1. Теорема Гаусса в интегральной форме

Рис. 1

Электрическое поле обладает важным свойством: потоком вектора напряженности (потоком вектора ). Для наглядности воспользуемся геометрической картиной описания электрического поля: число силовых линий напряженности равно напряженности электрического поля. Часть силовых линий будет пронизывать элементарную площадку dS, вектор нормали которой составляет угол  с вектором (рис. 1).

Потоком вектора напряженности электрического поля называют интеграл по поверхности от скалярного произведения векторов и dS .

(1)

Элементарный поток вектора напряженности электростатического поля

, (2)

где Е_n  проекция вектора на нормаль .

В замкнутых поверхностях вектор нормали направлен наружу (внешняя нормаль), охватываемой этой поверхностью.

Замечание: понятие потока относится к любому векторному полю.

Рис. 2

Для того чтобы найти поток вектора , окружим точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 2).

По определению поток вектора

(3)

где  телесный угол, опирающийся на элемент dS поверхности S, с вершиной в точке расположения заряда q;  напряженность электрического поля точечного заряда.

Интегрирование (3) по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу  = 4. Следовательно, после интегрирования

. (4)

Если замкнутая поверхность охватывает систему точечных зарядов (как положительных, так и отрицательных) q_1, q_2, ... , q_n, то согласно принципу суперпозиции напряженность результирующего поля

,

где Е_i  напряженность электрического поля i го точечного заряда.

Полный поток вектора напряженности, созданного системой зарядов, запишем в виде

(5)

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, пропорционален алгебраической сумме зарядов.

Если заряды q₁, q₂, ... , q_n находятся вне замкнутой поверхности, то полный поток вектора через эту поверхность равен нулю.

Замечание: напряженность электрического поля зависит от расположения всех зарядов в замкнутой поверхности, а поток вектора останется неизменным.

2. Теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Используя формулу объемной плотности заряда, имеем

, (6)

где   среднее значение объемной плотности заряда в объеме V.

Значение q из (6) подставим в (2), предварительно разделив правую и левую части его на объем V:

. (7)

При стягивании объема V в интересующей нас точке поля к нулю (V 0) средняя объемная плотность заряда  будет стремиться к истинному значению  в данной точке электрического поля, т. е. отношение в левой части (7) будет стремиться к .

Величина, являющая пределом отношения к V при V 0, называется дивергенцией поля .

Дивергенцию поля обозначают символом diV , т. е. по определению

. (8)

Согласно (8) дивергенция является скалярной функцией координат.

Для нахождения отношения потока вектора к объему V берут бесконечно малый объем dV и определяют поток вектора , пронизывающий произвольную замкнутую поверхность, охватывающий объем dV.

В декартовой системе координат

. (9)

Таким образом, при V 0 в формуле (8) его левая часть стремится к diV , а правая  к .

Следовательно, . (10)

Формула (10) выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Запись формул и действия с ними упрощаются при введении векторного дифференциального оператора

, (11)

где  единичные векторы осей Х, У, Z соответственно.

Векторный дифференциальный оператор приобретает вполне определенный смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается, т. е. теорему Гаусса в дифференциальной форме

= (12)

Теорема Гаусса является локальной, т. е. дивергенция поля в заданной точке этого поля зависит только от объемной плотности электрического заряда.

2. Циркуляция вектора (J). Циркуляция вектора (Н)

Циркуляция вектора

Теорема: В стационарном состоянии циркуляция намагниченности по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов намагничивания I^*, охватываемых этим контуром, т. е.

. (4.53)

Натянем на контур L произвольную поверхность S (рис. 4.15).

Из рисунка видно, что одни молекулярные токи пересекают поверхность S дважды в разных направлениях, поэтому не вносят вклада в результирующий ток намагничивания через эту поверхность.

Другие молекулярные токи пересекают поверхность S только один раз, поэтому и создают макроскопический ток намагничивания, пронизывающий эту поверхность.

Рис. 4.15

Пусть элементарная площадь S_мол охватывает каждый молекулярный ток I_мол.

Элемент d контура L (рис. 4.16) обвивают те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь цилиндра с объемом dV= S_молсos d , где   угол между направлением вектора и элементом .

Рис. 4.16

Эти молекулярные токи пересекают поверхность S только один раз и вносят вклад в ток намагничивания

dI^* = I_молndV

или

dI^* = I_молnS_молсosd = Jсos = ,

где n₀  концентрация молекул;

р_m = I_молS_мол 

магнитный момент отдельного молекулярного тока; nI_молS_мол  магнитный момент единицы объема вещества.

После интегрирования по всему контуру L последнего выражения, получим формулу (4.53).

Поле вектора зависит от всех токов, как от тока намагничивания I^*, так и от тока проводимости I.

Циркуляция вектора

При внесении вещества в магнитное поле возникают токи намагничивания, поэтому циркуляция вектора будет определяться не только токами проводимости I, но и токами намагничивания I^*, т. е.

Подставим формулу тока намагничивания и получим:

 напряженность магнитного поля.

Эта формула выражает теорему о циркуляции вектора : циркуляция вектора по произвольному контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Следовательно,

интегральная запись

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора записывается в виде

дифференциальная запись

Билет №15

1. Применение теоремы Гаусса. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости. Уравнения Пуассона и Лапласа

Применение теоремы Гаусса.