§8 Дифференциал

Если функция z= (x,y) дифференцируема в точке (x,y), то ее полное приращение в этой точке:

z= (x,y)x+ (x,y)y+1 x+2y,

где: 1 и 2 -бесконечно малые при x

Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных и обозначается:

df(x,y)=dz= (x,y)x+ (x,y)y (1)

По определению разность между полным приращением и полным дифференциалом функции в данной точке есть бесконечно малая более высокого порядка, чем x иy.

z-dz=1 x+2y, где 1 и 2 -бесконечно малые

Этим свойством широко пользуются в приближенных вычислениях, заменяя приращение функции z=f(x,y) ее дифференциалом, зависящим от x и y линейно, т. е.:

Пусть z=f(x,y), (x,y), (x,y) существует в точке (x,y)

Найти f(x+x,y+y)

По определению z= f(x+x,y+y)-f(x,y)

Заменим z полным дифференциалом dz

(x,y)x+ (x,y)y= f(x+x,y+y)-f(x,y)

Или

f(x+x,y+y)= f(x,y)+ (x,y)x+ (x,y)y

В точке x=1 и y=1 и непрерывны

Пусть x=0,02 y=0,05

Тогда f(x+x,y+y)= =1- 0,02+ 0,05=1,006

Функция двух переменных, имеющих в некоторой точке дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Замечание 1

Для случая одной независимой переменной наличие у функции дифференциала оказалось эквивалентным существованию у этой функции производной. Для случая двух независимых переменных: существование у функции частных производных еще не обеспечивает наличие у этой функции дифференциала т. е. Ее дифференцируемости.

Замечание 2

Если помимо существования всех частных производных добавить еще и требование их непрерывности, то из этого уже будет вытекать дифференцируемость функции.

Справедлива следующая теорема:

Если функция z=f(x,y) имеет непрерывные в точке (x,y), частные производные (x,y), (x,y) , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных

dz=

По определению для любой дифференцируемой в точке (x,y) функции z=f(x,y)

dz= (x,y)x+ (x,y)y

Полагая, в частности, z=x (т. е. f(x,y) ) получаем

dz=dx=1x+0y=x

т. е. dx=x

Аналогично пусть z=y , тогда dy=y

dz=

Т.о. дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных и тогда dz= (x,y)dx + (x,y)dy

Или (2)

Эта форма записи дифференциала называется инвариантной т. е. дифференциал функции z=f(x,y) сохраняет один и тот же вид независимо то того, являются ли ее аргументы u и v независимыми переменными или функциями то независимых переменных

Доказательство:

Пусть z=f(x,y), где x=x(u,v) y=y(u,v) x,y дифференцируемы в точке (u,v) f(x,y) дифференцируема в точке (x,y)

Тогда z=f(x(u,v), y(u,v)) будет дифференцируема в точке (u,v)

На основании (2)

dz=

Используя правило дифференцирования сложной функции:

dz= + =

Т

dz=

.о. если х и у -независимые переменные и х и у –зависимые переменные, то

дифференциал

В связи с этим данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной.