Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Технический Университет

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Элементы линейной алгебры 2006.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

567.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Лекция № 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО

ПОРЯДКОВ. ИХ СВОЙСТВА. ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕ n-ГО ПОРЯДКА

1.1. Пусть дана квадратная таблица из 4-х элементов:

			а	а	(1.1)
			11	12	(1.1)
			а21
			а21	а22
аij R	i:		j:
аij R	i:	1;2	j:	1;2

Определение. Число вида а11 а22 − а12 а21 называется

определителем второго порядка.

Обозначается:

а11 а22 − а12 а21	= =	а11	а12	(1.2)
		а21	а22

Далее таблицу (1.1) будем называть матрицей 2-го порядка с размерностью 2×2 (количество строк × количество столбцов).

Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя: аij, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Понятие определителя справедливо только для квадратных матриц (число строк равно числу столбцов). Про элементы а11, а22 говорят, что они образуют главную диагональ, а элементы а12, а21

− побочную диагональ определителя:	а11	а12	.
	а21	а22
Определение. Определитель	второго порядка равен

разности между произведением элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях.

Пример 1. Вычислить	1	4	= 1 5 – (-2) 4 = 5 + 8 = 13.
	−2	5

1.2. Рассмотрим квадратную таблицу (матрицу) третьего порядка (3×3) с элементами:

а	а	а
11	12	13
а21	а22	а23	(1.3)
а	а	а
31	32	33

Определение. Определителем третьего порядка, соот-

ветствующему таблице (1.3), называется число вида (обозначаемое символом).

а11	а12	а13	= а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 −
а21	а22	а23	= а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 −
а31	а32	а33

− а13 а22 а31 − а12 а21 а33 − а23 а32 а11 = .

Числа а11, а22, а33 образуют главную диагональ, а13, а22, а31 − побочную диагональ определителя третьего порядка.

Правило вычисления определителя 3-го порядка можно выразить следующей схемой:

−

Указанное правило называется правилом треугольника. Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:

1 −1 2 2 3 −1 =1 3 2 + 2 0 2 + (−1) (−1) 1 −2 3 1 −(−1) 2 2 − 1 0 2

−(−1) 0 1 = 6 + 0 +1 −6 + 4 + 0 = 5 .

1.3.СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Приведем их для определителей третьего порядка, хотя они справедливы для определителей любого порядка.

Свойство 1. Если поменять местами элементы опреде-

лителя, расположенные симметрично относительно главной диагонали, то величина определителя не изменится, т.е.

а11	а12	а13		а11	а21	а31
а21	а22	а23	=	а12	а22	а32
а31	а32	а33		а13	а23	а33

(доказательство по определению − вычислить определители левой и правой частей равенства и сравнить).

а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 − − а13 а22 а31 − а12 а21 а33 − а23 а32 а11 (левый определитель).

а11 а22 а33 + а12 а23 а31 + а21 а32 а13 −

− а31 а22 а13 − а21 а12 а33 − а32 а23 а11 (правый определитель).

Свойство 2. Перестановка двух столбцов (двух строк) определителя равносильна умножению его на −1.

а11	а12	а13		а13	а12	а11
а21	а22	а23	= −	а23	а22	а21
а31	а32	а33		а33	а32	а31

Доказательство проводится вычислением (см. свойство 1).

Свойство 3. Общий множитель всех элементов строки

(столбца) можно выносить за знак определителя:

k а11	а12	а13		а11	а12	а13
k а21	а22	а23	= k	а21	а22	а23
k а31	а32	а33		а31	а32	а33

Доказательство свойства проводится по определению: так как множитель k будет присутствовать в каждой тройке чисел, то его можно вынести за скобку как общий.

Свойство 4. Если определитель имеет два одинаковых

столбца (две одинаковые строки), то он равен нулю:

а11 а12 а13 а11 а12 а13 = а11 а12 а33 + а11 а32 а13 + а12 а13 а31 − а31 а32 а33

− а13 а12 а31 − а12 а11 а33 − а13 а32 а11 = 0

Свойство 5. Если все элементы строки (столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю (доказательст-

во приведем на примере). Пример 3. Вычислить

1 0 5 3 0 8 = 1 0 2 + 3 0 5 + 0 8 7 − 5 0 7 − 0 3 2 − 8 0 1 = 0 7 0 2

Свойство 6. Если соответствующие элементы двух

строк (двух столбцов) определителя пропорциональны, то он равен нулю:

а11	k а11	а13	по св−ву 3	k	а11	а11	а13	по св−ву 4	0.
а21	k а21	а23	=		а21	а21	а23	=
а31	k а31	а33			а31	а31	а33

Свойство 7. Если каждый элемент одного и того же

столбца (одной и той же строки) определителя равен сумме двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей:

′	′′	а12	а13		′	а12	а13		′′	а12	а13

а11	+ a11				а11				a11
′	′′	а22	а23	=	′	а22	а23	+	′′	а22	а23
а21	+ a21				а21				a21
′	′′	а32	а33		′	а32	а33		′′	а32	а33
а31	+ a31				а31				a31

(доказательство провести самостоятельно, вычислив и сравнив определители левой и правой частей равенства.)

Свойство 8. Если к элементам какой-либо строки

(какого-либо столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на число, не равное нулю, то величина определителя не изменится.

а11

+ k a12

а12

а13

по св−ву 7

а11

а12

а13

а21

+ k a22

а22

а23

а21

а22

а23

а31

+ k a32

а32

а33

а31

а32

а33

k а12

а12

а13

по св−ву 6

а11

а12

а13

+0.

k а22

а22

а23

а21

а22

а23

k а32

а32

а33

а31

а32

а33

1.4.МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Рассмотрим определитель третьего порядка с элементами

а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33

Определение. Минором -го элемента определителя на-

зывается определитель, который получается из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Обозначается: для элемента aij минор Mij.

Пример 4. Для элемента а22 матрицы (1.3) составим минор

М22 =	а11	а13	= а11 а33 − а13 а31.
	а а
	31	33

Определение. Алгебраическим дополнением любого эле-

мента определителя называется соответствующий ему минор, взятый со своим знаком, если сумма индексов строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное.

aij → Mij → Аij = (−1)i+j Mij.

1 2 3

Пример 5. Составить А23 для матрицы −1 3 −1 .

2 1 1

А23 = (−1)2+3 М23 = − М23 = −	1	2	= −(1−4) = 3.
	2	1

Свойство 9. Определитель любого порядка равен сум-

ме произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на соответствующие им алгебраические дополне-

ния (доказательство непосредственно − путем вычислений).

а11

а12

а13

= а11 А11

+ а12 А12 + а13 А13 = а11

а22

а23

а21

а22

а23

−

а31

а32

а33

а32

а33

− а12

а21

а23

+ а13

а21

а22

= а11 а22 а33 − а11 а23 а32 −

− а12 а21 а33 + а12 а23 а31 + а13 а21 а32 − а13 а22 а31 =

а11

а12

а13

а21

а22

а23

по правилу треугольников.

а31

а32

а33

Пример

Вычислить определитель

, разлагая

его по элементам третьего столбца:

5 12

− 19

2 4

+ 17

2 4

5 12 19

= 6

= 6(45−36) − 19(18−12) + 17(24−20) = 6 9 − 19 6 + 17 4 = 8.

Замечание. Вычисление определителя при помощи разложения по элементам столбца или строки можно упростить, если преобразовать его по свойству 8:

2	4	6		2	0	0	= 2	2	4	= 2(16 −12) =8

5	12	19	=	5	2	4
3	9	17		3	3	8		3	8

Свойство 10. Сумма произведений элементов какой-

либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (дру-

гого столбца) равна нулю (доказательство непосредственной проверкой):

а11 А21 + а12 А22 + а13 А23 = −а11	а12		а13	+
	а	32	а
		32	33

+ а12	а11		а13	− а13	а11		а12	= −а11 а12 а33 + а11 а13 а32 +
	а	31	а		а	31	а
		31	33			31	32

+ а12 а11 а33 − а12 а13 а31 − а13 а11 а32 + а13 а12 а31 = 0.

1.5. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЮБОГО ПОРЯДКА

Определитель порядка n задается квадратной таблицей размерностью n × n. Обозначается аналогично − .

Минором некоторого элемента определителя n-го порядка называется определитель (n −1)-го порядка, который получается из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых располагается данный элемент.

Алгебраическое дополнение определяется аналогично (см. выше) как минор, взятый с определенным знаком.

Аij = (−1)i+j Mij

Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения (свойство 9).

Таким образом, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению определителя (n −1)-го порядка, используя свойство 9 и комбинируя его со свойством 8.

Пример 7. Вычислить определитель

1	1	1			1		св−во 8			1	1		1		1	св−во9	1	1	4
1	1	1			1					1	1		1		1	св−во9	1	1	4
1	2	2		5						0	1		1		4	=	−4	−2	2
1	−3		−1		3		=			0	− 4		− 2		2	=	−4	−2	2
1	−3		−1		3		=			0	− 4		− 2		2	к1 столбцу	1	3	−2
1	2	4			−1					0	1		3		− 2
1	2	4			−1					0	1		3		− 2
	=		1		1	4		=1	2	18		= 2 6		1	3	= 12(−1−3) = −48.


			0		2	18
			0		2	−6			2	−6				1	−1
			0		2	−6

Лекция № 2. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

К РЕШЕНИЮ И ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Рассмотрим линейную (переменные в первой степени – на плоскости уравнение соответствует прямой) систему двух уравнений с двумя переменными:

	а11х + а12	у = h1	(2.1)
a21x + a22 y = h2			(2.1)
a21x + a22 y = h2

где х, у – неизвестные; а11, а12, а21, а22 – коэффициенты при неизвестных системы, R; h1, h2 – свободные члены.

Определение. Пара чисел х0, у0 называется решением

системы (2.1), если она обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Из курса средней школы известны такие методы решения системы, как подстановки и исключения неизвестных системы. Применим последний метод. Для исключения переменной у умножим первое уравнение системы (2.1) на а22, а второе – на (−а12)

и сложим: х (а11 а22 − а21 а12) = h1 а22 − h2 а12.

Аналогично для исключения переменной х умножим пер-

вое на а21, а второе – на (−а11) и сложим:

у (а12 а21 − а11 а22) = h1 а21 − h2 а11

или у (а11 а22 − а12 а21) = h2 а11 − h1 а21.

Система (2.1) принимает вид:

(а11а22 −а12

а21)х = h1а22 − h2a12

(2.1')

(a11a22 − a12a21) y = h2a11 − h1a21

Введем следующие обозначения:

а11

а12

;

а12

;

а11

тогда (2.1') может быть записана следующим образом:

х =

(2.1")

y =

Определение. Определитель , составленный из коэф-

фициентов при неизвестных системы (2.1), называется главным определителем системы.

Определение. Определители х, у называются побоч-

ными.

Они составляются из главного при замене столбца коэффициентов при переменной х столбцом свободных членов. Определитель у также получается из главного путем замены столбца коэффициентов при переменной у столбцом свободных членов.

Исследуем количество решений системы (2.1").

1. Если главный определитель системы (2.1") ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое мы найдем по формулам

х =	х ,	у =	у	− формулы Крамера.

	2.	Если	= 0, а хотя бы один из побочных х или у, или
и	х, и	у ≠ 0,		то система (2.1) не имеет решений, так как имеем,

по крайней мере, одно равенство вида 0 = const, что невозможно. 3. Если = х = у = 0, то формулы Крамера принимают

вид 0 = 0, а это истина, получим

− а

= 0

а11

а12

а21

а22

a11

a12

− h

a22

т.е. коэффициенты при неизвестных системы и свободные члены пропорциональны, а значит, система (2.1) будет равносильна одному уравнению:

а21	k x + а22 k y = h2	k	, где	k	≠ 0.
	a21 x + a22 y = h2

Сокращая обе части первого уравнения на					k, мы получим в

системе два одинаковых уравнения, а значит, одно из них можно отбросить. Получим систему из одного уравнения с двумя неиз-

вестными, которая имеет множество решений	х =	h2 − a22 y	, где

		a21

а21 ≠ 0.

Вывод. Система линейных алгебраических уравнений (2.1)

имеет:
1)	единственное решение, если главный определитель сис-
темы	≠ 0;
12

не имеет решений, если

= 0, а, по крайней мере, один

из побочных определителей

или

у не равны нулю;

имеет множество решений,

если и главный, и побочные

определители равны нулю:

х =

у = 0.

Пример

Решить систему

3х+ 4

у = 2

по формулам

у = 7

Крамера.

2х +3

= 3 3 − 2 4 =1 ≠ 0 −

система имеет

единственное

решение.

2 4

= 2 3 − 4 7 = −22 ;

3 2

= 3 7 − 2 2 =17 ;

х = х = −22 , у =

=17 .

Ответ: (−22; 17).

3х + 4 у =1

Пример

Решить систему

по формулам

у = 3

Крамера.

6х+8

3 4

= 3 8 − 4 6 = 0 .

1 4

=1 8 − 4 3 = −4 ≠ 0 .

Ответ: система решений не имеет (Ø).

Пример

Решить систему

3х + 4 у =1

по формулам

6х +8у = 2

Крамера.

= 0 ;

х = 12 84 =8 −8 = 0 ; у = 63 12 = 6 −6 = 0 .

Система имеет множество решений, разделив обе части второго уравнения на 2, мы получим два одинаковых уравнения:

3х + 4у = 1;		х =	1 − 4 у	.
			3
1	− 4 у

Ответ:		; у .
	3

Замечание. Система называется однородной, если h1 и h2 = 0 одновременно.

а11 x + а12	y = 0	(2.2)
a21 x + a22 y = 0		(2.2)
a21 x + a22 y = 0

Очевидно, что х = у = 0.

1)если ≠ 0, то система имеет единственное решение, совпадающее с нулевым;

2)если = 0, то система имеет множество решений.

2.2. Исследуем решение линейной системы двух уравнений с тремя неизвестными (неоднородной):

	а11х + а12	у + а13 z = h1	(2.3)
a21x + a22 y + a23 z = h2			(2.3)
a21x + a22 y + a23 z = h2

Так как система недоопределена, в ней число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет множество решений. Для нахождения решений системы (2.3) по формулам Крамера выбираем одну свободную переменную (смотрим на нее как на число) и переносим в правую часть с противоположным знаком. В качестве свободной переменной выбираем ту, чтобы главный определитель полученной системы был бы ≠ 0. И решаем полученную систему способом, указанным выше.

3х+5у +8z =1

Пример 4. Найти все решения системы 7x + 2 y + 4z = 5 .

В качестве свободной переменной может быть выбрана любая: х, у или z, так как любой определитель второго порядка отличен от нуля. Например, выберем за свободную переменную х.

5у +8z =1 −3х2 y + 4z = 5 −7х

= 20 −16 = 4,

≠ 0

− решения системы найдем по

формулам Крамера.

у =

1 −3х 8

= 4 −12х− 40 +56х = 44х −36 ;

5 −7х

5 1 −3x

= 25 −35х− 2 +6х = 23 − 29х;

z =

5 −7x

y =

44x −36

=11x −9,

z =

23 − 29x

−

Ответ:

х;

11х−9;

−

х − решений множество, все

они зависят от свободной переменной х.

Замечание. Решение однородной линейной системы

двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично.

Пусть требуется решить систему


			а х +		а у + а z = 0		(2.4)
			11		12	13	(2.4)
		a21x + a22 y + a23 z = 0
Будем считать в качестве свободной переменной перемен-
ную z, считая	а11	а12		≠ 0.	Перенесем свободную переменную z
ную z, считая	а11	а12		≠ 0.	Перенесем свободную переменную z
	а21	а22

в правую часть и найдем все решения системы по формулам Крамера:

а11х+ а12 у = −а13z

a21x + a22 y = −a23 z

=а11 а12 ; а21 а22

− а13 z a12

= −z

a13

a12

a13

z ;

− a23 z

a22

a23

a22

a23

а11

− a13z

= −z

a11

a13

;

a21

− a23 z

a21 a23

a12

a13

a11

a13

x =

a22

a23

y = −

a23

a21

a22

a21

a22

Введем обозначение

= t − новая переменная.

a21

a22

Тогда все множество решений системы может быть найдено

по формулам

а11

а13

х =

а12

а13

t ;

y = −

t ;

z =

а11

а12

t .

а22

а23

а21

а23

а21

а22

14243

Для практики вычислений полезно заметить, что определи-

тели х,

у,

z получаются из матрицы, составленной из коэффи-

циентов при неизвестных системы

а21

а22

при помощи

а23

поочередного вычеркивания столбцов таблицы, значение переменной у берется с противоположным знаком.

Если z = 0, а хотя бы один из определителей х или у ≠ 0, то формулы остаются справедливы, только меняется свободная переменная.

Если же все три определителя х = у = z = 0, то, как и в случае для неоднородной системы двух уравнений с двумя переменными, можно показать, что коэффициенты уравнений системы (2.4) соответственно пропорциональны. Система сводится к одному уравнению, а она естественно имеет бесконечно много решений (см. пример).

3х+5у +8z = 0

Пример 5. Найти все решения системы .

7x + 2 y + 4z = 0

Матрица из коэффициентов системы имеет вид

х =

5 8

= 4 ;

у =

3 8

= −44 ;

z =

3 5

= −29 .

Все решения системы определяются по формулам

х = 4t;

y = 44t; z = −29t,

где t − свободная переменная.

Ответ: (4t,

44t,

−29t).

3х+ 2 у −

3z = 0

Пример 6. Найти все решения системы

6z = 0

6x + 4 y −

Для этой системы все определители х =

у =

z = 0.

Легко

заметить, что второе уравнение системы получается из первого путем умножения на 2. Поэтому система равносильна одному уравнению 3х + 2у − 3z = 0. Одно уравнение, значит, зависимая переменная одна, а свободных – две. Все решения системы будут иметь вид

3z − 2 y

у,

;

y; z , где

− свободные переменные

3z −3х

х,

или

х;

; z , где

− свободные переменные

х;

у;

3х

+ 2 у

х,

у − свободные переменные.

или

, где

2.3. Рассмотрим решение и исследование линейной системы трех

уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим систему

а11х + а12 у + а13 z = h1

a x

+ a y + a

z = h

(2.5)

а х

+ а у + а z = h

Определение. Тройка чисел (х0, у0, z0) называется ре-

шением системы (2.5), если она обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Формулы Крамера для системы (2.5) имеют вид

х =

х ; у =

;

z =

z ,

(2.6)

а11

а12

а13

где

а21

а22

а23

− главный определитель системы,

состав-

а31

а32

а33

ленный из коэффициентов при неизвестных.

а12

а13

a11

а13

а11

а12

х =

а22

а23

;

y =

a21

а23

; z =

а21

а22

−

а32

а33

a31

а33

а31

а32

побочные определители системы, составляются аналогично слу-

чаю (2.1).

Формулы (2.6) приведем без доказательства, доказательство можно провести самостоятельно путем их подстановки в систему

(2.5).

Поэтому для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными справедлив один из трех случаев:

1)	если	≠ 0, то система (2.5) имеет единственное решение,
которое определяется формулами (2.6);
2)	если	= 0, а хотя бы один из определителей х, у, z

отличен от нуля, то система (2.5) решений не имеет, так как хотя бы одна из формул (2.6) не будет иметь смысл;

3) если = х = у = z = 0, то система (2.5) имеет бесконечно много решений. Так как, по крайней мере, одно из уравнений системы (2.5) будет являться следствием остальных, а значит, в системе число уравнений будет меньше числа неизвестных. Такая система называется неопределенной. Однако можно привести примеры систем, которые при условии = х = у = z = 0 решений не имеют.

	Пример	7.	По формулам Крамера найти все решения сис-
	х+2 у	+ z	= 4
темы
темы	3x −5y +3z =1.

	2x +7 y − z =8

Составим и вычислим главный и три побочных определителя системы.

	1	2	1	= 5 + 21 + 12 + 10 + 6 – 21= 33 ≠ 0.
=	3	−5	3	= 5 + 21 + 12 + 10 + 6 – 21= 33 ≠ 0.
	2	7	−1

Система имеет единственное решение.
		4		2	1				0		22	−11					22 −11				2	1


х =		1		−5 3			=		1		−5	3		= (−1)						=11			=
		8		7	−1				0		47	−25					47	−25			47	25
		8		7	−1				0		47	−25
								= 11 (50 –47) = 33.
			1	4	1			1			4	1			−11		0


у =			3	1	3	=		0		−11		0	=1					= 33.
			2	8	−1			0			0	−3			0		−3
			2	8	−1			0			0	−3
	1			2	4					−5 1			3	1		3	−5


z =	3			−5	1	=1						−2			+4				=(−40–7) –
	2			7	8					7	8		2	8		2	7
	2			7	8

− 2 (24 – 2) + 4 (21 + 10) = −47 –2 22 + 4 31 = 33.

Подставляя в формулы (2.6), получим х = у = z = 1.

Ответ: (1; 1; 1).

Пример 8. По формулам Крамера найти все решения сис-

3х+ у− z =1

темы 5x +2 y +3z = 2 .8x +3y +2z = 3


		=	3	1	−1	=	3		1		−1	=	3	1		−1		+	3 1 −1		= 0
			3	1	−1		3		1		−1		3	1		−1			3 1 −1
			5	2	3		5		2		3		5	2		3			5 2 3
			8	3	2		3 +5 1+2 −1+3						3	1		−1			5 2 3
х =	1	1		−1	= 0,			3	1	−1	= 0,		z =		3 1		1			= 0 сис-
	1	1		−1				3	1	−1					3 1		1
	2	2		3			у =	5	2	3					5 2			2
	3	3		2				8	3	2					8	3	3

тема имеет множество решений. Для нахождения всех решений системы нетрудно заметить, что третье уравнение ее является следствием первых двух, а значит, его можно отбросить:

3х+ у− z =1

5x +2 y +3z = 2 .

Полученную систему решим методом, изложенным в п. 2.2. В качестве свободной переменной выберем переменную z:

3х+ у =1

+ z

= 2 −3z

5x +2 y

=1 ≠ 0 .

1+ z

= 2 +2z −2 +3z = 5z .

х =

2 −3z

y =

3 1+ z

= 6 −9z −5 −5z =1−14z .

2 −3z

х = 5z, y = 1–14z.

Ответ: (5z, 1–14z, z).

Пример

По формулам Крамера найти все решения сис-

х+ у

+ z =1

темы

+ 2z = 3 .

2x + 2 y

+3z = 4

3x +3y

Нетрудно заметить, что = х = у = z = 0, однако система решений не имеет, так как любые два ее уравнения несовместны.

Ответ: Ø.

Замечание. В случае однородной линейной системы

трех уравнений с тремя неизвестными возможен только один из двух следующих случаев.

Рассмотрим однородную систему (2.7)

	а х+а		у+а z = 0
	11	12	13
a21 x +a22 y +a23 z = 0				(2.7)
		х+а32	у+а33 z = 0
а31		х+а32	у+а33 z = 0

Так как	х = у = z = 0, то для главного определителя
возможны только два исхода:
1) если	≠ 0, то система (2.7) имеет единственное нулевое
решение;

2) если = 0, то система имеет множество решений. В этом случае одно или два уравнения системы (2.7) будут являться следствием остальных.

	Пример 10. Найти по формулам Крамера все решения сис-
	х+2 у+ z = 0
темы
	3х−5y +3z = 0 .

	2x +7 y − z = 0
	= 33.
	Ответ: (0; 0; 0).
	Пример 11. Найти по формулам Крамера все решения сис-
		х + у + z = 0
темы		х+3y + 2z = 0 .
	2

	4x +5y + 4z = 0

= 0 – система имеет множество решений, найдем их. Так как последнее уравнений системы получается путем сложения первого уравнения, умноженного на 2, и второго, то система рав-

х+

у +

z =

носильна однородной системе вида

2x +3y + 2z = 0

Решим ее методом, изложенным в п. 2.2.

x =

1 1

= −1 ,

y =

1 1

= 0 ,

z =

1 1

=1.

х = −t,

у = 0,

z = t

Ответ: (−t; 0; t).

Пример 12. Найти по формулам Крамера все решения сис-

х+ у+ z = 0

темы

x + y + z = 0 .

2х+2 y +2z = 0

3x +3y +3z = 0

= 0 – система имеет множество решений.

Ответ:

(−y – z; y;

z).

Лекция № 3. МЕТОД ГАУССА – МЕТОД

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений. Для простоты рассуждений ограничимся системой из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

а х			+а х			2	+а х			3	+а х			4	= b
	11	1		12				13			14				1
a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 +a24 x4 = b2																(3.1)
a	31	x	+a	32	x	2	+a	33	x	3	+a	34	x	4	= b
		1													3
a	41	x	+a	42	x	2	+a	43	x	3	+a	44	x	4	= b
		1													4

где aij R – коэффициенты при неизвестных системы; bi – свободные члены.

Определение. Четверка чисел (х10, х20, х30, х40) называ-

ется решением системы (3.1), если она обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Метод Гаусса состоит из двух ходов: прямого и обратного. Прямой ход состоит в последовательном исключении переменных с целью приведения системы к треугольному виду; обратный – в

нахождении значений переменных хi, где i = 1,4 .

Рассмотрим прямой ход метода.

1. Из всех уравнений выбираем такое, у которого коэффициент при переменной х1 равен единице. Если такого уравнения нет, то выбираем любое. Например, первое уравнение разделим на а11, считая а11 ≠ 0. При этом получаем систему, равносильную данной.

Определение. Две системы называются равносильны-

ми, если решения их совпадают.

Систему, равносильную данной, можно получить с помощью следующих преобразований:

−умножение и деление обеих частей уравнения на число, не равное нулю;

−прибавлением к одному уравнению системы другого, умноженное на число, не равное нулю.

Определение. Система называется совместной, если она

имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Определение. Система называется совместно-

определенной, если она имеет единственное решение, и со- вместно-неопределенной, если решений множество.

Итак, разделив первое уравнение системы (3.1) на а11, получим систему (3.2):

					х			+а′		х	2	+ а′		х		+а′		х	4		= b′
						1			12		2		13	3			14		4			1
			a21 x1 + a22 x2 +a23 x3 + a24 x4																			= b2	(3.2)
			a		31	x			+a	32	x	2	+a	33	x	3	+a	34		x	4	= b	(3.2)
					31	1				32		2		33		3		34			4	3
			a		41	x			+a	42	x	2	+a	43	x	3	+a	44		x	4	= b
					41	1				42		2		43		3		44			4	4
где aij′ =	aij		b1′ =		b
	aij				b
		,			1		,		j =1,4 .
	a11	,					,		j =1,4 .
	a11			a11

2. Исключим из всех уравнений, начиная со второго, переменную х1. Для этого умножим первое уравнение системы (3.2) на (−а21) и сложим со вторым уравнением той же системы. Аналогично поступим с третьим и четвертым уравнениями. Получим систему (3.3), равносильную системе (3.2).

х +а′

+а′

+ а′

= b′

b22 x2 +b23 x3 +b24 x4

= b2′

(3.3)

b32 x2 +b33 x3 +b34 x4

= b3′

b42 x2 +b43 x3 +b44 x4

= b4′

где b2j = a'1j (−a21) + a2j,

j =

;

2,4

b3j = a'1j (−a31) + a3j ;

b4j = a'1j (−a41) + a4j.

3. К уравнениям системы (3.3), начиная со второго, применим п. 1. Среди уравнений вновь выберем то, у которого коэффициент при х2 был бы равен единице. Если такого уравнения нет, то разделим обе части любого уравнения, например второго, на b22, считая b22 ≠ 0, получим:

+а′

+ а′

= b′

′

′′

x2 +b23 x3

+b24 x4

= b2

(3.4)

b32 x2 +b33 x3

+b34 x4

= b3′

b42 x2 +b43 x3

+b44 x4

= b4′

где

b2′j =

b2 j

, j =

2,4

b22

В третьем и четвертом уравнениях системы (3.4) исключим переменную х2. Для этого второе уравнение умножим на (−b32) и сложим с третьим. Аналогично второе уравнение умножим на (−b42) и сложим с четвертым. Получим равносильную систему

(3.5).

х +

а′

+а′

= b′

′

′′

x2 +b23 x3

+b24 x4

= b2

(3.5)

′

′′

b33 x3

+b34 x4

= b3

′

′′

b43 x3

+b44 x4

= b4

где b'3j = b'2j (−b32) + b'3j,

j =

;

3,4

b'4j = b'2j (−b42) + b'4j,

j =

3,4

Разделим обе части третьего уравнения системы (3.5) на b'33,

тем самым создадим при переменной х3

коэффициент, равный

единице:

а′

+а′

= b′

′

′′

x2 +b23 x3

+b24 x4

= b2

(3.6)

′′

′′′

x3 +b34 x4

= b3

′

′′

b3′j

b43 x3

+b44 x4

= b4

′′

′′′

b′′

где

j = 3,4 .

′

b3 j

b3 =

b33

Исключим переменную х3 в последнем уравнении системы (3.6), для чего умножим третье уравнение системы на (−b'43) и сложим с четвертым уравнением системы.

+а′

= b′

′

′′

x2 +b23 x3

+b24 x4

= b2

(3.7)

′′

′′′

x3 +b34 x4

= b3

′′

′′′

b44 x4

= b4

′′	′′	′	′	;
где b44	= b34	(−b43 )+b44		;
′′′	′′′	′	′′
b4	=b3	(−b43 )+b4 .

На этом прямой ход решения системы методом Гаусса может быть закончен. Про систему (3.7) говорят, что она приведена к треугольному виду.

Обратный ход решений состоит в последовательном нахождении значений переменных, двигаясь снизу вверх от последнего уравнения системы к первому.

Решая исходную систему (3.1) методом Гаусса, в прямом ходе возможны следующие случаи:

−если в результате элементарных преобразований уравнений системы мы получим уравнение вида 0 = const, что невозможно, то исходная система несовместна, т.е. решений не имеет;

−если в результате элементарных преобразований получается верное числовое равенство типа 0 ≡ 0, то система будет содержать число уравнений меньше числа неизвестных. Про такую систему говорят, что она приведена к виду трапеции и будет иметь множество решений. Для их нахождения необходимо выбрать базисные неизвестные по числу уравнений в системе и оставить их в левой части, остальные переменные считаются свободными. Они переносятся в правую часть и считаются величинами постоянными;

−если в результате элементарных преобразований системы (3.1) она будет приведена в треугольному виду, то она имеет единственное решение.

Пример 1. Решить систему методом Гаусса.

х1 −3х2 −6х3 +5х4 = 02х1 + х2 +4х3 −2х4 =15х1 − х2 +2х3 + х4 = 7

В первом уравнении системы коэффициент при переменной х1 равен единице. Оставим это уравнение, а во втором и третьем

исключим переменную х1. Для этого сначала умножим первое уравнение на (−2) и сложим со вторым, а затем первое уравнение умножим на (−5) и сложим с последним. Получим равносильную систему, имеющую вид:

х		−3х	2	−6х	3	+5х	4	= 0
	1
		7х2 +16х3 −12х4 =1 .
	14х2 +32х3 −24х4							= 7

Исключим переменную				х2 в последнем уравнении системы.

Для этого второе уравнение умножим на (−2) и сложим с третьим:

х		−3х	−6х	+5х = 0
	1	2	3	4
		7х2 +16х3 −12х4 =1.
				0 = 5
				0 = 5

Последнее равенство невозможно. Следовательно, система решений не имеет или несовместна.

Ответ: Ø.

Пример 2. Решить систему методом Гаусса.

х+2 у+ z = 43х−5y +3z =1.

2х+7 y − z =8

Исключим переменную х в уравнениях системы ниже пер-

вого:

х + 2 у + z = 4
	−11y = −11.

	3y −3z = 0

Поменяем два последних уравнения местами и переменные у и z. Система становится приведенной к треугольному виду:

х + z + 2 y = 4
	−3z +3y = 0 .

	−11y = −11

Находим значение переменной у из последнего уравнения системы и подставляем в предыдущие:

y =1z =1.

x =1

Система имеет единственное решение.

Ответ: (1; 1; 1).

Лекция № 4. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ВМАТРИЧНОЙ ФОРМЕ

4.1.МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Определение. Матрицей называется прямоугольная

таблица, элементами которой являются действительные числа.

Размерность матрицы определяется по количеству строк и столбцов. Если матрица содержит m строк и n столбцов, то говорят, что ее размерность m × n. Обозначаются матрицы заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т.д.

	а	а	K а
	11	12	1n
a21		a22	K a2n
А=			.
	K	K	K K
		am2
am1		am2	K amn m ×n

Определение. Величины, из которых составлена мат-

рица, называются ее элементами.

Они обозначаются строчными буквами − аmn, bmn и так далее, где m − индекс строки; n − индекс столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Определение. Если количество строк и столбцов мат-

рицы равны, то она называется квадратной.

Определение. Две матрицы А и В одной размерности

называются равными, если равны их элементы с одинаковыми индексами:

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>