§9 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл полного дифференциала для
функции двух переменных.
Существует несколько эквивалентных между собой определений касательной полскости и поверхности. Предлагаемое ниже определение является естественным обобщением определения касательной ( прямой ) к кривой.
Пусть N0 -точка данной поверхности. Рассмотрим на поверхности другую, переменную, точку N и проведем секущую прямую N0 N
Плоскость, проходящая через точку N0 , называется касательной плоскостью к поверхности в точке , если угол между секущей N0 N и этой плоскостью стремится к нулю, когда расстояние N0 N стремится к нулю, каким бы образом точка N на поверхности не стремилась к точке N0 .
1 -нормаль
2 –касательная плоскость
3 –угол
Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке.
Замечание.
У поверхности в данной точке либо есть и тогда только одна касательная плоскость, либо ее
нет совсем. Рисунок21
Так, например,
поверхность, заданная уравнением z=
(коническая поверхность), в точке О (0,
0, 0) касательной плоскости не имеет.
Покажем, что у поверхности, заданной уравнением z=f(x,y), где f(x,y) -функция, дифференцируемая в точке Mo(x0, y0 ) касательная плоскость в точке No(x0, y0, f(x0, y0)) существует и имеет уравнение.
z - f(x0, y0)= (x0, y0 )(x- x0 )+ ( x0, y0 )(y- y0 ) (1)
Пусть N(x0 +x, y0 +y, z0+z) -текущая точка поверхности. Обозначим через угол между секущей N0 N и плоскостью (1). Покажем, что при стремлении точки N к точке N0 угол или, что равносильно sin, стремиттся к нулю. Этим и будет доказано, что плоскость (1) является касательной к данной поверхности в точке N0 .
Опустим из точки N перпендикуляр NK на плоскость (1) и перпендикуляр NM на плоскость.XOY –точка пересечения перпендикуляра NM с плоскостью (1) (рис. 22). Тогда
=K
N0 N , │sin│=
.
При этом MM0=
NN1=│
(x0 +x,
y0 +y)-zN1│=
=
=│z- (x0, y0 )x- ( x0, y0 )y│
Если точка N стремится
к точке N0, x
и y
,а значит,
стремится к нулю.Так как функция f(x,y)
дифференцируема в точке (x0, y0), величина
NN1 будет бесконечно малой более высокого
по-рядка, чем ,
т. е. Отношение
при N
будет стремиться к нулю. Отсюда следует
что sin,
и сам угол
стремятся к нулю, когда N
.
Таким образом, мы доказали, что если функция z=f(x,y) в точке (x0, y0) дифференцируема, то изображающая ее поверхность Рисунок22
в точке No(x0, y0, f(x0, y0)) имеет невертикальную касательную плоскость.
Можно доказать и обратное утверждение: если в точке No(x0, y0, f(x0, y0))
поверхность, изображающая непрерывную функцию z=f(x,y), имеет невертикальную касательную плоскость, то функция f(x,y) в точке (x,y)
дифференцируема.
По виду уравнения (1) касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z=f(x,y) , в точке No, легко написать уравнения нормали:
(2)
Выясним теперь геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x0, y0). Это значит, что поверхность, заданная уравнением z=f(x,y), имеет в точке No(x0, y0, f(x0, y0) касательную плоскость.
Замечание
Если поверхность описывается функцией, Рисунок 23
заданной в неявном
виде: (x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке No может быть записанна в виде:
(3)
а уравнение нормали в точке No:
(4)
Ее уравнение можно записать в виде:
z-f(x0, y0)= (x0, y0 )(x- x0 )+ ( x0, y0 )(y- y0 )
Пусть x- x0=x, y- y0=y
Тогда: z-f(x0, y0)= (x0, y0 )x+ ( x0, y0 )y
В этом равенстве слева стоит разность аппликат точек касательной плоскости, соответствующих точкам (x0, y0 ) и (x0 +x, y0 +y), справа – полный дифференциал функции z=f(x,y) в точке (x0, y0 ).
Таким образом, полный дифференциал функции z=f(x,y) в точке (x0, y0 ) геометрически обозначает приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности, изображающей функцию, в точке (x0, y0, f(x0, y0)) при переходе из точки (x0, y0 )в точку (x0 +x, y0 +y).
Для функции z=f(x,y), изображенной на рис. 23, дифференциал dzв точке No отрицателен.