- •§ 1. Функции нескольких переменных
- •§ 2. Понятие предела функции двух и более переменных
- •§ 3. Непрерывность функций нескольких переменных
- •§4. Частные производные
- •§5. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •§ 6 Необходимые условия дифференцируемости
- •§7 Достаточные условия дифференцируемости.
- •§8 Дифференциал
- •§9 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§10 Производные сложных функций.
- •§11 Экстремум функции
- •§12 Отыскание наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных в замкнутой области.
- •§14. Метод множителей Лагранжа.
- •§16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •22Вопрос
- •27Вопрос
- •29 Вопрос
- •Формулы прямоугольников.
- •Формула трапеций.
- •Формула Симпсона.
- •30. Вопрос
- •31 Вопрос
- •40 Вопрос Вычисление
31 Вопрос
Пусть ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями (разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует и он не зависит от выбора разбиения и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или . Двойной интеграл существует, если непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в .
32. вопрос
Двойной интеграл в полярных координатах.
Вычисление Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .
Сделаем замену переменных .При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .Следовательно, .
33. вопрос
Тройной интеграл.
При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.
Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью (x, y, z) = 0.
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.
Тройной интеграл. Его основные свойства и приложения. Вычисление тройного интеграла
Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .
Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .
Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.
Теорема. Пусть задана следующими неравенствами: , . - квадрируемая область на плоскости, - непрерывные. Тогда
Замечание. Если область задана неравенствами , где - непрерывные функции, то
34. вопрос
Цилиндрическая система координат.
Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:
Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:
Итого:
Сферическая система координат.
Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:
Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:
Окончательно получаем:
38 вопрос
Корни многочлена
Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто. Рассмотрим многочлен где a 1, a 2, ..., a n − целые числа, a n ≠ 0. Теорема о рациональных корнях многочлена Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).
Доказательство
Действительно, если число является корнем многочлена то а именно: Умножим обе части этого уравнения на получим: Так как − целые числа, то в скобке стоит целое число. Значит, вся правая часть этого равенства делится на q , так как q входит в неё в качестве сомножителя. А значит и левая часть тождества делится на q , так как она равна правой. Число p не делится на q , так как иначе дробь была бы сократимой, значит и не делится на q . Следовательно, на q делится единственный из оставшихся сомножителей левой части, а именно Аналогично доказывается, что делится на p . Теорема доказана.
39 вопрос
свойства:
1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.
2)
3)
4)
5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.
Криволинейный интеграл 2-го рода
Рассмотрим кривую AB, которую пока считаем незамкнутой.
Пусть проекция этой кривой на ось x представляет собой отрезок .
Пусть точки дают разбиение кривой AB. Рассмотрим их проекции , лежащие на отрезке и обозначим .
(Отметим, что точки не обязательно упорядочены так: , т.е. не обязательно дают разбиение отрезка , поэтому некоторые могут быть меньше 0!).
Пусть - определена на AB. Пусть - точка, лежащая на кривой между и . Положим .
Определение. Пусть . Если , то говорят, что I - это криволинейный интеграл второго типа