Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Пусть бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда +.

Рис. 3

Из свойств симметрии заряженной плоскости следует, что вектор напряженности электрического поля, созданного этой плоскостью, всюду перпендикулярен ей.

В симметричных точках этого поля вектор равен по модулю и противоположен по направлению. В связи с этим в качестве замкнутой поверхности можно выбрать цилиндрическую (рис. 3). Полный поток вектора пронизывающий

Ф_е = 2ЕS.

Согласно теореме Гаусса

,

где

.

Таким образом,

или

, (13)

где Е_n  проекция вектора на нормаль (  , рис. 3).

Если   0, то Е_n  0, т. е. вектор направлен от заряженной плоскости (линии напряженности начинаются на положительных зарядах).

Если   0, то Е_n  0, т. е. вектор форме направлен к заряженной плоскости (линии напряженности оканчиваются на отрицательных зарядах).

Согласно (13) напряженность электростатического поля, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью, не зависит от расстояния до нее, а поле является однородным справа и слева от плоскости.

Уравнения Пуассона и Лапласа

Общая задача электростатики заключается в том, что если неизвестно распределение зарядов, но известны потенциалы проводников, их относительное расположение и форма, то можно определить потенциал в любой точке электростатического поля между проводниками. Зная потенциал , можно найти напряженность поля , что даст возможность указать распределение поверхностных зарядов проводников.

Для нахождения дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция   потенциал, воспользуемся дифференциальной формой теоремы гаусса.

Решив совместно эти уравнения, получим общее дифференциальное уравнение Пуассона  уравнение для потенциала в виде

, (2)

где ²  оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается в виде .

При отсутствии зарядов между проводниками уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа, т. е.

² = 0. (3)

Уравнения Пуассона и Лапласа позволяют решить общую задачу электростатики, решение которой является единственным (теорема единственности

2. Ток смещения. Уравнения Максвелла в интегральной форме

Ток смещения

 Если замкнуть ключ (рис. 6.1), то лампа при постоянном токе гореть не будет: емкость C – разрывает цепь постоянного тока. Но вот в моменты включения лампа будет вспыхивать.

Рис. 7.1

      При переменном токе – лампа горит, но в то же время нам ясно, что электроны из одной обкладки в другую не переходят – между ними изолятор (или вакуум). А вот если бы взять прибор, измеряющий магнитное поле, то в промежутке между обкладками мы обнаружили бы магнитное поле (рис. 7.2).

Рис. 7.2

      Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение ток смещения. Этот термин имеет смысл в таких веществах, как, например, диэлектрики. Там смещаются заряды под действием электрического поля. Но в вакууме зарядов нет – там смещаться нечему, а магнитное поле есть. То есть название Максвелла «ток смещения» – не совсем удачное, но смысл, вкладываемый в него Максвеллом, – правильный.

      Максвелл сделал вывод: всякое переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле.

      Токи проводимости в проводнике замыкаются токами смещения в диэлектрике или в вакууме. Переменное электрическое поле в конденсаторе создает такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток проводимости, имеющий величину, равную току в металлическом проводнике.

      Это утверждение позволяет (на базе нашего примера с конденсатором) найти величину тока смещения. В свое время мы с вами доказали, что поверхностная плотность поляризационных зарядов σ равна   – вектору электрического смещения:

    

,

(7.2.2)

      Полный заряд на поверхности диэлектрика и, следовательно, на обкладках конденсатора    (S – площадь обкладки)

      Тогда

,

(7.2.3)

т.е. ток смещения пропорционален скорости изменения вектора электрического смещения   . Поэтому он и получил такое название – ток смещения.

      Плотность тока смещения

,

(7.2.4)

      Вихревое магнитное поле (   ) образующееся при протекании тока смещении, связано с направлением вектора    правилом правого винта (рис. 7.2).

      Из чего складывается ток смещения?

      Из раздела «Электростатика и постоянный ток» (п. 4.3), известно, что относительная диэлектрическая проницаемость среды    где χ – диэлектрическая восприимчивость среды. Тогда

  или 

Отсюда видно, что    – вектор поляризации. Следовательно

,

(7.2.5)

В этой формуле    – плотность тока смещения в вакууме;    – плотность тока поляризации, т.е. плотность тока, обусловленная перемещением зарядов в диэлектрике.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Закон Гаусса - - Поток электрической индукции через замкнутую поверхность   пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме  , который окружает поверхность  .

Закон Гаусса для магнитного поля - - Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).

Закон индукции Фарадея -   - Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность s, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре l, который является границей поверхности s.

Теорема о циркуляции магнитного поля -   - Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность   пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре  , который является границей поверхности  .

•  — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём  , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур  ).

•  — электрический заряд, заключённый в объёме  , ограниченном поверхностью   (в единицах СИ — Кл);

•  — электрический ток, проходящий через поверхность   (в единицах СИ — А).

Билет №16

1. Диэлектрический диполь. Энергия диполя