§4. Частные производные

Пусть в некоторой (открытой) области задана функция двух перемен­ных z=f(x, y). Возьмем произвольную М(х, у) этой области и дадим х при­ращение Δх, оставляя значение у неиз­менным. При этом функция f(x, y) полу­чит приращение Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y). Оно называется частным при­ращением этой функции по х (рис 15)

Отношение

д ает среднюю скорость измене­ния функ­ции z=f(x, y) по пере­менной х на участке от точки М(х,у) до точки М'(х+Δх,у). Рисунок 16

П ре­дел этого отношения при Δх→0, если он существует и конечен, назы­вается частной производной функции z=f(x,y) по переменной х в точке (х,у). Этот предел характеризует скорость изменения данной функции по х в самой точке М. Частную производную по х от функции z=f(x,y) обознача-

ю т следующими символами:

Таким образом,

Аналогично, считая х постоянной и давая у приращение Δу, мы полу­чим частное приращение функции z = f(х, у) по у:

Δyz=f(x,y + Δy) – f(x,y) (рис. 17)

Предел отношения частного приращения функции по у к прираще­нию Δу при стремлении последнего к нулю (если он существует и коне­чен) на­зывается частной производной этой функции по у в точке (х, у).

Частная производная функции z=f(х, у) по у обозначается обычно од­ним из следующих символов:

Таким образом,

Эта частная производная численно равна скорости изменения по у функции z=f(х,у) в точке М(х,у).

Значения частных производных f'х(х,у) и f'у(х,у),естественно, зави­сят от координат х, у рас­смат­риваемой точки М, т.е. ча­стные производные f'х(х,у) и f'у(х,у), в свою очередь, являются функциями двух переменных, определенными в заданной об­ласти или ее части (если не во

всех точках этой области суще­ст­ вуют частные производные).

Рисунок 17

Вычисление частных производных по х (по у) от конкретных функций производится по известным для функций одной переменной пра­вилам, так как частная производная функция z = f(х, у) по х (по у) есть по опреде­лению обыкновенная производная функции z = f(х, у), рассматривае­мой как функция одной перемен­ной х (соответственно у) при по­стоянном зна­чении другой пере­менной.

Например, для функции

f(х, у) = х² + ху² + у³ в любой точке (х, у) имеем f'х(х, у)= 2х+ у², f'у(х,у) = 2ху + 3у². В частности, f'х(1,2) = 2∙1+2²= 6, f'у(1,2) = 2∙ 1∙ 2+ +3∙2² = 16.

Рисунок 18

Частные производные функции двух переменных имеют простой

геометрический смысл.

Рассмотрим в пространстве XYZ поверхность S, имеющую уравнение

z= f(х, у). Эта поверхность изображает функцию f(х, у).

Дадим переменным х и у значения х0, у0. По определению f'х(х0, у0) есть обыкновенная производная (по х) от функции одной переменной

f(х, у0) при х = х0. График этой функции мы получим в сечении поверх­ности S плоскостью у = у0.

Так как производная функции одной переменной х в данной точке равна тангенсу угла наклона к оси ОХ касательной к графику функции в этой точке, заключаем, что f'х(х0, у0) есть тангенс угла φ, составленного с осью ОХ касательной, проведенной в точке N0 (х0, у0, f(х0, у0)) к сече­нию поверхности S плоскостью у = у0 ( рис. 18).

Аналогично f'у(х0, у0) есть тангенс угла θ, составляемого с осью OY касательной, проведенной в точке N0 к сечению поверхности S плоско­стью х = х0 (рис. 19).

Для функций любого числа п переменных частные производные вво­дятся так же, как и для функций двух переменных. А именно, частная производная от функций и = f ( х, у, z,…w ) по любому из независимых переменных в точке ( х, у, z,…w) есть предел отношения частного прира­щения функции в этой точке к приращению соответствующей независи­мой переменной при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует и конечен). Обозначения аналогичны при­веденным выше.

Например, если и=f(х, у,z),

то

Рисунок 19