§5. Дифференцируемость функции нескольких переменных

Рассмотрим снова функцию двух переменных z = f(х, у) в некото­рой (открытой) области. Пусть (х, у) – точка этой области. Перейдем из точки (х, у) в какую-нибудь точку (х +Δх, у +Δу) той же области. При этом функция z = f(х, у) получит приращение

Δz = f(х +Δх, у + Δ у) - f ( х, у).

В отличие от частных приращений Δxz и Δуz это приращение назы­ва­ется полным приращением функции z = f(х, у) в точке (х, у), соот­ветст­вующим приращениям Δх и Δу независимых перемен­ных. Геометрически Δz пред­ставляет собой раз­ность аппликат точек по­верхности z = f(х, у), соот­ветствующих точкам (х, у) и (х + Δх, у + Δу ) (рис.20) В зависимо­сти от вида и вели­чин Δх и Δу пол­ное прира­щение функции может быть больше нуля меньше

Рисунок 20 или равно нулю.

Если функция z=f(х,у) непрерывна в точке (х, у), то

то как легко ви­деть, функция z = f(х, у) непрерывна в точке (х, у).

Функция z = f(х, у) называется дифференцируемой в точке (х,у),если ее полное при­ращение в этой точке можно представить в виде:

Δz = А(х, у)Δх + В(х, у)Δу + α1Δх + α2Δу, ( 1 )

г де α1 и α2 – бесконечно малые при Δх→0, Δу→0 ( или, короче, при

Соотношение ( 1 ) часто записывают в более сжатой форме:

Δz = А(х, у)Δх + В(х, у)Δу + αρ . ( 1' )

Здесь

При этом слагаемое А(х, у) Δх + В(х, у) Δу, линейное относи­тельно Δх и Δу, называется главной частью приращения, так как остав­шееся слагаемое а1Δх + а2Δу, т.е. αρ, есть бесконечно малая более высо­кого порядка, чем Δх и Δу (или, короче, чем ρ).

1) В основу определения дифференцируемости функции z=f(x,y) можно было бы по­ложить представленные Δz в виде (1'), где α→0 при ρ→0, а представление (1) по­лучить как следствие.

Действительно

где ; здесь | α1| ≤| α |, | α2 | ≤ | α |, т. е. α1 и α2→0 при ρ→0.

Пример. Функция z=x2y будет дифференцируемой в любой точке (х,у), так как

Δz=(x+Δx)²(y+Δy)–x²y=2xyΔx+x²Δy+2xΔxΔy+y(Δx)²+(Δx)²Δy.

Здесь 2xyΔx+x²Δy – главная линейная относительно Δx и Δy часть полного прира­щения функции, а слагаемое (2xΔy+yΔx)Δx +(Δx)²Δy есть бесконечно малая выс­шего порядка по сравнению с Δx и Δу.

Данное выше определение дифференцируемости функции двух пере­менных является естественным обобщением определения дифференци­руемости функции одной переменной.

Установлено, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Последнее условие оказалось и достаточным, т. е. из существования про­изводной функции одной переменной в данной точке следует дифферен­цируемость функции в этой точке. Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух переменных.