: якщо розрахунки цього етапу проведені вірно, то розсіювання залишку С_z завжди має позитивне значення; якщо ж С_z - від’ємне, то розрахунки четвертого етапу треба повторити.

Отримані дані заносять до таблиці 4.

Таблиця 4. Результати дисперсійного аналізу

Дисперсія	Сума квадратів	Ступінь волі, n-1	Середній квадрат, s2 (*	Fф(**	F05(***
Загальна Су	225,02	19	-	-	-
Повторень Ср	0,5	3	-	-	-
Варіантів Сv	219,51	4	54,88	130,67	3,26
Залишку Сz	5,01	12	0,42	-	-

^*)s² - середній квадрат: ;

^**)F_ф - відношення дисперсій: ;

^***)F₀₅. теоретичне відношення дисперсій Фішера, находять його в таблиці 2 додатків: в горизонтальному рядку - кількість ступенів волі варіантів 4, у вертикальній колонці - залишку 12, F₀₅ = 3,26.

Ступінь волі залишку С_z визначається відняттям від ступенів волі С_у ступені волі С_р та С_v.

П‘ятий етап. Підведення підсумків дисперсійного аналізу.

Якщо позначити відношення сум квадратів через показник (η - грецька літера "ета"), то за результатами дисперсійного аналізу можна встановити:

• частку впливу фактора що визначається: або 97,6 %;

• строкатості родючості ґрунту дослідної ділянки: або 0,2 %;

• інших, випадкових факторів: або 2 %.

За даними таблиці 4 роблять загальний висновок про дослід:

Якщо відхилення між певними варіантами в досліді істотні, тобто обумовлені фактором, що вивчається; у цьому разі для визначення величини істотної різниці між варіантами необхідно розрахувати НІР₀₅.

Якщо ж , різниці між варіантами не істотні, тобто знаходяться в межах похибки досліду, то подальші розрахунки відпадають.

У нашому прикладі відхилення між врожаями пшениці різних варіантів істотні, тобто, обумовлені фактором що вивчається. Отже, для оцінки достовірності різниць між варіантами необхідно визначити НІР₀₅.

Шостий етап. Розрахунок точності досліду ( ) та найменшої істотної різниці на 5 %-му рівні значущості (НІР₀₅).

Для оцінки істотності даних врожайності розраховують:

Похибку досліду:

Якщо точність польового досліду коливається в межах до 2 %, вона вважається відмінною, 2…5 % - доброю, 5…8 % - задовільною і вище 8 % - незадовільною.

Найменша істотна різниця (НІР₀₅):

де t₀₅- критерій Ст’юдента на 5 %-му рівні значущості, який знаходять у табл. 1 додатків при ступені волі залишку , t₀₅=2,18

s²- середній квадрат дисперсії залишку (табл. 4)

Поряд з абсолютним показником НІР₀₅ доцільно використовувати також і відносний:

де - середня врожайність пшениці у досліді.

Сьомий етап. Порівняння достовірності абсолютних і відносних різниць між варіантами.

Відхилення між стандартом (контролем) і варіантами вираховують таким чином:

а) абсолютне: 57,5 - 54,1 = +3,4;

б) відносне: .

Дані записують у таблицю (табл. 5). Оцінку різниць між варіантами проводять на підставі порівняння їх з НІР₀₅. Якщо різниця між варіантом та стандартом перевищує HIP₀₅. то вона істотна; якщо ж коливається в межах НІР₀₅, то не істотна.

За різницями між варіантами, що вивчаються, і стандартом визначають такі групи:

І - варіанти, що істотно переважають контроль;

ІІ - різниця між ними знаходиться в межах НІР₀₅;

ІІІ - варіанти за врожайністю істотно поступаються перед контролем.

Таблиця 5. Вплив варіантів удобрення на врожайність пшениці, т/га

Варіант	Середня	Відхилення від стандарту		Група відносно різниці до НІР05
		абсолютне	відносне, %
1(St)	54,1	-	-	St
2	57,5	3,4	6,28	І
3	53,9	-0,2	-0,37	II
4	48,0	-6,1	-11,28	III
5	56,5	2,4	4,44	І
НІР05		1,0	1,85	-

Отже, порівняно зі контролем за врожайністю істотна надвишка виявлена у варіантах 2 і 5; у варіанті 3 урожай знаходився в межах помилки досліду і 4 - істотно поступився перед контролем.