5.1 Цель работы

Изучение динамических свойств астатической САУ

5.2 Основные теоретические сведения по работе

5.2.1 Уравнения движения и передаточные функции системы.

При исследовании динамических свойств следящей системы необходимо составить уравнения движения системы и определить передаточные функции. На рис. 5.1 изображена принципиальная схема следящей системы с пропорциональным управлением. Запишем уравнения отдельных устройств, полагая, что их статические характеристики линейны.

Уравнения сельсинов:

уравнение рассогласования валов сельсина-датчика:

(5.1)

уравнение сельсина-трансформатора:

(5.2)

где m - чувствительность сельсина-трансформатора.

Уравнение электронного усилителя:

(5.3)

где k_y - коэффициент усиления электронного усилителя.

Уравнение электромашинного усилителя с независимым возбуждением:

(5.4)

где

k_э - коэффициент усиления ЭМУ;

Т_э = - эквивалентная постоянная времени;

L_у и R_у - соответственно индуктивность и сопротивление одной обмотки управления ЭМУ;

- эквивалентное напряжение на входе ЭМУ;

i₁ и i₂ - токи в управляющих обмотках ЭМУ.

Уравнение исполнительного двигателя:

(5.5)

где Т_м - электромеханическая постоянная времени двигателя;

k_д - коофициент усиления двигателя.

Уравнение редуктора:

(5.6)

где i - передаточное число понижающего редуктора.

Рисунок 5.1 - Структурная схема следящей САУ

Из уравнений (5.2) и (5.3) определяем напряжение на выходе электронного усилителя:

(5.7)

Перемножив правые и левые части уравнений (5.4), (5.5) и (5.6), получим:

(5.8)

Подставив в (8) значение U_у из (7), имеем:

(5.9)

- коэффициент усиления разомкнутой системы.

Выражение (9) представляет собой уравнение движения разомкнутой системы. Из этого уравнения определяется передаточная функция разомкнутой системы:

(5.10)

В установившемся режиме, когда входной и выходной валы системы вращаются с постоянной скоростью V=р*Q_вых, уравнение (5.9) упрощается и принимает вид:

V =К*Q_у , или

Отношение скорости вращения выходного вала системы к установившейся ошибке называется ДОБРОТНОСТЬЮ системы, которая численно равна коэффициенту усиления разомкнутой системы, т.е.

[1/сек] (5.11)

Величина добротности достигает в современных системах больших значений, порядка нескольких сотен 1/сек и выше. Учитывая выражение (5.1), из (5.9) получаем уравнение движения замкнутой системы:

[(Т_э *р + 1)(Т_м * р + 1) р + К]Q_вых = К Q_вх (5.12)

Откуда получается передаточная функция замкнутой системы:

(5.13)

Выражение (13) может быть также найдено из формулы:

и из формулы (5.10).

Так как передаточная функция по ошибке:

(5.14)

Найденные выражения для передаточных функций системы позволяют перейти к анализу её динамических свойств.

5.3 Устойчивость системы

Выясним, при каких соотношениях между параметрами системы (постоянными времени, добротностью) процессы в ней будут устойчивыми. Для этого воспользуемся критерием Раусса. Уравнению движения замкнутой системы (5.12) соответствует характеристическое уравнение:

Т_э Т_м * р³ + (Т_э + Тм) * р² + р + D1 = 0 (5.15)

Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы соблюдались неравенства:

Т_э*Т_м > 0 Т_э+Т_м > 0 D1 > 0 и

Т_э+Т_м - Т_э*Т_м*D1 > 0

В результате получаем, что условием устойчивости системы является:

(5.16)

Практически величина добротности должна быть выбрана значительно меньше для того, чтобы получить требуемый запас устойчивости, который будет компенсировать влияние неучтённых малых постоянных времени (например, электромагнитной постоянной времени якоря двигателя). Отсюда следует, что для увеличения добротности системы нужно стремиться уменьшить постоянную времени Т_э обмотки управления ЭМУ и электромеханическую постоянную времени двигателя Т_м. Однако это сделать не всегда возможно. В таком случае управляющий сигнал системы должен изменяться по другому закону для чего, например, в систему вводятся внутренние связи. Рассмотрим, как влияет на устойчивость системы дополнительая отрицательная обратная связь по скорости выходного вала .

Напряжение обратной связи, U_о.c снимаемое с тахогенератора подаётся на вход усилителя. Таким образом, на выходе усилителя будет напряжение

U_у=k_у*U_q-k_у1*U_о.с = k_у*m*Q – k_У1*k_Т*р*Q_вых (5.17)

где k_У1-коэффициент усиления сигнала, пропорционального скорости выходного вала;

k_т- коэффициент передачи тахогенератора.

Подставив в (5.8) значение U_у из (5.17), получим уравнение движения разомкнутой системы в виде:

[Т_э*Т_м*р + (Т_э+Т_м)*р + (1+ К*Z)р]Q_вых =К*Q , (5.18)

и

Величина К равна добротности D₁, системы без дополнительных связей, а Z характеризует относительную интенсивность управления по сигналу, пропорциональному производной угла поворота выходного вала.

В установившемся режиме, когда входной и выходной валы системы вращаются с постоянной скоростью V =р *Q_вых уравнение (5.18) будет выглядеть так:

(1 + К*Z)V =К*Q_у (5.19)

Используя общее определение добротности по выражению (5.11), получаем в данном случае:

(5.20)

Отсюда следует, что ПРИ ВВЕДЕНИИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СКОРОСТИ ВЫХОДНОГО ВАЛА, ДОБРОТНОСТЬ D₂ СИСТЕМЫ УМЕНЬШАЕТСЯ ПО СРАВНЕНИЮ С СИСТЕМОЙ БЕЗ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СВЯЗИ, ГДЕ ОНА РАВНА К.

Подставляя в (5.18) выражение Q = Q_вх - Q_вых, получим уравнение движения замкнутой системы:

[Т_э*Т_м*р + (Т_э+Т_м)*р + (1 + К*Z)р + К] Q_вых =К*Q_вх (5.21)

Откуда характеристическое уравнение системы имеет вид:

Т_э*Т_м*р³+ (Т_э + Т_м)*р² + (1 + К*Z)р + К = 0 (5.22)

Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты уравнения:

Т_э*Т_м > 0 Т_э + Т_м > 0 1 +К*Z > 0 К > 0

и (Т_э + Т_м)(1 + К*Z) - Т_э * Т_м*К > 0

(5.23)

Неравенство (21) показывает, что ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМУ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СКОРОСТИ ВЫХОДНОГО ВАЛА УЛУЧШАЕТ УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ, ТАК КАК ВЕЛИЧИНА меньше добротности D₁=К системы без дополнительной обратной связи, и, следовательно, рассматриваемое при одинаковых для обоих случаев значениях Т_м и Т_э неравенство усиливается.

Как известно, необходимо, чтобы система была не только устойчивой, но и имела определённый запас по амплитуде и по фазе.

Влияние дополнительной отрицательной обратной связи на устойчивость системы удобно рассмотреть с помощью обратной амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Из (5.18) при получаем выражение для амплитудно фазовой характеристики разомкнутой системы

Тогда обратная амплитудно-фазовая характеристика системы:

где E(j ) -обратная амплитудно-фазовая характеристика системы без дополнительных обратных связей.

Для получения необходимого запаса устойчивости нужно выбрать коэффициент Z таким, чтобы обеспечивался запас по фазе, равный 30 - 40 градусов, и запас по амплитуде, равный 3 - 4.