1

3

5

5

5

1

3

5

5

5

1

3

5

5

5

2

5

8

9

~

0

−1

− 2

−1

~

0

−1

− 2

−1

9

−1

−1 .

1

2

3

4

4

0

−1

− 2

−1

−1

0

0

0

0

0

х

+3х

2

+5х

+5х

4

=

5

1

3

х2 + 2х3 + х4 =1

Оставим в левой части две переменные. Пусть переменные

х3 и х4 свободные. Тогда

х2 = 1 – 2х3 – х4 ;

х1 = 5 – 3(1 − 2х3 – х4) – 5х3 – 5х4 = 2 + х3 – 2х4 .

Ответ: (2 + х3 – 2х4;

1 – 2х3 – х4;

х3 ; х4).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Вычислить определители:

−1

5

;

а +1

b −c

;

cos α

−sin α

.

2

13

а2 + а

ab − ac

sin α

cos α

2.

Решить уравнения:

х

2 − 4

−1

=

0;

cos8x −sin 5x

= 0 .

х − 2

х + 2

sin 8x

cos5x

3.

Решить неравенства:

2x − 2 1

> 5;

x 3x

<14 .

7x

2

4 2x

4.

Исследовать системы на совместность и решить их по

формулам Крамера:

3x −5y =13

;

2x −3y

= 6

x

− y 3 =1

.

4x −6 y

;

2x + 7 y =81

= 5

3 −3y = 3

x

5. Определить, при каких значениях

а и b

система уравне-

ний

3x − ay =1

1)

имеет единственное решение;

2)

не имеет

6x + 4 y = b

решений;

3)

имеет бесконечно много решений.

6. Определить, при каком значении

а система однородных

уравнений

13х+ 2 у = 0

имеет ненулевое решение.

5х+ ау = 0

7. Найти решения систем по формулам Крамера:

3х − 2 у +5z = 0

x +3y − z = 0

x + 2 y −3z = 0 ;

5x −3y + z = 0 .

8. Вычислить определители двумя способами (непосредст-

венно и предварительно упростив):

1

1

2

3

1

4

3

х

а

а

2

0

3

1

−1

−3 1 0

1 0

0 3

3 2 −1;

а х − а

;

;

.

5

6

3

а

а

х

3

0

4

1

6

3

1

−3

3

2

2

2

3

3

1

− 2

9. Используя только свойства определителей, показать, что

следующие определители равны нулю:

2 3 4

2х +3у + 4

1 + х 1 − х 2 4

5 6 7

5х+6 у + 7

;

1 + х 1 − х 3 9

.

8 9 10 8х+9 у +10

1 + х 1 − х 4 16

11

12

13

11х +12 у +13

1 + х

1 − х

5

25

12. Определить, при каких значениях

а

и b

система урав-

3x − 2 y + z = b

нений 5x −8y +9z = 3

1)

имеет единственное решение;

2) не

2x + y + az = −1

имеет решений;

3) имеет бесконечно много решений.

13. Определить, при каком значении

а

система однородных

3x − 2 y + z = 0

уравнений

ax −14 y +15z = 0

имеет ненулевое решение.

x + 2 y −3z = 0

14. Решить системы уравнений методом Гаусса:

х1 + х2 −3х3 + 2х4 = 6

х1 + х2 − 2х3 + х4 =1

x1 − 2x2

− x4 = −6

;

x1 −3x2 + х3 + x4 = 0

;

х

+ x

+3х

=16

4х

− х − x −

х =1

2

3

4

1

2

3

4

2

х

−3х

+ 2х

= 6

4х

+3х

−4х

− х = 2

1

2

3

1

2

3

4

х

+ 2х

+ х

+ 4х

4

+ х

= −4

1

2

3

5

3x1 + 2x2 + х3 + x4 −3х5 =1

.

х

+ 2x + 2х

+6х

= −1

2

3

4

5

5

х

+ 6х

+3х

+9х

−

х

= −7

1

2

3

4

5

15. Дан многочлен вида

А – 2В + А · В:

а)

преобразовать его при

В = 3Е – 4А,

где

Е – единичная

матрица того же порядка, что и матрица

А,

приведя подобные

члены и расположив по степеням матрицы А;

б)

вычислить значение полученного матричного многочлена

3

4

5

при А =

4

2

1

.

0

5

6

7

2

1

5

16. Даны матрицы

А =

3

− 2

4

−3

,

2

1

1

2

5

4

3

0

2

3

−2

1

. Решить уравнение 5А + 2Х − В = 0.

В =

1

0

2

4

17. Вычислить произведения матриц А В:

3

1

−1

а) А = (1 2 −3);

4

−1 3

;

В =

2

6

0

2

3

4

−5

3

2

1

4

1

1

2

−3

4

−1

б) А =

;

В =

1

3

2

.

−1

− 2

3

1

2

0

1

3х −2 у

= −11

4x + 2 y + 2z = −5 .

2x +5y − z = −6

20. Вычислить ранги матриц двумя способами:

2 −1

1

−1

2

1

3

4

2

−1

0

−1

−2

0

1

а)

−3

;

б)

;

3

0

−

1 1

4

2

6

8

2

2

−

2 5

− 2

−4

0

2

1

2

−1

4

3

1

2

3

4

2

в)

4 3 −2 −1

;

г)

2 4

6

8

;

0

0

5

−3

2

3

6

9

12

1

2

−11

17

8

1

−1

0

д)

2

0

1

.

1

1

1

системы на совместность:

4х1 + 2х2 +3х3 = −2

х + у − z = 3

2x1 +8x2 − x3 =8

;

x + y + z =1 .

9х1 + x2 +8x3 = 0

x + y = 2

2х+3у + 2z = 9

22. Исследовать систему

x + 2 y −3z =14

на совместность

3x + 4 y + z =16