Операции над матрицами

Пример 5. Для матрицы

вычислить А−1.

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Технический Университет

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Элементы линейной алгебры 2006.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

567.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Аm× n = Вm× n аik = bik, i = 1;m , k = 1;n .

Определение. Симметричной матрицей называется

квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Определение. Диагональной матрицей называется

квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме тех, которые расположены на главной диагонали.

Определение. Единичной матрицей называется диаго-

нальная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице.

Единичная матрица обозначается Е.

Определение. Нулевой матрицей называется матрица с

нулевыми элементами.								1	0	0
	0 0		1 0					1	0	0
	0 0		1 0
		;				Е3×3	=	0	1	0 .
0 =		;	Е2×2 =	;		Е3×3	=	0	1	0 .
	0 0 2×2		0 1					0	0	1
								0	0	1
		Операции над матрицами
1. Сложение
Рассмотрим две матрицы одной размерности:
Аm× n = (аik)			Вm× n = (bik)		i =			k =
Аm× n = (аik)			Вm× n = (bik)		i =	1;m		k =		1;n

Определение. Суммой матриц одной размерности А+В

называется матрица с той же размерностью, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.


Аm× n + Вm× n = Сm× n								сik = аik + bik				i = 1;m				k = 1;n .
Пример 1. Найти А+В.
1		2			−1			−1 0 2
	0	3			5		;		3 5						;
А=	0	3			5		;	В =	3 5		−1				;
	1	−7 1							0 0 1
	1	−7 1				3×3			0 0 1				3×3
			1−1 2					+0 −1	+2			0		2 1
А+В = С =				0	+3 3			+5 5 −1				3	8		4
А+В = С =				0	+3 3			+5 5 −1		=		3	8		4	.
				1	+0 −7 +0 1+1							1	−7 2
				1	+0 −7 +0 1+1							1	−7 2			3×3

Свойства операции сложения:

1)коммутативный (переместительный) закон сложения

А+ В = В + А;

2)ассоциативный (сочетательный) закон сложения

(А+В) + С = А + (В + С);

3)для любой матрицы А существует нулевая матрица

А+ 0 = А;

4)для любой матрицы А существует противоположная

матрица (−А) той же размерности, такая что

А + (−А) = 0,

где элементы матрицы (−А) = −аik, противоположны соответствующим элементам матрица А.

2. Вычитание

Определение. Разностью двух матриц одной размерности А−В называется матрица с той же размерностью, эле-

менты которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В.

Аm× n − Вm× n = Сm× n ;

сik = аik − bik ,

где i =

1;m

, k =

1;n

−1 2 0

1 2 3

Пример 2.

А=

;

5 −3 1

В =

−5 6 10

−2

−3

А− В =С =

−9

3. Умножение матрицы

на число

Определение. Произведением матрицы Аm× n на число λ

называется матрица D той же размерности с элементами

								Dm× n = λ аik ,
где i =	1;m	,	k =		1;n	.
Таким образом,								чтобы матрицу		А	умножить на число λ,
нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число.
			2	−1				2 3 −1 3					6	−3
			1	0			;		1 3	0	3		3	0
	А=							3 А=				=			.
			3	8					3 3 8		3		9	24

Свойства операции умножения матрицы на число:

1)коммутативный закон

λА = А λ;

2)ассоциативный закон

(λ μ) А = λ (μ А);

3)дистрибутивный (распределительный) закон

λ(А + В) = λ А + λ В;

А(λ + μ) = λ А + μ А,

где λ, μ − const; A = Аm× n, B = Bm× n .
4. Произведение	матриц
Операция имеет место, когда число столбцов первой матри-
цы равно числу строк второй:
Аm× n Вn× k = Сm× k ;		Сm× k = сij .
Результатом является матрица, у которой число строк совпа-
дает с числом строк матрицы А		(первого множителя), а число
столбцов совпадает с числом столбцов матрицы В (второго мно-
жителя).	произведения матриц А и В −
Определение. Элемент

сij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.

		Пример 3. А2×3 В3×3 = С2×3 .						1	−2	1
				1	−1	2		1	−2	1
				1	−1	2
		Вычислить А В,	если				;	В = 3	4	−5	.
		Вычислить А В,	если	А =			;	В = 3	4	−5	.
				0	3	− 4			1	2
								0	1	2
				А В =
1 1 + (−1) 3 + 2 0 1 (−2) + (−1) 4 + 2 1 1 1 + (−1) (−5) + 2 2
=	0	1 + 3 3 + (−4) 0 0	(−2)	+ 3 4 +						=
	0	1 + 3 3 + (−4) 0 0	(−2)	+ 3 4 +	(−4) 1 0 1 + 3 (−5) + (−4) 2
			− 2	− 4	10
		=
		=		8	.
			9	8	− 23 2×3
		Операция умножения матриц не коммутативна (антикомму-

тативный закон) А В ≠ В А (см. пример 4). Коммутативный за-

кон выполняется только для единичных и обратных матриц

А Е = Е А ; А А−1 = А−1 А = Е,

где матрицы А и Е одной размерности.

1 2 1

Пример 4. Вычислить А В − В А, где А = 2 1 2 ;

1 2 3

	4	1	1
	−4	2	0
В =				.
	1	2	1

А В − В А =

1 4 + 2 (−4) +1 1 1 1 + 2 2 +1 2 1 1 + 2 0

+1 1

2 4 +1 (−4) + 2 1 2 1 +1 2

+ 2 2 2 1 +1 0

+ 2 1 −

1 4 + 2 (−4) +3 1 1 1 + 2 2

+3 2 1 1 + 2 0

+3 1

1 +1 2 +1 1

4 2 +1 1 +

1 2

4 1 +1

+1 3

−

(−4)

1 + 2 2 +0 1 (−4) 2 + 2 1

+0 2 (−4) 1 + 2

2 + 0 3

1 1 + 2 2 +1 1

1 2 + 2 1 +1 2

1 1 + 2

2 +1 3

−3 7 2

7 11 9

−10 −4 −7

6 8 4

0 −6 0

14 4

≠ 0 .

−

−1 11 4

6 6 8

−7

5 −4

4.2. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Определение. Матрица В называется обратной матри-

цей к матрице А, если

А В = В А = Е.

Обозначается В = А−1.

Понятие обратной матрицы справедливо только для квадрат-

ных невырожденных матриц (

≠ 0).

А−1

вычисляется по формуле

А−1 =

А*Т ,

где А* − присоединенная матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов аik матрицы А; А*Т − транспортированная матрица из предыдущей – элементы меняются местами симметрично относительно главной диагонали.

А = 3 + 2 – 2 – 1 – 6 + 2 = −2 ≠ 0;

А =					1 2					= 5		А = −						1 −1					= −2					А	=		1		−1		= 3;
А =					1 2					= 5		А = −						1 −1					= −2					А	=		1		−1		= 3;
11						−1		3					21				−1				3							31			1		2
						−1		3									−1				3										1		2
А		= −	2 2						= −8			А				=		1 −1					= 2					А	= −	1			−1			= −4;
А		= −	2 2						= −8			А				=		1 −1					= 2					А	= −	1			−1			= −4;
12					−1			3					22					−1			3							32		2			2
					−1			3										−1			3									2			2
А		=				2		1			= −1	А		= −			1				1	= 0						А	=			1 1		= −1;
А		=				2		1			= −1	А		= −			1				1	= 0						А	=			1 1		= −1;
13						−1		−1					23				−1				−1							33				2 1
						−1		−1									−1				−1											2 1
							5 − 2 3								− 5						1 −				3
А	−1	= −		1				−8 2				− 4			4					2	−1				2		2
А		= −		2				−8 2				− 4		=	4						−1				2			.
				2											1									1
								−1 0				−1			1				2		0			1		2
								−1 0				−1							2		0					2

Выполнить проверку самостоятельно: А А−1 = Е.

4.3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ

Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

				а11х1 + а12 х2 + а13 х3 = b1
				a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2								(4.1)
				a x			+ a x	2	+ a x		= b
					31	1	32	2	33	3	3
которую можно представить в виде произведения матриц
	а	а	а				А Х = В,					(4.2)
	а	а	а
	11	12	13
где А =	а21	а22	а23			составлена из коэффициентов при неиз-
	а	а	а
	31	32	33	3×3

вестных системы (4.1).

х1

Х = х2 − матрица-столбец переменных системы (4.1).

х3 3×1

В = b2 − матрица-столбец свободных членов системы (4.1).

b3 3×1

	Умножим обе части уравнения (4.2) на А−1, считая																												А ≠ 0.
											А−1 А Х = А−1 В ;
												Е3×3 Х = А−1 В ;
															Х = А−1 В .														(4.3)
	Формулу (4.3) называют решением системы (4.1) в матрич-
ной форме, оно выражается через произведение матриц:																												обратной
матрицы А−1				на матрицу-столбец свободных членов.
	Пример						6.	Решить систему линейных уравнений матрич-
ным методом.
	х1 + х2 − х3 = 2
	2x1 + x2 + 2x3 =1 А Х = В ;
	− x − x						+3x		= 3
		1			2			3
	1					1 −1										х				2
												Х				1		В =
где	А =	2				1		2	;			Х			=	х2	;	В =			1		.
		−1			−1 3											х					3
																3
	Решение системы имеет вид
					5					− 3					Х = А−1 В,
		−			5			1		− 3

где	А−1 =				4		2	−1				2		2		− нахождение ее элементов (см. в
				1				0				1
				1		2		0				1	2
						2							2
предыдущем примере).																			5					3
		− 5					1		− 3							2			5			2 +1 1 −		3			3
		− 5		2			1		− 3							2				2		2 +1 1 −			2		3
		4		2			−1		2		2							=		2					2				=
	Х =	4					−1		2							1		=	4 2				−1 1 + 2 3						=
		1					0		1							3			1					1
		1	2				0		1	2						3			1	2			2 +0 1 +	1		2
			2							2		3×3					3×1			2			2 +0 1 +			2	3 3×1

					−5 +1 −		9		−17
							2				2
				= 13			2	= 13			2	.
						0 + 3			5
				1 +		0 + 3	2		5	2
							2			2
	Используя определение равных матриц, имеем												х	= −17	2	,
		= 5											1		2
х2	= 13, х	= 5	2	.
	3		2

Ответ: (−17 2; 13; 5 2).

Лекция № 5. РАНГ МАТРИЦЫ.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ

5.1. РАНГ МАТРИЦЫ

Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований над ее элементами.

Под элементарными преобразованиями матрицы будем понимать следующие преобразования:

−замена строк столбцами, а столбцов − соответствующими строками (транспонирование). При транспонировании матрицы ее ранг не изменяется;

−перестановка строк (столбцов) матрицы;

−вычеркивание строки (столбца), все элементы которой нули;

−умножение какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля;

−прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на число, не равное нулю.

Полезно помнить следующие теоремы (приведем их без доказательства).

Теорема 1. Элементарные преобразования строк матрицы не изменяют ее столбцового ранга.

Теорема 2. Строчные и столбцовые ранги матрицы равны.

Теорема 3. Любую ненулевую матрицу с помощью элементарных преобразований строк (столбцов) можно при-

вести к ступенчатому виду (когда элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю).

Теорема 4. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк (столбцов).

Обозначается: r(A) – ранг матрицы А.

Определение. Матрицы А и В называются эквивалент-

ными, если их ранги равны.

Обозначение: А ~ В r(A) = r(В).

Правило 1. Для того чтобы найти ранг ненулевой

матрицы, нужно с помощью элементарных преобразований привести ее к ступенчатому виду и посчитать число ее ненулевых строк.

Этот способ применим для матриц большой размерности. Пример 1. Вычислить ранг матрицы А.


	4	2	3	2	4	3			1	9		8	1		9	8
	2	8		8	2				2	4		3		0	−14	−13
А =	2	8	−1	8	2	−1			2	4		3		0	−14	−13
	9	1		1	9	8			8	2				0	−70	−65
	9	1	8	1	9	8			8	2		−1		0	−70	−65
						1		9		8
							0	14		13
							0	14		13	.
							0	0		0
							0	0		0

r(A) = 2.

Рассмотрим второй способ вычисления ранга матрицы А. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А, отличные от нуля.

Определение. Рангом матрицы А называется наиболь-

ший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля.

Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг ее принимают равным нулю.

Правило 2. Находим отличный от нуля минор второго

порядка. Вычисляем миноры третьего порядка, огибающие данный минор второго порядка. Если все они равны нулю, то ранг равен двум. Если хотя бы один отличен от нуля, то вычисляем миноры четвертого порядка, огибающие отличный от нуля минор третьего порядка. И так далее.

Пример 2. Вычислить ранг матрицы А.

	1		2	−1	4	3
		2	4	3	− 2
А=						−1		.
		0	0	5	−3	2

		1	2	−11 17 8
							4×5

В верхнем правом углу минор второго порядка

М2 = − 2 −1 = −4 + 6 = 2 ≠ 0 .

	Вычислим огибающие его миноры третьего порядка
М3 =					−1		4	3
					−1		4	3
						3 − 2 −1			= 4 − 27 − 20 +30 − 24 +3 = −71 +37 ≠ 0 .
					5		−3	2
	Вычислим огибающие его миноры четвертого порядка. Их
						2	−1	4		3							1		−1		4			3
два:	М4′ =					4	3	−2		−1				и	М4′′ =		2		3		− 2			−1	.
						0	5	−3		2							0		5		−3			2
						2	−11	17		8							1		−11		17			8
	Вычислим М4′ и										М4′′,				используя свойства									8 и 9 опреде-
лителей:					−1
		2					4	3							5	−10			−7				5	−10		−7


		0		5			−10 −7
М4′ =		0		5			−10 −7			= 2				5		−3			2	= 2			0 7			9	= 0
		0		5			−3	2						−10		13			5				0	−7		−9
		0		−10			13	5						−10		13			5				0	−7		−9
		0		−10			13	5
			1			−1	4	3				1		−1		4			3			5		−10		−7


			2 3 − 2 −1									0 5				−10 −7
М4′′ =			2 3 − 2 −1							=		0 5				−10 −7					=	5		−3		2		=
			0 5				−3 2					0 5				−3			2			−10 13				5
			1		−11		17	8				0		−10		13			5
			1		−11		17	8				0		−10		13			5
								=			5		−10			−7		= 0 .
											5		−10			−7
											0		7			9
											0			−7		−9

Так как существует минор третьего порядка, отличный от нуля, а все огибающие его миноры четвертого порядка равны ну-

лю, то r(A) = 3.

5.2.ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему уравнений
а х			+ а х	2	+ а х		= b
	11	1	12	2	13	3	1
a21x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2								(5.1)
a x			+ a x		+ a x		= b
	31	1	32	2	33	3	3

Теорема. Система линейных алгебраических уравнений

совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы (5.1) равен рангу расширенной матрицы системы:

	− если		r(A) = r(В) и равен числу неизвестных системы,
то система совместно-определенная;
	− если r(A) = r(В), но меньше, чем число неизвестных
системы, то система совместно-неопределенная;
	− если r(A) ≠ r(В), то система несовместная,
		а		а	а
		11		12	13
где	А =	а21		а22	а23	− матрица системы;
		а		а	а
		31		32	33
		а		а	а	b
		11		12	13	1
	В =	а21	а22		а23	b2	− расширенная матрица системы.
		а	а		а	b
		31		32	33	3
	Пример			3.	Исследовать совместность системы и найти ее
решения.
	х	+3х	2	+5х +5х = 5
	1		2		3	4
	2x1 +5x2 +8x3 +9х4 = 9
	х	+ 2x		+3x + 4х			= 4
	1		2		3	4

Выпишем расширенную матрицу системы, найдем ее ранг по правилу 1 и одновременно ранг матрицы системы уравнений:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>