После интегрирования получим

(5)

или при наличии диэлектрика , (6)

когда окружающая шар диэлектрическая среда характеризуется диэлектрической проницаемостью . После подстановки вместо потенциала его значение [формула (6)] в (5) имеем

С = 4_оR. (7)

Следовательно, емкость проводника зависит только от размеров и формы, диэлектрической проницаемости окружающей среды и наличия вблизи других проводников. В СИ емкость измеряют в фарад: (1 мкФ = 10^6 Ф;

1 пФ = 10^12 Ф). Например, электроемкость Земного шара,  С  0,7 мкФ.

Конденсаторы

Рис. 9

Если вблизи заряженного проводника находятся другие проводники, то емкость его будет увеличиваться, так как электрическое поле вызывает появление на других проводниках индуцированных зарядов. Например, если заряд проводника положительный, то отрицательные индуцированные заряды на других телах располагаются ближе к проводнику, что приведет к уменьшению потенциала данного проводника, а емкость увеличится. Систему двух разноименно заряженных плоскостей (обкладок) называют плоским конденсатором (рис.9).

Их заряды равны по абсолютной величине (+q=q= q).

Найдем емкость сферического конденсатора, который представляет собой систему двух концентрических сфер с общим центром. Пусть радиусы внешней и внутренней сфер (обкладок) соответственно равны R₂ и R₁ (рис. 10). Если внутренняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а внешняя  отрицательно, то электрическое поле создается вне сферы. Поэтому результирующее поле вне конденсатора равно нулю. В пространстве между обкладками поле создается только зарядом внутренней обкладки.

Применяя теорему Гаусса, найдем напряженность поля между сферическими обкладками конденсатора по формуле

, где q  заряд конденсатора.

Используя последнее выражение где = dr, найдем разность потенциалов между обкладками сферического конденсатора:

.

Рис. 11

Cледовательно, емкость сферического конденсатора, с учетом того, что пространство между обкладками заполнено диэлектрической средой с проницаемостью : . (12)

Найдем емкость цилиндрического конденсатора, представляющего собой систему двух цилиндров, вставленных один в другой с общей осью.

Проводя аналогичные рассуждения, как и в случае со сферическим конденсатором, получим

, (13)

где h  высота образующей цилиндрического конденсатора;   диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками цилиндрического конденсатора; _о  электрическая постоянная; R₂ и R₁  радиусы основания внешней и внутренней его цилиндрических обкладок (рис. 11).

2. Работа перемещения контура с током в магнитном поле

Рис. 6.26

В однородном магнитном поле работа, совершаемая силой Ампера (рис. 6.26),

А = IDФ_м,

где DФ_м =BDS.

В неоднородном магнитном поле элементарная работа A, совершаемая силой Ампера:

Рис. 6.27

.

- магнитный поток, пронизывающий эту площадку (рис. 6.27).

Билет №12

1. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений в батарею(найти!!!). Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение конденсаторов

Рис. 12

Все внутренние обкладки при последовательном соединении электризуются через влияние. Их заряды равны

по величине, но противоположны по знаку (+q=q = q; рис. 12).

Следовательно, заряды на всех конденсаторах при последовательном их соединении равны, а потенциалы складываются,

т. е.

 = ₁ ₂ = ₁ + ₂ + ... + _n,

Но ,

где .

Следовательно, . (17)

Параллельное соединение конденсаторов

Рис. 13

При параллельном соединении все конденсаторы имеют постоянную разность потенциалов

₁  ₂ = сonst. Полный заряд батареи конденсаторов (рис. 1.31): q = q₁ + q₂ +...+ q_n

По определению емкость батареи конденсаторов ,

где .

Следовательно,

С = С₁ + С₂ + ... + С_n. (18)

2. Явление самоиндукции. Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции.

При изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в нем возникает индукционный ток. Наличие индукционного тока i вызвано появлением в контуре ЭДС индукции _i. При этом ЭДС индукции не зависит от того, каким образом происходит изменение магнитного потока, а определяется лишь скоростью его изменения . Закон электромагнитной индукции записывают в виде

_i= , (1)

Индукционный ток имеет такое направление, что созданное им магнитное поле противодействует причине, его вызывающей.

Индукционный ток в контуре создает собственное магнитное поле, которое препятствует изменению внешнего магнитного потока, вызывающего ЭДС индукции.

Индуктивность

Если в контуре существует ток, то полный магнитный поток, возникшего магнитного поля сквозь собственный контур, прямо пропорционален силе этого тока

(3.82)

где L  индуктивность контура.

В соответствии с принятым правилом знаков магнитный поток и сила тока всегда имеют одинаковые знаки, поэтому L > 0.

Рассмотрим, от чего зависит индуктивность на примере соленоида. Если по виткам соленоида течет ток I, то индукцию магнитного поля в центре его на оси можно найти по формуле

(3.83)

где   магнитная проницаемость вещества внутри соленоида; n  число витков на единицу его длины; ₀  магнитная постоянная.

Магнитный поток сквозь один виток соленоида с учетом индукции магнитного поля

Ф₁ = _оnIS, (3.84)

где S  площадь одного витка.

Полный магнитный поток, пронизывающий N = n витков,

Ф = NФ₁= n _оnIS= _о n²IV, (3.85)

где V = S  объем соленоида.

С учетом формулы (3.83) индуктивность соленоида

L = _оn²V. (3.86)

Таким образом, индуктивность контура зависит от магнитной проницаемости среды, числа витков на единицу длины в квадрате, размеров и формы контура и от наличия вблизи других контуров.

В СИ индуктивность измеряется в генри (Гн).

Явление самоиндукции Если в контуре течет изменяющийся во времени электрический ток, то созданное им переменное магнитное поле вызывает изменение магнитного потока сквозь этот контур и возбуждается ЭДС самоиндукции.

Явление возникновения ЭДС индукции при изменении тока в контуре называют самоиндукцией.

Согласно закону электромагнитной индукции имеем _S ,

где L = const;  скорость изменения тока в контуре.

Знак «» показывает, что ЭДС самоиндукции _S направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока в контуре (согласно правилу Ленца).

Билет №13

1. Энергия и плотность энергии электрического поля. Энергия заряженного конденсатора.

Энергия электрического поля

Для нахождения энергии мы использовали только заряды и потенциалы. Основной характеристикой электрического поля является вектор напряженности . Тогда энергию электрического поля между обкладками плоского конденсатора можно найти, преобразуя формулу (23) с учетом того, что  = Еd; .

После подстановки получим

. (26)

С учетом диэлектрика между обкладками конденсатора

. (27)

Известно, что электрическое поле является частным случаем электромагнитного поля, которое может существовать отдельно от источников поля, т.е. распространение электромагнитных волн в пространстве связано с переносом энергии.

Следовательно, электростатическое поле имеет энергию, распределенную в нем с объемной плотностью w_эл.

В случае однородного электрического поля

.

Если электрическое поле неоднородно, то

, (28)

где .

В этом случае объемная плотность энергии электрического поля

. (29)

Следовательно, полная энергия электрического поля

. (30)

Таким образом, в отличие от гравитационного поля электростатическое (электромагнитное) поле характеризуется объемной плотностью энергии, и можно говорить о локализации электрической энергии в пространстве.