- •§ 1. Функции нескольких переменных
- •§ 2. Понятие предела функции двух и более переменных
- •§ 3. Непрерывность функций нескольких переменных
- •§4. Частные производные
- •§5. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •§ 6 Необходимые условия дифференцируемости
- •§7 Достаточные условия дифференцируемости.
- •§8 Дифференциал
- •§9 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§10 Производные сложных функций.
- •§11 Экстремум функции
- •§12 Отыскание наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных в замкнутой области.
- •§14. Метод множителей Лагранжа.
- •§16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •22Вопрос
- •27Вопрос
- •29 Вопрос
- •Формулы прямоугольников.
- •Формула трапеций.
- •Формула Симпсона.
- •30. Вопрос
- •31 Вопрос
- •40 Вопрос Вычисление
27Вопрос
Вычисление длины дуги
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .
Тогда длина дуги равна .
Из геометрических соображений:
Если дуга задана в полярной системе координат, то
. Поэтому .
Площадь поверхности тела вращения.
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле:
Здесь Si – длина каждой хорды.
Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к отношению .
Получаем:
Тогда
Площадь поверхности, описанной ломаной равна:
Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что
Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.
28 вопрос
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].
Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).
Обозначение:
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Несобственные интегралы (второго рода).
Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка , на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка.
Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= a, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел
=
.Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел = .
29 Вопрос
Формулы прямоугольников.
Обозначим . Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с основанием h, высотами .
Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника . Получим первую формулу прямоугольников
.
Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника . Получим вторую формулу прямоугольников
.
Оценим погрешность формул прямоугольников. Разложим в ряд Тейлора и оценим остаточный член.
Для первой формулы прямоугольников
где .
Для второй формулы прямоугольников
где .
Таким образом, обе формулы прямоугольников дают погрешность порядка h и являются формулами первого порядка точности.
Можно повысить точность формулы прямоугольников за счет вычисления функции в серединах отрезков разбиения. Получаем третью формулу прямоугольников
.
Оценим погрешность этой формулы.
+
+0+
Таким образом, погрешность третьей формулы прямоугольников не превышает , где . Эта формула прямоугольников имеет второй порядок точности.