§12 Отыскание наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных в замкнутой области.
Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функций, или на ее границе.
Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, надо: 1) Найти стационарные точки функции, для чего следует решить систему уравнений ∂z/∂x=0; ∂z/∂y=0; 2) вычислить в стационарных точках значения функции; 3) найти наибольшее и наименьшее значение функции на каждой линии, ограничивающей область; 4) сравнит все полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее – наименьшим значением функции в замкнутой области.
§13. Условный экстремум функции z=f(x,y)
Метод множителей Лагранжа.
Пусть на плоскости XOY заданна функция z=f(x,y) и линия L: (x,y)=0. Требуется на линии L найти такую точку P(x,y), в которой значение функции z=f(x,y) было бы наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся в близи точки P(x,y). Такие точки P называются точками условного экстремума функции z=f(x,y) на линии L. В отличие от обычной точки экстремума, значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями не во всех точках некоторой ее окресности, а только в тех, которые лежат на линии L.
Точка обычного экстремума (или безусловного) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное неверно.
Тогда Z-сложная функция, где у неявно зависит от х.
Где
,
но в точке экстремум
. Поэтому
Обозначим каждое отношение через (-)
Тогда 
Если к этой системе добавить уравнение связи между х и у, то новая система будет представлять собой необходимое условие условного экстремума.
Замечание: ( способ решения системы )
Из (1) и (2) уравнений найти , приравнять полученные выражения между собой.
Затем с учетом уравнения (x,y)=0 найти точки, подозреваемые на точки условного экстремума.
§14. Метод множителей Лагранжа.
Точно такая же система необходимых условий условного экстремума получится, если образовать так называемую функцию Лагранжа.
Необходимые условия получим, если образуем новую систему
Или
Достаточное условие условного экстремума
Если в стационарной
точке (точке, подозрительной на условный
экстремум)
,
то в этой точке функция достигает
условного минимума, если
,
то условного максимума).
Связь между dx и dy
можно найти, вычислив dy:
В заключение нужно найти значение функции z=f(x,y) в точке условного экстремума.
Пусть в каждой точке области D задана некоторая физическая величина. Тогда говорят, что задано скалярное поле. Скалярное поле считается заданным если в каждой его точке М(x,y), задана функция
Z = f(x,y)
§16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Если на поверхности через точку М на ней провести всевозможные кривые и к ним в этой точке провести касательные прямые (они называются касательными к поверхности), то окажется, что все эти касательные лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке М, а перпендикуляр к касательной плоскости, восстановленный к ней в точке касания М, называется нормалью к поверхности.
1. Если поверхность заданна уравнением z=f(x,y), разрешенным относительно z (т.е. в явной форме), а точка касания М имеет координаты (x0, y0, z0), то уравнение касательной плоскости записывается так:
(1)
а нормаль к поверхности в точке М определяется уравнением
(2)
Символы
и
означают,
что производные функции z=f(x,y) вычислены
при значениях х=х0,, у=у0,.
2. Если поверхность определена уравнением f(x, y, z)=0, неразрешенным относительно z (уравнение поверхности задано в неявной форме), а точка касания имеет координаты (x0, y0, z0), то касательная плоскость определяется уравнением
(3)
а нормаль к поверхности в точке М(x0, y0, z0)
(4)
Символы
,
,
означают
частные производные функции f(x, y, z),
вычисленные для значений х=х0,, у=у0,
z=z0,.
9 ВОПРОС
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
Пусть f(x) определена
на некотором промежутке (a, b). Тогда
тангенс угла наклона секущей МР к графику
функции.
,
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми
может быть определен как угол между
касательными, проведенными к этим кривым
в какой- либо точке. Уравнение касательной
к кривой:
Уравнение нормали
к кривой:
.
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Неопределенный интеграл, таблица интегралов.
Функция
называется первообразной
для функции
,
если
.
Теоремы о первообразных.
Теорема.
Если
- первообразная для функции
,
то
(
-
константа) - тоже первообразная для
функции
.
Доказательство.
.
Теорема.
Пусть
- две первообразных для функции
,
тогда они различаются на некоторую
константу (
-
константа).
Рассмотрим
функцию
,
она непрерывна и дифференцируема на
всей числовой оси, как и функции
.
Тогда для любых конечных значений
по формуле конечных приращений Лагранжа.
Следовательно,
Неопределенным
интегралом
(интеграл от функции
по
)
называется совокупность всех первообразных
функций для функции
.
.
Функция
,
стоящая под знаком интеграла, называется
подинтегральной функцией, а выражение
- подинтегральным выражением..
10 вопрос
Свойства неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла можно условно разделить на две группы. В первую группу собраны свойства, вытекающие из того, что интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Эти свойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование – линейная операция и определяют линейную операцию.
Первая группа свойств.
.
.
Вторая группа свойств.
свойство суперпозиции
свойство однородности
.
11 вопрос
Метод замены переменной.
Это – универсальный метод, метод подведения под дифференциал является частным случаем метода замены переменной.
Теорема.
Пусть функция
непрерывно дифференцируема в некоторой
области и имеет непрерывно дифференцируемую
обратную функцию
.
Тогда
где
.
Доказательство. Дифференцируя обе части, используя теоремы о производной сложной функции и инвариантность формы записи первого дифференциала, получим тождество дифференциалов.
,
где
.
Из него следует равенство интегралов
в левой и правой частях.
Заметим,
что требования к обратной функции нужны,
чтобы суметь возвратиться обратно, от
переменной
к переменной
.
Для
вычисления интегралов вида
,
если вместо него удобно вычислять
интеграл
,
пользуются методом интегрирования
по частям.
=
-
,
если интегралы в обеих частях соотношения существуют.
Докажем
справедливость этой формулы. Дифференцируя
произведение функций, получим
или
.
Интегралы
левой и правой частей существуют(
).
Интегрируя, получим нужное соотношение.
12 вопрос
Для вычисления интегралов вида , если вместо него удобно вычислять интеграл , пользуются методом интегрирования по частям.
= - ,
если интегралы в обеих частях соотношения существуют.
Докажем справедливость этой формулы. Дифференцируя произведение функций, получим или
.
Интегралы левой и правой частей существуют( ).
Интегрируя, получим нужное соотношение.
13 вопрос
Разложение
рациональной дроби
на элементарные.
Полином
–
знаменатель рациональной дроби может
иметь действительный корень
некоторой
-
ой кратности. Тогда
,
где многочлен
уже не имеет корня
.
В этом случае из рациональной дроби
можно выделить элементарную рациональную
дробь вида
.
Лемма 2. Пусть - действительный корень - ой кратности полинома – знаменателя рациональной дроби. Тогда
=
,
где многочлен
уже не имеет корня
.
Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.
.
Тогда выражение
должно делиться на
,
т.е.
.
Этого можно добиться, выбрав
.
Следствие 1. В условиях леммы 2 рациональную дробь можно представить в виде
где
не имеет корня
.
Доказательство. Применим лемму 2 раз и получим указанное разложение.
Полином
–
знаменатель рациональной дроби может
иметь пару комплексно сопряженных
корней
-
ой кратности. Тогда
Причем
уже не являются корнями полинома
.
В этом случае из рациональной дроби
тоже можно выделить некоторую элементарную
рациональную дробь вида
.
Лемма 3. Пусть – знаменатель рациональной дроби имеет пару комплексно сопряженных корней - ой кратности. Тогда рациональную дробь можно представить в виде
=
,
где
уже не являются корнями полинома
.
Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.
=
.
должно
делиться как на
,
так и на
.
Поэтому
,
где
=
,
=
Отсюда
имеем систему уравнений для определения
констант
.
Определитель
этой системы равен
,
так как корни комплексные и
.
Поэтому система имеет единственное
решение.
Следствие 2. В условиях леммы 2 рациональную дробь можно представить в виде
=
+
+
…+
+
,
где
уже не являются корнями полинома
.
Доказательство. Применяем лемму 3 нужное число раз и получаем искомое разложение.
Теорема. Рациональная функция может быть представлена в виде
=
+
+…+
+…+
+
+
…+
+
…+
,
где
-
простой действительный корень
,
-
действительный корень
кратности
,
-
пара комплексно сопряженных корней
кратности
(комплексно сопряженные корни
),
-
простая пара комплексно сопряженных
корней
(корни
).
Доказательство. Применяем к рациональной функции лемму 1, выделяем полином – целую часть , затем по лемме 2, выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным действительным корням. Затем по лемме 3 выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным парам комплексно сопряженных корней. Так как многочлен может иметь корни лишь перечисленных типов, то разложение этим и исчерпывается.
Следствие 3. Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов
,
2)
,
3)
,
4)
.
14 вопрос
Интегрирование элементарных рациональных дробей четырех типов.
,
=
(пример
рассмотрен во второй лекции). Для того,
чтобы вычислить интеграл от дроби в
п.3, достаточно в соответствующем примере
второй лекции обозначить коэффициенты
другими буквами.
=
=
,
где
.
Вычислим
интеграл
.
.=
-
=
По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислять интегралы при различных , предварительно вычислив
.
15 вопрос
Интегрирование иррациональных функций.
Каких-либо общих методов интегрирования для всего класса иррациональных функций неизвестно, да и вряд ли такие методы можно придумать.
Общая идея состоит в том, чтобы придумать рационализирующую подстановку, т. е. найти такую замену переменных, чтобы в новых переменных интеграл был бы интегралом от рациональной функции. А, как показано на прошлой лекции, интегралы от рациональных функций всегда можно взять.
Ниже приводятся некоторые интегралы, для которых известны рационализирующие подстановки.
1.
,
где R(
) – рациональная функция аргументов.
Рационализирующая подстановка
,
где
.
Пример.
- интеграл от рациональной функции, если
взять
.
2.
.
Этот интеграл можно представить в виде
=
,
а затем искать коэффициенты полинома
n-1
степени и константу, дифференцируя обе
части, приводя дроби к общему знаменателю
и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях переменной.
Пример.
.
Дифференцируем обе части
.
Приводим к общему знаменателю
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях, получаем
.
Теперь, выделяя полный квадрат, получаем
в правой части разложения «длинный
логарифм»:
.
3.
В интегралах вида
рационализирующая подстановка
.
Пример.
.
Применяем подстановку
.
=
.
Это интеграл, рассмотренный выше в п.2.
4.
Дифференциальный
бином.
,
где
- рациональные числа. Такие интегралы
берутся только в трех случаях (условия
П.Л.Чебышева):
а)
p
– целое (подстановкой
,
где
),
б)
-
целое (подстановкой
),
в)
-
целое (подстановкой
).
Пример.
Показать, что в интеграле
-
целое и равно 2. Показать, что подстановка
-
рационализирующая.
5.
Интегралы вида
сводятся к одному из трех типов интегралов:
а)
,
для которого рационализирующие
подстановки
,
б)
,
с подстановками
,
в)
,
с подстановками
.
Упражнение.
Вычислить интегралы
.
16 вопрос
Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций.
,
где R(
) – рациональная функция своих аргументов.
Такие
интегралы всегда можно взять универсальной
тригонометрической подстановкой (лекция
1)
.
А)
Если
нечетна по sin
x,
то делают подстановку t
= cos
x.
Б) Если нечетна по cos x, то делают подстановку t = sin x.
В) Если не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановку t = tg x.
Пример.
.
Здесь мы имеем случай В). Подстановкой
этот интеграл сводится к интегралу
.
3.
Интегралы
сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму по формулам
Пример.
Интегралы вида
Если m или n – нечетное положительное число, то sin x или cos x вносят под дифференциал.
Пример.
Если
m,
n
– четные положительные числа, то
применяют формулы удвоения аргумента
Пример.
,
где m
– целое положительное число, берутся
с использованием формул
.
Пример.
=
-
В общем случае интегралы вида вычисляются по рекуррентным формулам с использованием основного тригонометрического тождества.
Пример.
=
17 вопрос
Тригонометрические
подстановки для интегралов вида
.
В
разделе 10.7.
Интегралы, содержащие квадратный
трёхчлен, мы
уже рассматривали некоторые методы
интегрирования таких функций. Здесь мы
рассмотрим тригонометрические подстановки
для вычисления таких интегралов, которые
сводят подынтегральнуюфункцию к функции,
рационально зависящей от
и
.
После выделения полного квадрата в
трёхчлене (и соответствующей линейной
замены переменной) интеграл сводится,
в зависимости от знаков
и
дискриминанта трёхчлена, к интегралу
одного из следующих трёх видов:
,
,
.
Далее:
рационализируется
подстановкой x
= a sin
t
(или x
= a cos
t).
Мы применяли эту подстановку в разделе
10.5. Замена
переменной в неопределённом интеграле.рационализируется подстановкой
(или
,
или
).
рационализируется
подстановкой x
= a tg
t
(или x
= a ctg
t,
или
x = a sh t).
18 вопрос
Определенный интеграл.
Задача о площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим
криволинейную трапецию, образованную
отрезком
оси OX
(основание трапеции), прямыми
(на
них лежат боковые
стороны
трапеции) и графиком функции
.
Так как график функции – кривая линия,
то такая трапеция называется криволинейноqй.
Устроим
разбиение отрезка
точками
.
Обозначим
.
На каждом отрезке
отметим точку
.
Вычислим
.
Обозначим
- площадь части криволинейной трапеции
над отрезком
,
S
– площадь всей криволинейной трапеции.
Тогда
Пусть
функция
непрерывна на каждом отрезке
.
По второй теореме Вейерштрасса выполняется
неравенство
,
где
-
нижняя и верхняя грани функции на отрезке
.
Тогда
Сумма
называется интегральной
суммой, суммы
,
называются
соответственно нижней и верхней суммами
Дарбу.
Будем
измельчать разбиение так, чтобы
.
Если существует
предел интегральных сумм при неограниченном
измельчении разбиения, то он называется
определенным интегралом (по Риману) от
функции
по отрезку
:
.
Если существуют
пределы нижней и верхней сумм Дарбу при
неограниченном измельчении разбиения,
то они называются нижним
и
верхним
интегралами
Дарбу.
19 вопрос
Определенный интеграл.
Задача о площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим криволинейную трапецию, образованную отрезком оси OX (основание трапеции), прямыми (на них лежат боковые
стороны трапеции) и графиком функции . Так как график функции – кривая линия, то такая трапеция называется криволинейноqй.
Устроим разбиение отрезка точками . Обозначим . На каждом отрезке отметим точку . Вычислим . Обозначим - площадь части криволинейной трапеции над отрезком , S – площадь всей криволинейной трапеции. Тогда
Пусть функция непрерывна на каждом отрезке . По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство , где - нижняя и верхняя грани функции на отрезке . Тогда
Сумма называется интегральной суммой, суммы , называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.
Будем измельчать разбиение так, чтобы . Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции по отрезку : .
Если существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу при неограниченном измельчении разбиения, то они называются нижним и верхним интегралами Дарбу.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема. Если функция кусочно непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то она интегрируема на этом отрезке.
Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площади криволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
К понятию интеграла можно придти и от других задач. Например, от задачи о работе переменной по величине силы, не меняющей направления на прямолинейном пути, от задачи о массе отрезка, плотность которого меняется от точки к точке, от задачи о пути тела, движущегося прямолинейно с переменной скоростью. Фактически, все эти задачи формально сводятся к задаче о площади криволинейной трапеции. В задаче о работе силы по оси ординат откладываются значения скалярного произведения вектора силы в данной точке x отрезка на орт оси OX. В задаче о массе отрезка по оси ординат откладываются значения переменной плотности. В задаче о пути, пройденном телом, по оси ординат откладывается величина скорости тела в данной точке.
К
схеме определенного интеграла сводится
любая задача вычисления некоторой
величины, аддитивно зависящей от
множества, т.е. величины I,
удовлетворяющей соотношению
,
где А, В – отрезки оси OX
(в общем случае определенного интеграла
по некоторому множеству А, В – некоторые
множества). В качестве таких величин
можно выбрать длину отрезка, длину
кривой, площадь поверхности, объем
пространственного тела, массу указанных
множеств и т.д.
20 вопрос
Формула Ньютона – Лейбница.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Определенный интеграл представляет собой функцию пределов интегрирования. Это ясно даже из геометрической интерпретации интеграла как площади криволинейной трапеции. Изменяя пределы интегрирования, мы изменяем основание трапеции, изменяя тем самым ее площадь.
Рассмотрим
интеграл как функцию верхнего предела
интегрирования – интеграл
с переменным верхним пределом
.
Переменная интегрирования по свойству
9 определенного интеграла – «немая
переменная», ее можно заменить z
или t
или как- либо еще. Никакого отношения к
верхнему пределу интегрирования она
не имеет.
Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу (основная теорема математического анализа)
Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
,
пусть
.
Тогда
.
Доказательство.
.
При
доказательстве мы воспользовались
теоремой о среднем
и
непрерывностью функции
.
Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
- некоторая первообразная функции
.
Тогда
.
Доказательство.
Из теоремы о производной интеграла по
переменному верхнему пределу следует,
что
,
т.е.
-
первообразная для функции
.
По теоремам о первообразных две
первообразных отличаются на константу
т.е.
Но
(свойство 4 определенного интеграла),
поэтому
.
Тогда
.
Следовательно,
.
Формула Ньютона – Лейбница - это одна из немногих формул - связок, связывающих различные разделы математики воедино. Если бы не было формулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом исследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются в интегралах.
Мы встречались с такими формулами или теоремами – связками. Например, теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой связывает бесконечно малые и пределы. Теорема Ферма и ее следствия – теоремы о средних значениях связывают дифференциальное исчисление и теорию экстремума. В дальнейшем мы тоже будем встречаться с теоремами – связками, они всегда играют фундаментальную роль, например теоремы Остроградского – Гаусса и Стокса в векторном анализе.
21 вопрос
Свойства определенного интеграла.
Свойства линейности
а)
суперпозиции
,
б)
однородности
Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)
Свойство аддитивности (по множеству)
Доказательство.
Пусть
.
Выберем разбиение так, чтобы точка с
была границей элемента разбиения
.
Это возможно (следствие). Составим
интегральную сумму
.
Будем измельчать разбиение, сохраняя
точку с границей элемента разбиения.
Это возможно (следствие). Тогда предел
при
левой
части равенства интегральных сумм равен
,
первого слагаемого правой части
,
второго слагаемого правой части
.
(свойство
«ориентируемости» множества).
Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет
-
.
Переходя к пределу при измельчении
разбиения, получим
.
.
Это постулируется, но, вообще говоря,
это и очевидно.
.
.
Если на отрезке
,
то
.
Так
как
на отрезке, то
.
Переходя к пределу, получим
.
Если на отрезке
,
то
.
Так
как
на отрезке, то
.
Переходя к пределу, получим
.
.
(переменная
интегрирования – «немая» переменная,
ее можно изменить, она не несет в себе
самостоятельного смысла)
Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.