§11 Экстремум функции

Функция u= f(x,y,z…,v) независимых переменных x, y, z…, при некоторой системе значений x0, y0, z0 …, v0 имеет максимум (минимум), если приращение функции

∆u = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y1, z0 + ∆z …, v0 + ∆v) - f(x0, y0, z0 …, v0)

отрицательно (положительно) при всевозможных, достаточно малых по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных значениях ∆x, ∆y, ∆z …, ∆v.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.

Необходимые условия экстремума

Если функция u = f(x,y,z…,v) достигает экстремума при значении независимых переменных x = x0, y = y0, z = z0 …, v = v0 …, то при этих значениях или выполняется равенства

= 0; = 0; = 0, …; = 0. (1)

или частные производные при этих значениях не существуют.

Иначе: в точке экстремума первый дифференциал функции равен нулю или не сущесвует. Количество уравнений (1) равно числу независимых переменных.

Точки, в которых выполняются равенства (1) называются стационарными точками функции.

Равенства (1) выражают необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких независимых переменных. Это значит, что не при всех тех значениях независимых переменных, при которых эти равенства выполняются, функция имеет экстремум.

Экстремумы функций нескольких переменных

Пусть z =f (x,y)- функция двух переменных определена в некоторой области D; (x0, y0 )єD. Точка с координатами (x0, y0) называется точкой максимума функции f(x,y), если f(x,y) f(x0, y0).

Точка с координатами (x0, y0) называется точкой минимума функции f(x,y), если f(x,y) f(x0, y0).

Точки максимума и минимума называются ее точками экстремума.

Значения функций в точках максимум и минимум называются максимумами и минимумами или экстремумами этой функции.

Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке с координатами (x0, y0) сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках.

Покажем, что если в точке экстремума (x0, y0) существует f ′x(x0, y0) и

f ′y(x0, y0) то они равны нулю.

Пусть точка с координатами (x0, y0) – точка максимума. Тогда по определению существует окрестность этой точки, для всех точек которой f(x,y) f(x0, y0).

В частности, f(x, y0) f(x0, y0) для всех х из некоторой окрестности

x0 – δ < x < δ + x0 точки x0. Это значит, что функция одной переменной f(x, y0) дифференцируемая в т. x0 имеет в ней максимум и, следовательно, выполняется необходимое условие, экстремума функции одной переменной f ‘x(x, y0) = 0

Аналогично, рассматривая f(x0, y), находим f ‘y(x0, y) = 0.

Таким образом мы получаем необходимые условия экстремума функции двух переменных.

Теорема. Если функция f(x,y) в точке с координатами (x0, y0)

имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные

f ′x(x0, y0) = 0, f ′y(x0, y0) = 0, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.

Пусть функция f(x,y) задана в некоторой области. Будем называть ее критическими точками в этой области точки в которых f ′x(x, y), f ′y(x, y) одновременно равны нулю или хотя бы одна из них не существует.

Достаточные условия экстремума

Теорема. Пусть в окрестности критической точки с координатами (x0, y0) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Рассмотрим D (x,y) = f ’’xx (x,y) f ’’yy (x,y) -[ f ’’xy (x,y)]2 тогда:

если D (x0, y0) > 0, то в точке с координатами (x0, y0) функция f(x,y) имеет экстремум

а) max, если f ’’xx(x0, y0) < 0

б) min, если f ’’xx(x0, y0) > 0

если D (x0, y0)<0, то в точке с координатами (x0, y0) функция f(x,y) экстремума не имеет

если D (x0, y0) = 0, то экстремум в точке с координатами (x0, y0) может быть, а может и не быть.

Правило определения экстремума функции двух независимых переменных

Чтобы определить экстремум функции z=f(x,y), двух независимых переменных следует:

Определить стационарные точки, в которых функция может достигать экстремума, для чего надо решить систему уравнений

∂z/∂x = 0; ∂z/∂y = 0.

2) Определить вторые частные производные

∂2z/∂x2, ∂2z/∂x∂y , ∂2z/∂y2.

3) Вычислить значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, а полученные числа обозначить соответственно через A, B и C.

4) Составить выражение D = AC-B2. При этом,

а) если D>0, то экстремум в стационарной точке есть: если А>0, то будет минимум, а при А<0 – максимум;

б) если D<0, то экстремума в рассматриваемой стационарной точке нет;

в) если D=0, то имеет место сомнительный случай, и для заключения об экстремуме надо привлечь к рассмотрению частные производные порядка выше второго.