- •§ 1. Функции нескольких переменных
- •§ 2. Понятие предела функции двух и более переменных
- •§ 3. Непрерывность функций нескольких переменных
- •§4. Частные производные
- •§5. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •§ 6 Необходимые условия дифференцируемости
- •§7 Достаточные условия дифференцируемости.
- •§8 Дифференциал
- •§9 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§10 Производные сложных функций.
- •§11 Экстремум функции
- •§12 Отыскание наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных в замкнутой области.
- •§14. Метод множителей Лагранжа.
- •§16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •22Вопрос
- •27Вопрос
- •29 Вопрос
- •Формулы прямоугольников.
- •Формула трапеций.
- •Формула Симпсона.
- •30. Вопрос
- •31 Вопрос
- •40 Вопрос Вычисление
Формула трапеций.
Сложим первую и вторую формулы прямоугольников и разделим пополам. Получим формулу трапеций
Поясним название формулы. Приблизим площадь под графиком функции на отрезке площадью трапеции . Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получим
Аппроксимируем функцию кусочно – линейной функцией, значения которой совпадают с значениями функции в точках разбиения. Площадь под графиком кусочно – линейной функции на отрезке составит
. Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получим вновь формулу трапеций.
Можно показать, что формула трапеций – формула второго порядка точности. Погрешность вычисления интеграла с помощью этой формулы (это можно показать) не превышает , т.е. в два раза больше, чем по третьей формуле прямоугольников.
Формула Симпсона.
Аппроксимируем функцию на отрезке разбиения квадратичной функцией так, чтобы
Лемма. .
Докажем лемму для . Сделаем замену .
Тогда формула сведется к следующей:
.
Левая часть
Правая часть . Лемма доказана.
Разобьем теперь отрезок интегрирования на 2n частей, ( ). Применим лемму к отрезкам , ,..., получим формулу Симпсона
.
Можно показать, что формула Симпсона – формула четвертого порядка точности, ее погрешность не превосходит , где . Это означает, что при интегрировании многочлена третьей степени формула Симпсона точна, ее погрешность равна нулю.
30. Вопрос
Геометрический смысл двойного интегралаВернемся к задаче об объеме цилиндрического тела. Так как рассматриваемая там функция непрерывна в замкнутой области , то
каковы бы ни были точки в замкнутых областях . Выбирая за точки, в которых функция в областях достигает своих наименьших (mi) или соответственно наибольших (Mi) значений, будем, в частности, иметь:
Слагаемые и равны объемам цилиндров с основанием вписанных и описанных вокруг ограниченного сверху куском поверхности S цилиндрического столбика с тем же основанием . Суммы и равны соответственно объемам «вписанных» и «описанных» вокруг данного цилиндрического тела V тел, состоящих из n прямых цилиндров. Так как при эти объемы имеют общий предел, данное тело кубируемо и его объем V равен двойному интегралу:
Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от неотрицательной, непрерывной в замкнутой области функции равен объему цилиндрического тела с основанием в плоскости XOY, ограниченного сверху поверхностью
В частности, если в области , то цилиндрическое тело представляет собой цилиндр с основанием высоты . Его объем численно равен площади основания . Таким образом, мы получаем уже известную формулу для вычисления площади области с помощью двойного интеграла или, что то же, .
Если неположительная функция непрерывна в области , то, воспроизводя рассуждения, приведенные в начале главы, получим, что двойной интеграл равен взятому со знаком минус объему цилиндрического тела, ограниченного сверху областью плоскости XOY, снизу – поверхностью , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.
Предположим теперь, что функция непрерывна в области , причем область можно разбить на конечное число, частей в каждой из которых функция либо неотрицательна, либо неположительна. Тогда, заменяя двойной интеграл от функции суммой интегралов по областям заключаем, что двойной интеграл равен алгебраической сумме объемов цилиндрических тел с образующими, параллельными оси OZ, ограниченных с одной стороны частями поверхности , с другой стороны – соответствующими областями плоскости XOY. В эту сумму объемы тел, лежащих над плоскостью XOY, входят со знаком плюс, а объемы тел, лежащих под плоскостью XOY, входят со знаком минус.
Указанные соображения используются при вычислении объемов тел с помощью двойных интегралов.
Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:
Линейность: . Аддитивность: , если S1 и S2 две области без общих внутренних точек.
Если для каждой точки выполнено неравенство , то .
Если интегрируема на , то функция также интегрируема, причем .
Если и наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее площадь, то .
Теорема о среднем значении: если непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что .
-----------------