§ 6 Необходимые условия дифференцируемости

Теорема 1. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке(х,у), то, как следует из соотношения (1), , а это значит, что функция

f(x,y) непрерывна в тоске (х,у).

Теорема 2. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), то она имеет в этой точке частные производные f′х(x,y) и f′у(x,y).

Доказательство. Так как функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), то для любых Δx и Δy (не выходящих за пределы рассматриваемой окрестности) имеет место соотношение (1). Полагая в нем Δy=0, имеем Δxz=А(х,у)Δx+α1Δx, где α1 – бесконечно малая при Δx→0, получаем:

Следовательно, в точке (х,у) существует частная производная f′х(x,y) и f′х(x,y)=А(х,у).

Аналогично доказывается, что в точке (х,у) существует частная про­изводная f′х(x,y) и f′х(x,y)=В(х,у).

Обратные утверждения к теоремам 1 и 2 неверны. Из непрерывности функции двух переменных в точке, а также из существования ее частных производных в этой точке не следует дифференцируемость функции.

Для того чтобы функция двух переменных была дифференцируема в дан­ной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной, надо нало-

жить более жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке.

§7 Достаточные условия дифференцируемости.

Теорема. Если в некоторой окресности точки (x,y) существуют частные производные и функции z= (x,y) и эти производные непрерывны в самой точке (x,y), то функция (x,y) дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Для любых x и y (не выходящих за пределы рассматриваемой окресности) имеем:

z=f(x+x,y+y)-f(x,y)=(f(x+x,y+y)-f(x,y+y))+(f(x,y+y)-f(x,y))

Разность f(x+x,y+y)-f(x,y+y) можно рассматривать как приращение функции одной переменной Х: f(x,y+y) при переходе от x к x+x . Так как в каждой точке отрезка x,x+x (или x+x,x если x<0) эта функция имеет производную, совпадающую с , то по теореме Лагранжа получаем:

(x+x,y+y)- (x,y+y)=

Где 0<1<1

Аналогично для второй разности получаем:

(x,y+y)-f(x,y)=

Где 0<2<1

Таким образом,

z= (x+1x,y+y)x+ (x,y+2y)y, где 0<1,2<1

Функции и непрерывны в точке (x,y), значит,

(x+1x,y+y)=

(x,y+2y)=

т. е. (x+1x,y+y)= (x,y)+1, (x,y+2y)= +2,

Где 1 2 – бесконечно малые при. x . Подставляя эти значения в формулу (2) для z, пoлучаем

z= (x,y)x+ (x,y)y+1 x+2y,

Где 1 , 2 –бесконечно малые при, x а это и значит, что функция f(x,y) дифференцируема в точке (x,y).

С помощью только что доказанной теоремы мы можем устанавливать дифференцируемость для широкого класса функций.

Так, например, функция z=x2 ex2y3 в любой точке (x,y) дифференцируема, так как ее частные производные z/y=3x4 y2 ex2y3 и z/x=(2x+2x3 y3) ex2y3 всюду непрерывны; функция z= дифференцируема в каждой точке полуплоскости x+y>0, так как там существуют и непрерывны ее частные производные z/y=z/x=1/(2 ), и т. д.

Понятие дифференцируемости для функций трех и большего числа переменных вводится совершенно аналогично рассмотренномувыше случаю двух переменных.

Функция u=f(x,y,z,…) , определенная в некоторой окресности точки (x,y,z,…... )n-мерного пространства, называется дифференцируемой в этой точке, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

u=A(x,y,z,…. )x+B(x,y,z,…. )y+C(x,y,z,…. )z+…..+

+M(x,y,z,…. )w+1 x+2y+…+n

Где 1…..n - бесконечно малые при x z ,…..w . Слагаемое 1x+2y+…+n часто записывают в виде *, причем для дифференцируемой функции  при = .

Имеют место следующие необходимые (теорема1) и достаточные (теорема2) условия дифференцируемости.

Теорема 1.

Функция f(x,y,z,…. ), дифференцируемая в точке (x,y,z,…. ) непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по всем независимым переменным.

Теорема 2.

Если функция f(x,y,z,… ) в некоторой окресности точки (x,y,z,…) имеет частные производные по переменным x,y,z,….  и если эти частные производные непрерывны в самой токе (x,y,z,…. ), то функция дифференцируема в этой точке.

Функция (любого числа переменных), дифференцируема в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.