книги / Прочность и колебания элементов конструкций

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ 6 6 1

Дж. Маккуорн Рэнкин (1820—1872 гг .)1) дал более удовлетво­ рительное объяснение причины разрушения железнодорожных осей. Он исследовал много случаев разрушения и пришел к заключению о том, «что в осях имеет место постепенный износ без ухудшения структуры их волокон, и это не вызвано причиной, которую обыч­ но указывают... Разрушение в каждом случае происходит во вхо­ дящем углу, где шейка вала соединяется с телом вала. Возникнове­ ние разрушения начинается с появления гладкой, имеющей пра­ вильную форму мельчайшей трещинки, которая затем опоясывает шейку вала и проникает в глубь ее в среднем на высоту 12—13 мм. В дальнейшем трещинки постепенно распространяются от поверх­ ности к центру оси... до тех пор, пока толщина неповрежденного металла в центре станет недостаточной, чтобы выдержать удары, которым она подвергается». При объяснении возрастающего дейст­ вия ударов во входящем углу Маккуорн Рэнкин замечает, что «вследствие способа изготовления волокна материала не идут вдоль поверхности буртика, а проникают прямо в тело оси», и что «часть волокна, которая находится внутри тела оси, будет менее упруга, чем та, которая находится в шейке оси, и, вероятно, волокна изги­ баются в буртике из-за того, что их упругое состояние внезапно ис­ чезает в этой точке».

На основании этого соображения Маккуорн Рэнкин предлагает «при изготовлении осей до их поступления на токарный станок делать шейки с большим радиусом кривизны у буртика так, чтобы волокно было непрерывно по всей своей длине». Маккуорн Рэнкин утверждает, что «было разрушено несколько осей, имеющих один конец, выполненный подобным образом, а другой — обычным ме­ тодом: первые из вышеуказанных концов выдерживали от пяти до восьми ударов молотка, в то время как вторые неизменно разруша­ лись от первого удара». На основании этих испытаний Маккуорн Рэнкин делает заключение, что «в шейках вала улучшенной формы как непрерывность поверхностных волокон увеличивает силу со­ противления удару, так и непрерывность формы предотвращает разрушительное действие при колебаниях». Очевидно, что Макку­ орн Рэнкин имел очень ясное представление об опасности резкого изменения диаметра осей, но прошло значительное время прежде чем эти представления были вообще приняты. Спустя семь лет после публикации статьи Маккуорна Рэнкина вопрос о железнодорожных осях дискутировался снова на нескольких собраниях в Институте инженеров-механиков. Джемс Макконели **) представил статью

l) R a n k i n е W. J. М. On the causes of the unexpected breakage of the jour­ nals of railway axles; and on the means of preventing such accidents by observing the law of continuity in their construction. Proceedings of the Institution of Civil Engi­ neers, 1843, vol. 2, pp. 105—107.

*) M c C o n n e l l J. E. Axles for railway carriages and wagons. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1849, October, pp. 13—21; Deterioration of railway axles. Там же, 1850 January, pp. 5— 19; 1850 April, pp. 3—14.

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ 663

Очень тщательные исследования прочности железнодорожных осей были проведены в Германии А. Вёлером ‘) (1819—1914 гг.). Для испытаний железнодорожных осей на усталость он сконструи­ ровал и применил специальную машину (рис. 1). Машина работала только со скоростью 15 оборотов в минуту. Позднее, для того чтобы увеличить скорость испытания, А. Вёлер сконструировал подобную машину для испытания меньших образцов. Непосредственными ис­ пытаниями он доказал, что острые углы уменьшают продолжитель­ ность жизни образцов и что условия работы могут быть улучшены

Рис. 2.

путем введения галтелей. На рис. 2 представлен его образец. Он показал, что лишний металл ослабляет образцы и что образование трещин всегда начинается во входящих углах (рис. 3). Эксперимен­ ты А. Вёлера были продолжены И. Баушингером, а позднее А. Фёпплем, который использовал усталостную испытательную машину в Мюнхене, подобную той, что была у А. Вёлера. А. Фёппль изучал ослабляющее действие различного рода выточек и круговых отвер­ стий *). Чтобы уменьшить суммарное время, требующееся для про­ ведения испытаний на усталость, А. Фёппль проводил испытания с более высокими напряжениями, которые несомненно вызывали некоторые пластические деформации. Конечно, при таких условиях влияние концентрации напряжений на усталостную прочность

*) W 5 h 1 е г A. Bericht fiber die Versuche, welche auf der Konigl. Niederschle- sisch-Markischen Eisenbahn m it Apparaten zum Messen der Biegung und Verdrehung von Eisenbahnwagen-Achsen wahrend der Fahrt, angestellt wurden. Zeitschrift ffir Bauwesen, 1858, Jahrgang 8, SS. 641—652; Versuche zur Ermittelung der auf die Eisenbahnwagen-Achsen einwirkenden Krafte und der Widerstandsfahigkeit der Wagen-Achsen, там же, 1860, Jahrgang 10, SS. 583—616; Versuche fiber die relative Fest(gkeit von Eisen, Stahl und Kupfer, там же, 1866, Jahrgang 16, Heft 1, SS. 67—

664 КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

образцов меньше, чем в случае более низких уровней напряже­ ний, при которых для разрушения образцов требуется большое число циклов нагружения.

Первые теоретические исследования, относящиеся к концентра­ ции напряжений, появились в конце девятнадцатого века. Дж. Лармор исследовал х) концентрацию напряжений, вызванную в скру­ чиваемом валу цилиндрической канав­ кой кругового сечения с осью, парал­ лельной валу. Он использовал гидро­ динамическую аналогию, из которой следует, что задача распределения напряжений в закрученном призмати­ ческом стержне математически экви­ валентна задаче о движении идеаль­ ной жидкости, вращающейся с посто­ янной угловой скоростью в жестком цилиндрическом сосуде той же фор­ мы, что и подверженный кручению вал. Известно, что скорость жидко­ сти, обтекающей круговой цилиндр, имеет максимальное значение, равное

удвоенному значению скорости набегающего потока*2). Отсюда можно заключить, что в случае закрученного вала напряжения сдвига вблизи круговой полости в два раза больше, чем вдали от полости.

Другая важная работа о концентрации напряжений была опуб­ ликована Г. Киршем3). Он исследовал распределение напряжений около небольшого кругового отверстия в широкой пластине, подвер­ женной действию равномерной продольной растягивающей нагруз­ ки, и показал, что максимальное напряжение возникает у контура отверстия (по концам его диаметра, перпендикулярного к направле­ нию приложенной нагрузки) и что оно в три раза больше номи­ нального напряжения. Г. Кирш также выполнил большое число ис­ пытаний на растяжение стальных пластин с круговыми отверстиями

х) L a r m o u r J . The influence of flows and air-cavities on the strength of mate­ rials. Philosophical Magazine and Journal of Sciences, Series 5, 1892, vol. 33, № 200, pp. 70—78.

2) [Максимальное значение скорости на поверхности цилиндра будет при

е=±я/2.]

а) К i г s с h [G.] Die Theorie der Elastizitat und die Bedflrfnisse der Festigkeitslehre. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1898, Bd. 42, 29, SS. 797—807. Случай кругового отверстия в пластине, растягивающейся равномерно во всех на­ правлениях в своей плоскости, рассматривался М. Грюблером. Используя извест­ ную формулу Г. Ламе, он показал, что в этом случае коэффициент концентрации напряжения равен двум. [М. G г fl b 1 е г, Der Spannungszustand in Schleifsteinen und Schmirgelscheiben. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1897, Bd. 41, № 30, SS. 860—864.]

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ 6 6 5

и обнаружил, что в случае пластичных материалов обычно при на­ личии отверстия увеличивается допускаемое напряжение, так как поперечное сопротивление образца на разрушение отчасти ослабля­ ется присутствием отверстия.

Таким образом, к концу XIX века важность вопроса о концен­ трации напряжения уже была признана европейскими инженерамиконструкторами и специалистами по анализу напряжений. В США изучение этого вопроса началось несколько позднее. Я вспоминаю, что только в 1925 г. на весеннем собрании Американского общества

тельно метода фотоупругости он заметил: «Этот метод исследо­ вания недавно достиг некоторого успеха только потому, что он ин­ тересный и дает некоторые красивые световые эффекты». В эти же годы для определения максимального напряжения в отверстии применялся элементарный метод, показанный на рис. 4. Я привел эти четыре случая, чтобы охарактеризовать условия, которые суще­ ствовали 30 лет тому назад. В наше время никто не будет пользовать­ ся только что указанным методом для исследования концентрации напряжений. С того времени произошел большой прогресс в области определения напряжений.

С начала XX века важность точного анализа напряженного со­ стояния в конструкции машин становится все более значительной.

*) См. дискуссию профессора Г. Свейна по поводу статьи автора: T i m o ­ s h e n k o S., D i e t z W. Stress concentration produced by holes and fillets. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 1926, vol. 47, № 1958, pp. 199—220; discussion: pp. 220—237 ( S w a i n G. F. pp. 231—234). См. также его

6 6 6 КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

В настоящее время старые методы, в которых для определения на­ пряжений использовались элементарные формулы, а недостаточное знание действительных напряжений компенсировалось большими коэффициентами безопасности, не эффективны. Общая тенденция состоит в более точном анализе напряжений в деталях машин, для того чтобы конструировать с более экономичным использованием металла. Я думаю, что первой книгой, в которой была ярко проил­

на такие важные проблемы, как концентрация напряжений, напря­ жения, вызванные инерционными силами и колебаниями, темпера­ турные напряжения, напряжения в пластинах и оболочках и т. д. Все эти проблемы были вне содержания элементарных книг по со­ противлению материалов и требовали использования методов мате­ матической теории упругости. После Сен-Венана делалось несколько попыток перенесения методов теории упругости в элементарные учеб­ ники. Были опубликованы книги Ф. Грасгофа а) и Э. Винклера *), но они не подходили в качестве курсов сопротивления материалов в инженерных школах и к концу XIX в. они были вытеснены более элементарными учебниками, в которых преподавание сопротивления материалов было совершенно оторвано от теории упругости. Лекции по теории упругости читались исключительно в математических шко­ лах, и поэтому эта наука, оторванная от каких-либо практических приложений, носила абстрактный характер.

В начале XX в. в связи с новыми требованиями в определении напряжений теория упругости стала важна для инженеров. Были опубликованы новые книги по этому предмету, отвечающие прак­ тическим требованиям, и многие технические школы ввели теорию упругости в свою программу. С этого времени начинается значитель­ ный прогресс в развитии исследования задач о концентрации на­ пряжения.

Используя теорию функций комплексного переменного, боль­ ших успехов в решении задачи о концентрации напряжения, вы­ званной в пластине эллиптическим отверстием, достиг Г. В. Коло­ сов *). Он показал, что максимальное напряжение особенно велико,

х) S t о d о 1 a A. Die Dampfturbinen und die Aussichten der Warmekraftmaschinen. Berlin, J . Springer, 1903, 220 S.

a) G r a s h о f f F. Theorie der Elastizitat und Festigkeit mit Bezug aus ihre Anwendungen in der Technik. 2. Auflage. Berlin, K- Gartner, 1878, 408 S.

*) W i n k l e r E. Die Lehre von der Elastizitat und Festigkeit mit besonderer Rucksicht auf ihre Anwendung in der Technik, fur polytechnische Schulen, Bauakademien, Ingenieure, Maschinenbauer, Architecten, etc. Bd. 1. Prague, Dotninicius, 1867, 388 S.

*) См. его докторскую диссертацию: К о л о с о в Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической тео­ рии упругости. Юрьев, тип. К- Маттисеиа, 1909, 187 стр.

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ 667

если ббльшая ось эллипса перпендикулярна к напряжениям в пластине. Максимальное напряжение получается на концах этой оси и увеличивается с увеличением отношения большой оси к малой оси эллипса.

Аналогичная задача для эллиптического отверстия обсуждалась также К. Инглисом х). В своем исследовании, опубликованном в Известиях института корабельных архитекторов, он показал, как результаты, полученные для эллипса, можно приближенно перене­ сти на случай концентрации напряжений, вызванный в палубе ко­ рабля прямоугольными отверстиями с закругленными углами. Кон­ центрация напряжений, обусловленная отверстиями различной фор­ мы (рис. 5), обычно очень высока, и поэтому края отверстий требу­ ется подкреплять. В случае кругового отверстия влияние подкрепле­ ния на величину максимального напряжения с достаточной степенью

Рис. 5.

точности можно вычислить на основании теории кривого стержня, как показано на рис. 6 2). Подобным образом можно исследовать случай эллиптического отверстия, а также прямоугольного отвер­ стия с закругленными углами. Все эти факты относительно больших напряжений у контура отверстия в палубе корабля были известны уже давно, но даже сейчас они иногда недостаточно учитываются на практике. В качестве примера можно упомянуть оригинальную конструкцию уголков люков пассажирских кораблей типа «Либер­ ти» периода Второй мировой войны. В палубах этих кораблей были прямоугольные люки с острыми углами. В результате больших кон­ центраций напряжения в период эксплуатации усталостные трещины)*

!) I п g 1 i s С. F. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp cor­ ners. Transactions of the Institution of Naval Architects, 1913, vol. 105, part 1, pp. 219—230.

*) См. статью автора: T i m o s h e n k o S. P. On stresses in a plate with a circular hole. Journal of the Franklin Institute, 1924, vol. 197, № 4, pp. 505—516. [Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P. The collected papers. New York—London— Toronto, McGraw-Hill, 1953, pp. 385—392.1

6 6 8 КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

развивались с такой быстротой, что за 100 рейсов у люков оказа­ лись разрушенными больше десяти углов. Конечно, позднее такие разрушения были предотвращены путем введения подходящего за­ кругления и подкрепления углов.

Большой прогресс в теоретическом изучении концентраций на­ пряжений был совершен учеником Г. В. Колосова Н. И. Мусхелишвили1), который дальше развил метод анализа распределения

напряжений вокруг отверстий и решил задачи о концентрации на­ пряжений для отверстия разнообразной формы2).

Другой путь анализа концентрации напряжения был развит Г. Нейбером. Он применил общее решение уравнений теории упру­ гости, представленное тремя гармоническими функциями3), и та­ ким образом получил некоторые результаты не только для двумер­

опубликована недавно: С а в и н Г. Н. Концентрация напряжений около отвер­ стий. М.— Л ., Гостехиздат, 1951, 496 стр. [См. также С а в и н Г. Н. Распределе­ ние напряжений около отверстий. Киев, «Наукова думка», 1968, 887 стр.]

*) Эго решение независимо друг от друга дали П. Ф. Папкович ( Р а р с о - v i t с h Р. г . Solution generate des equations differentielles fondamentales d’elastici- t§, exprimee par trois fonctions harmoniques. Comptes rendus des seances de l’Academie des sciences, 1932, tome 195, № 10, pp. 513—515. Expressions generates des com- Eosantes des tensions, ne renfermant comme fonctions arbitrairs que des fonctions

armoniques. Там же: № 19, pp. 754—756) и Г. Нейбер (N е u b е г Н. Ein neuer Ansatz zur LSsung raumlicher Probleme der Elastizitatstneorie. Der Hohlkegel unter

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ 669

ных, но также и для трехмерных случаев концентрации напряже­ ния и опубликовал книгу, посвященную этой теме 1)* .

Хотя в последнее время теоретические методы решения задач о концентрации напряжений значительно развиты, все еще остается много практически важных задач, для которых не имеется строгих решений, и приходится обращаться к приближенным или экспери­ ментальным методам. В развитие таких методов значительный вклад должны сделать инженеры.

Особенно полезны различные аналоговые методы. Эти методы основаны на том факте, что в некоторых случаях задача теории упру­ гости математически эквивалентна задаче другого раздела физики, в котором требуемые величины могут быть легко измерены. Уже было упомянуто о гидродинамической аналогии, с помощью которой Дж. Лармор определил концентрацию напряжения в скручиваемом валу, вызванную малым круглым отверстием. Очень важная анало­ гия была развита Л. Прандтлем 2*). Он показал, что задача кручения эквивалентна определению поверхности прогибов равномерно растя­ нутой и равномерно нагруженной мембраны, имеющей такую же форму, как и поперечное сечение скручиваемого вала. Используя мыльную пленку как мембрану и замеряя оптическим путем мак­ симальный наклон поверхности прогибов, вызванный равномерным давлением газа, можно легко получить максимальное напряжение при кручении. В дальнейшем метод мембранной аналогии был раз­ вит Г. Тейлором 8) и применен к исследованию напряжений при кру­ чении валов со сложной формой поперечного сечения. Кроме того, таким же образом была изучена концентрация напряжения в круг­ лых валах со шпоночными канавками.

Другая важная аналогия была развита Л. Джекобсен *) для изме­ рения напряжений в галтели кругового вала с двумя различными

Fenzellast als Beispiel. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1934, Bd. 14, Heft 4, SS. 303—212).

l) N e u b e r H. Kerbspannungslehre, Grundlagen fiir genaue Spannungsrech-

schrift, 1903, Jahrgang 4, № 26, SS. 758—765. [Перепечатка: P г a n d 1 1 L. Gesammelte Abhandlungeti zur angewandten Mechanik, Hydround Aerodynamik. Erster Teil. Berlin, Springer-Verlag, 1961, SS. 79—86.] P г a n d 1 1 L. Eine neue Darstellung der Torsionsspannungen bei prismatischen Staben von beliebigen Querschnitt.

Sroblem. Report and Memoranda of the Advisory Committee for Aeronautis, 1917, ‘s 333. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1917, pp. 755—789.

[См. также T a y l o r G. I. The scientific papers. Vol. I. Mechanics of Solids, edited by G. K. Batchelor, Cambridge, University Press, 1958, pp. 1—23.]

') J(a с о b s e n L. S. Torsional-stress concentration in shafts of circular crosssection and variable diameter. Transactions of the American Society of Mechanical

670 КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

диаметрами. Он показал, что в этом случае задача определения на­ пряжения математически эквивалентна задаче об электрическом токе в пластине, имеющей такие же границы, что и диаметральное продольное сечение вала, и толщину, изменяющуюся, как куб рас­ стояния от продольной оси симметрии пластины. Он показал также, что скорость изменения потенциала вдоль более толстой кромки пла­ стины, который легко может быть определен потенциометром, дает

ЭкШщпенципльиыс линии

в определенном масштабе величину напряжений при кручении в гал­ тели вала. Линии электрического тока и эквипотенциальные линии, а также соответствующие линии в скрученном стальном валу показа­ ны на рис. 7. На основании измерений для галтелей различного ра­ диуса и различных отношений диаметров валов Л . Якобсон составил ценные диаграммы, из которых в каждом частном случае может быть получен коэффициент концентрации напряжения.

Заканчивая рассмотрение вопроса аналогий, кратко обсудим другой приближенный метод решения задач теории упругости. Этот метод основан на замене дифференциальных уравнений этих задач уравнениями в конечных разностях и решении этих уравне­ ний численно методом последовательных приближений. Впервые этот метод был использован К. Рунге х), который таким образом ре­ шил сложную задачу кручения. В дальнейшем больших успехов до­ стиг Л. Ричардсон, применивший этот метод к решению двумерных задач теории упругости и рассмотревший в качестве примера напря­ жения в дамбах от действия сил тяжести и давления воды *12). В по­

Engineers, Milwankee Meeting, 1925— 1926, vol. 47, pp. 619—638; discussion:

pp.639—641.

1)R u n g e C. Ober eine Methode die partielle Differential-gleichung Au-Con- stans numerisch zu integrieren. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1908, Bd. 56, Heft 3, SS. 225—232.

2)R i c h a r d s o n L. F. The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1910, Series A, vol. 210, pp. 307—357.