§ 19. Магнитное поле

Вектор магнитной индукции. Принцип суперпозиции. Закон Био-Савара-Лапласа. Расчеты магнитных полей простейших систем. Сила Лоренца. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Эффект Холла. Сила Ампера. Виток с током в магнит­ном поле. Рамка с током в однородном магнитном поле. Момент сил, действующих на рамку с током. Магнитный поток. Работа по перемеще­нию проводника с током в магнитном поле.

Основные формулы

• Закон Био-Савара-Лапласа

где - магнитная индукция поля, создаваемая элементом проводника с током;- магнитная проницаемость;₀- магнитная постоянная (₀=410^-7Гн/м = 12,56610^-7Гн/м);- вектор, равный по модулю длине проводника;- сила тока;- радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция.

Модуль вектора выражается формулой:

где - угол между векторамии.

• Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

где R - радиус кривизны проводника.

• Магнитная индукция поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником,

где r - расстояние от оси проводника до точки, где определяется индукция.

• Магнитная индукция поля на оси кругового тока

где R- радиус кругового контура с током ;h- расстояние от точки, в которой находится магнитная индукция, до плоскости контура.

• Магнитная индукция поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида

где n- число витков на единицу длины соленоида (тороида); - сила тока в одном витке.

• Магнитная индукция поля на оси соленоида конечной длины:

где ₁ и ₂ - углы между осью соленоида и радиус-векторами, проведенными из рассматриваемой точки к концам соленоида.

• Магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукцийскладывающихся полей (принцип суперпозиции):

• Магнитный поток сквозь контур

где S- площадь поперечного сечения контура,- угол между нормалью к плоскости контура и направлением магнитного поля.

• На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера

где - сила тока;- вектор, равный по модулю длинепроводника;- магнитная индукция поля.

Модуль вектора определяется выражением

,

где - угол между векторамии.

• Два параллельных бесконечно длинных прямолинейных проводника с токами и взаимодействуют между собой с силой:

,

где - длина участка проводников;d- расстояние между ними.

• Магнитный момент контура с током:

где - вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

• На контур с током в магнитном поле действует механический момент:

где модуль момента равен:

М = P­­­­_mB sin,

где  - угол между векторами и.

• Работа перемещения проводника с током в магнитном поле:

dA=Id,

где d- магнитный поток.

• Сила, действующая на заряд , движущийся со скоростьюв магнитном поле с индукцией, определяется формулой Лоренца:

, или F= ||B sin,

где - угол между вектором скоростидвижения частиц и вектором.

• При протекании тока Iвдоль проводящей пластины, помещенной перпендикулярно к магнитному полю, возникает поперечная разность потенциалов:

,

где a- толщина пластины,В- индукция магнитного поля,- постоянная Холла, обратная концентрацииnносителей тока и их зарядуе.

Зная постоянную Холла Rи удельную проводимость материала,

,

можно найти подвижность носителей тока u.

Семестровые задания

19.1. По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного шестиугольника со стороной а = 10 см, течёт ток силой I= 20 А. Определить магнитную индук-цию В в центре шестиугольника.

19.2. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитную индукцию В на оси соленоида, если по проводу течет ток силой I = 0,5 А.

19.3. По контуру в виде равностороннего треугольника течет ток силой I = 50А. Сторона треугольника а = 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

19.4. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоящей на 2 см от бесконечно длинного проводника, по которому течет ток в 5 А.

19.5. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам текут токи I₁ = I₂ = 5 А в про-тивоположных направлениях. Найти величину и направление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника.

19.6. Ток в 20 А течет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см.

19.7. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга. По виткам текут токи I₁ = I₂ =4 А. Найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков. Задачу решить для случаев: 1.Токи в витках текут в одном направлении; 2. Токи текут в противоположных направлениях.

19.8. По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами a = 8 см, и b = 12 см, течет ток силой I = 50 А. Определить магнитную индукцию В магнитного поля в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

19.9. Катушка длиной 30 см состоит из 1000 витков. Найти напряженность магнитного поля внутри катушки, если ток, проходящий по катушке, равен 2 А. Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной.

19.10.По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом =120⁰, проходит ток I = 50 А. Найти магнитную индукцию B поля в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от его вершины на расстояние r = 50 мм.

19.11. Протон и - частица, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус R₁кривизны траектории протона больше радиуса R₂кривизны траектории- частицы.

19.12. Заряженная частица с кинетической энергией Т=2 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 4мм. Определить силу Лоренца, действующую на частицу со стороны поля?

19.13. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл под углом к направлению линий индукции. Определить силу Лоренца, если скорость частицым/с.

19.14. В однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл поступательно и равномерно движется проводник длиной = 4 см со скоростью= 2 м/с. Век-тор скорости направлен под углом = 30⁰ к вектору индукции. Проводник при своем движении остается перпендикулярным направлению поля. Найдите разность потенциалов на концах проводника.

19.15. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл. Определить момент импульса, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если траектория ее представляла дугу окружности радиусом 0,5 мм.

19.16.Электрон движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Определить силу F, действующую на электрон со стороны поля, если индукция поля В = 0,2 Тл, а радиус кривизны траектории R=0,2 см.

19.17. Электрон движется в магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл по окруж-ности радиусом = 0,8 см. Какова кинетическая энергия Т электрона.

19.18.В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл помещен прямой проводник длиной = 20 см (подводящие провода находятся вне поля). Опре-делить силу F , действующую на проводник, если по нему течет ток силой I = =5А, а угол между направлением тока и вектором магнитной индукции равен 30⁰.

19.19. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл, движется по окружности. Определить радиус этой окружности.

19.20. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить радиус дуантов циклотрона при индукции магнитного поля В = 1 Тл.

19.21.Средний диаметр железного кольца 15 см. Площадь сечения кольца 7 см². На кольцо навито 500 витков провода. Определить: а) магнитный поток в сердечнике при токе 0,6 А; б) величину тока, при которой магнитный поток в кольце равен 8,4 10^-4 Вб.

19.22. Плоский контур площадью S = 20 см² находится в однородном маг-нитном поле с индукцией В = 0,03 Тл. Определить магнитный поток Ф, прони-зывающий контур, если плоскость его составляет угол  = 60⁰ с направлением линий индукции.

19.23. На длинный картонный каркас диаметром d₁ = 5 см уложена однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром d₂ = 0,2 мм. Определить маг-нитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока I = 0,5 А.

19.24. Какой магнитный поток создает катушка из 1000 витков, имеющая ин-дуктивность L = 5 Гн, если по катушке течет ток I = 0,6 А?

19.25. В однородное магнитное поле напряженностью Н=50 кА/м помещена квадратная рамка со стороной а = 12 см. Плоскость рамки составляет с направ-лением магнитного поля угол . Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.

19.26. В одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводом с током I= =50 А расположена квадратная рамка, две стороны которой параллельны проводу. Сторона рамки а = 5 см. Расстояние d от провода до ближайшей стороны рамки равно 5 см. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.

19.27.Виток R = 20 см, по которому течет ток силой I = 50 А, свободно устано-вился в однородном магнитном поле напряженностью Н = 10³ А/м. Виток по-вернули относительно диаметра на угол  = 30⁰. Определить совершенную работу.

19.28.Прямой провод длиной = 40 см, по которому течет ток силой I = 100 А, движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл. Какую работу А совершат силы, действующие на провод со стороны поля, переместив его на расстояние L = 40 см, если направление перемещения перпендикулярно линиям индукции и проводу?

19.29.Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока I = 60 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 20 мТл). Диаметр витка D = =10 см. Какую работу А нужно совершить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол  = /3?

19.30.Плоский контур с током силой I=5 А свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,4 Тл. Площадь контура S = 200 см². Под-держивая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол  = 40⁰. Определить совершенную при этом работу.

19.31. В средней части соленоида, содержащего n = 8 витков/см помещен круго-вой виток диаметром d = 4 см. Плоскость витка расположена под углом 60⁰ к оси соленоида. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток силой I = 1 А.

19.32. Поток магнитной индукции через площадь поперечного сечения соленоида (без сердечника) Ф = 5 мкВб. Длина соленоида l = 25 см. Определить магнитный момент этого соленоида.

19.33. Магнитный поток через сечение соленоида равен 50 мкВб. Длина соленоида l=0,5 м. Определить магнитный момент соленоида, если его витки плотно прилегают друг к другу.

19.34. Протон движется по окружности радиусом =0,5 см с линейной ско-ростью= l0⁶ м/c. Определить магнитный момент , создаваемый эквива-лентным кру­говым током.

19.35. Рамка с током I=5 А содержит 20 витков тонкого провода. Определить магнитный момент рамки с током, если ее площадь S=10 см².

19.36. Круглая рамка с током площадью S=20 см²закреплена параллельно магнитному полю В=0,2 Тл. На рамку действует вращающий момент 0,6 мН·м. Рамку освободили, после поворота на 90⁰ее угловая скорость стала 20 с^-1. Определить силу тока, текущего в рамке.

19.37. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра (протона) по окружности радиусом = 53 пм. Определить магнитный моментэквивалентного круго­вого тока.

19.38. По тонкому стержню длиной l=0,4 м равномерно распределен заряд 200нКл. Стержень вращается с постоянной угловой скоростью =10 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить магнитный моментp_m.

19.39. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией 1 Тл находится плоская катушка из N = 80 витков радиусом r = 20 см. Плоскость катушки сос-тавляет угол с направлением магнитного поля. По катушке течет токI = =5 А. Определить вращающий момент, действующий на катушку.

19.40. Определить силу тока в прямоугольной рамке из тонкого провода, если ее магнитный момент p_m= 0,45 А·м². Площадь рамки S = 300 см². Найти мак-симальный вращающий момент, действующий на рамку в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл.