книги / Прочность и колебания элементов конструкций

По выполнении соответственных подстановок числитель полу' чит следующее выражение:

_ 1_

EJ

С ^у - (sin2 а —sin2 q>) (costp—cos a) dip—i*<7P2 J sin2ip cosq>dq>+

а

+ i*qg?J ^ y sin2 ф cos ip—cos a sin2 ф— sin2a cos фj dф + о 4

Для вычисления первого интеграла формулы (с) разобьем полу­ арку на восемь клиньев. Соответственные величины подынтеграль­ ных функций приведены в шестом столбце таблицы IV. Применяя формулу Симпсона, получим

Чтобы вычислить другие интегралы выражения (с), разобьем полуарку на четыре клина. Тогда для этих интегралов получаем следующие приближенные значения:

J sin2 ф cos фйф =

0,1222 [0 + 4 (0,01474 + 0,1199) + 2 • 0,05679 + 0,1946] =

4 6 2 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

Подставив в формулу (25) все полученные нами численные значе­ ния, найдем

Допустив, что поперечное сечение арки имеет прямоугольную форму, и положив

мы приходим окончательно к следующему равенству:

0 ,007112 ( 1 + 1 0 ,0 9 ^ j

Сравнение полученного результата с формулой (1) предыдущего параграфа приводит нас к заключению, что принятый нами способ расчета и выбранное число элементарных клиньев, на которые мы разбиваем полуарку, вполне гарантирует нам достаточное прибли­ жение при определении величины Н. Также легко находится распор, вызываемый в арке произвольного очертания какими угодно на­ грузками.

Если нагрузка состоит из одной сосредоточенной силы, то зада­ ча приводится к случаю, который был уже нами рассмотрен, путем добавления второй силы, расположенной симметрично относительно первой.

Для упрощения расчетов возможно ограничиться лишь основным членом числителя формулы (25), а в знаменателе оставить только поправочный член, учитывающий влияние продольной силы. Тогда распор Н определится по упрощенной формуле

с М

j E j V - y)ds

оо

Расчеты, выполненные для арок параболической и круговой формы, в отдельных случаях позволяют определить погрешности, допущенные при определении распора при помощи формулы (46).

§ 10. Случай, когда продольная ось арки близка к веревочной кривой, построенной для нагрузки на арке

В этом случае удобнее всего применить приближенную формулу (28). Чтобы судить о степени приближения, которую она дает, при­ меним ее к случаю, для которого нам известна точная величина рас­ пора. Возьмем для примера круговую арку постоянного сечения, несущую вертикальную равномерно распределенную по всему пролету нагрузку. Точное значение распора дано формулой (43); что же касается приближенной формулы (28), то ее знаменатель на­ ми был уже определен. Для круговой арки (§ 8) он имеет такое зна­ чение:

где Р определяется формулой (39). Числитель формулы (28) равен х):

X ^1 — cosq>— * s'n2 ф) ^Ф = Н'°£f°S ” 1° (seca-f tg а) —

— ~ЕГ [s'n a —у (a + sin a c o sa )—- |- s in a (l—cosa)—a c o sa

Определим распор для угла a=28°. Для знаменателя (а) найдем значение

РEJ__ 0,003551 (1 + 10,11 ^ - ) . 9

9 Здесь у — ордината оси круговой арки, уг — ордината параболической ве­ ревочной кривой. Следовательно,

Мы видим, что величина поправочного члена в числителе иная, но так как его влияние незначительно, то значение (f), полученное для распора, может считаться достаточно точным. Указанный здесь способ расчета распора дает нам возможность сделать несколько заключений, относящихся к положению кривой давления. Как мы видели из формулы (37), смещение этой кривой в ключе вполне оп­ ределяется величиной Я '. Если продольная ось арки совпадает с веревочной кривой, проходящей через центр сечения в ключе и через опорные шарниры, то Я ' определится по формуле (27). Отда­ ляя несколько одну из этих кривых от другой, надо для определе­ ния Я ' перейти от формулы (27) к (28). Это вызовет незначительное изменение в знаменателе, а в числителе появится третий член, пред­ ставляющий влияние изгибающего момента. При у > у г, т. е. когда ось арки проходит ниже веревочной кривой, этот дополнительный член будет отрицательным. Он вызывает уменьшение Я ' и, следо­ вательно, смещение кривой давления в ключе. В противоположном случае Я ' увеличивается, и смещение кривой давления в ключе бо­ лее существенно, чем при совпадении этих двух кривых. Подоб­ ный случай находится среди численных примеров, исследованных выше.

Если для продольной арки мы выберем окружность, а веревочная кривая будет параболой, то получится увеличение Я '. Формулы

(с) и (е), кроме того, показывают, что влияние дополнительного чле­ на в числителе тем существеннее, чем большую пологость имеет арка и чем меньше ее толщина. При соответствующем выборе очертания продольной оси возможно в формуле (28) числитель сделать равным нулю и, следовательно, провести кривую давлений через центр се­ чения в ключе. Однако выбор такой оси не представляет выгоды, так как уменьшение смещения кривой давления в ключе сопровож­ дается увеличением изгибающих моментов в других сечениях арки. Пусть АтСпВ представляет собой веревочную кривую для верти­ кальной нагрузки арки. Если ось арки совпадает с этой кривой, а кривая давлений пройдет над осью и расположится по линии ACiB (рис. 13), то ординаты заштрихованной площадки, заключенные между кривыми ACiB и АтСпВ, пропорциональны изгибающим моментам, полученным от смещения кривой давлений. Эти мо­ менты при неподвижности сечения в ключе С и при свободных концах арки произведут горизонтальные перемещения точек А и В,

определяемые интегралом

о

Эти перемещения равны по абсолютной величине и противопо­ ложны по знакам перемещениям, вызываемым продольной силой.

Если / = / 0/cos ф, то величина, представленная интегралом (g), становится пропорциональной статическому моменту заштрихован­ ной площади относительно оси АВ, проходящей через центры опор­

ных шарниров.

Предположим теперь, что мы выбрали для продольной оси такую кривую АтхСпхВ, что кривая дав­ лений в ключе совсем не смеща­ ется. Тогда веревочная кривая А тСпВ будет одновременно и кри­ вой давлений, а ординаты, заклю­ ченные между этой кривой и но­

вой осью АтхСпхВ, будут пропорциональны изгибающим моментам в арке этой новой формы. Так как действие продольных сил в двух близких по форме арках почти одно и то же, то и перемещения, про­ изводимые моментами и представленные интегралом (g), также будут почти равны. Следовательно, при / = / 0/cos ф статические моменты площадей, из которых одна заштрихована на рисунке, а другая на­ ходится между АтСпВ и AmxCriiB, относительно оси А В должны мало разниться между собой. Из этого заключаем, что изгибающие моменты при новом выборе оси более значительны, чем когда про­ дольная ось совпадает с веревочной кривой, проходящей через опор­ ные шарниры и центр сечения в ключе.

§ 11. Погрешности, вводимые при расчете двухшарнирных арок

Займемся вопросом о выяснении степени приближения, допущен­ ной в наших расчетах.

Если применять полную форму (25), то погрешности, допущен­ ные при вычислении величины распора Я, будут зависеть только от неточности наших основных гипотез, которые не вполне соответст­ вуют действительности. В самом деле, мы основываем наши выводы на гипотезе плоских сечений, на строгом применении к материалам, из которых выполнены арки, закона Гука и на предположении, что действующие на арку силы приложены к продольной оси арки. Гипотеза плоских сечений дает результаты достаточно точные для арок незначительной толщины, что соответствует наиболее часто

встречающимся на практике случаям сооружения арок. Закон Гука имеет наиболее точное применение для таких материалов, как желе­ зо и сталь. Его применение к каменным и бетонным аркам приводит к значительным погрешностям. Однако, хотя исследования в этой области еще недостаточны, но все же можно утверждать, что допу­ щение в этих случаях закона Гука дает удовлетворительные для практического применения результаты.

Перейдем к вопросу переноса сил на ось. Вертикальную силу Р (рис. 14), приложенную к точке К на внешней поверхности свода, мы переносим в точку Ki, находящуюся на

пересечении оси свода с продолжением на­ правления силы Р.

Иногда точку приложения силы перено­ сят в плоскость соответствующего поперечно­ го сечения. Тогда имеется вертикальная сила, приложенная в точке Кг, и пара сил. В этих двух случаях переходим от заданной системы к системе статически определимой, и на осно­ вании принципа Сен-Венана можно утверж­ дать, что подобная замена существенно не влияет на напряженное состояние тех элемен­ тов арки, расстояния которых от точки К

значительны по сравнению с KKi и К К г- Следовательно, измене­ ние распора, происшедшее от переноса сил, будет тем меньше, чем меньше отношение поперечных размеров арки к ее пролету.

Найдем различие между величинами распора, полученными в результате этих двух различных способов переноса сил.

Обозначим через Н распор, вызванный силой Р, приложенной в точке Кг, и Н'— распор, вызванный соответственным моментом, рав­ ным единице, приложенным в сечении ККг (формула (44)):

Тогда, перенося силу Р из точки К в точку Кг, получаем следую­ щую величину распора:

Н — Н ' Р р costpScp — tf - f - ^ - S e p . (Ь)

Перенося же силу Р из точки К в точку Ки получаем следующую величину распора, который является функцией <р:

Ограничиваясь в полученном выражении лишь бесконечно ма­ лыми первого порядка малости, мы устанавливаем, что выражения

(Ь) и (с) тождественны.

Чтобы оценить порядок величины разности между (Ь) и (с), заметим, что

Как видно, разности изменяются прямо пропорционально отно­ шению hiр — высоты поперечного сечения арки к ее радиусу кри­ визны.

К такому же выводу мы придем и в случае постоянной нагрузки. Возьмем, например, круговую арку постоянного поперечного сече­ ния, несущую на своей внешней поверхности постоянную нагрузку, равномерно распределенную по пролету. Каждый элемент внешней поверхности арки воспринимает нагрузку

<7( P + T ) 6<pcos<p- ^

Перенеся ее по направлению радиуса на ось, мы находим для ин­ тенсивности перенесенной нагрузки следующую величину:

каждому элементарному клину арки, величина момента которых

где т обозначает объединение входящих в нее тригонометрических величин. Распор Н 2, полученный от пар сил (g), может быть пред­ ставлен в виде

а

Если бы мы перенесли распределенную нагрузку, приложенную к внешней поверхности свода пролета АВ, на продольную ось по направлению вертикали, мы получили бы для распора следующее

выражение:

2qpm. (к )

Таким образом, разница между величинами распоров, получен­ ная от применения двух различных способов приложения действую­ щих на данную систему сил, равна

(1)

Заметим, что второй способ переноса сил совершенно не прини­ мает во внимание части нагрузки, расположенной по пролету АВ

на расстояниях, равных -у sin а, от центра каждого из опорных се­

чений.

Действие, вызванное этой нагрузкой, может быть легко вычис­ лено при замене ее двумя парами сил разных знаков, приложен­

ными к опорам и имеющими общую величину -у q ^-у sina^ .

Они вызовут распор, равный, согласно выражению (44'),

Прибавив это выражение к формуле (к), мы получаем более близ­ кое совпадение величин распоров, полученных от различных спо­ собов приложений заданных сил.

Из всех высказанных выше соображений следует, что распор в тонких арках, построенных из материалов, следующих закону Гука, получается с приближением вполне удовлетворительным.

Можно предполагать, что для многих построенных арок допущен­ ные способы расчета дают величину распора с точностью до 1%.

Допустив это приближение для величины распора, посмотрим, каковы будут ошибки в величине моментов, вызванных подвижными сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой.

Изгибающий момент, вызванный в произвольном поперечном се­ чении арки К (рис. 15, а) вертикальной сосредоточенной силой, оп­ ределяется разностью между соответственными ординатами лома­ ной линии akb и линии Н — асЬ (рис. 15, Ь).

Поэтому для точек приложения сосредоточенной силы, для кото­ рых эта разность мала, т. е. значения искомого момента невелики, приближение в вычислении изгибающего момента не будет боль­ шим, даже если бы Н было высчитано с минимальной ошибкой. С точ­ ки зрения практики вычисление вводимых в наших расчетах ошибок становится интересным тогда, когда мы переходим к самым не­ выгодным положениям подвижного груза. Предположим, например,

что груз расположен над рассматриваемым сечением К ; тогда изги­ бающий момент получится умножением груза на длину п и величи­ ну отрезка не, определенного в отвлеченных единицах (рис. 15, Ь). При заданной погрешности в определении величины Н ошибка в определении величины изгибающе­ го момента зависит от отношения

отрезков ke и eg.

Это отношение изменяется вме­ сте с пологостью арки и с положе­ нием груза.

В таблице V приведены некото­ рые числа, характеризующие это отношение для параболических арок различной пологости.

Первая строка этой таблицы содержит отношения стрелы арки к ее пролету. Вторая строка дает отношение расстояний подвижного

груза от середины арки к пролету. Третья строка дает отношение момента М 0, вызванного грузом в прямом брусе, к пролету арки. В четвертой строке приведены значения распора Н, высчитанные при помощи таблиц I и II для отношения Л//=0,1. В пятой строке помещены отношения момента распора Н относительно точки К к пролету арки. Наконец, шестая строка дает отношения изгибаю­ щего момента в сечении /С арки к пролету.

Численные значения последних двух строк, очевидно, пропор­ циональны отрезкам eg и ke (рис. 15, Ь), и отношения между этими числами дают возможность судить о степени приближения, достиг­ нутого при вычислении величин изгибающего момента.

При равной ошибке, сделанной при определении величин распо­ ра, величина изгибающего момента будет тем точнее, чем отноше­ ние между числами шестой строки и соответствующими числами пя­ той строки будет больше. Из этого видно, что точность в определении изгибающего момента растет при перемещении нагрузки от середи­ ны пролета к опорам. При заданной погрешности в определении распора Н максимальная ошибка, сделанная в изгибающем момен­ те, относится к положению нагрузки посередине пролета. Она рас­ тет вместе с пологостью арки. Для ///=1/2 относительная ошибка в 1% в Нп11=0,196 влечет за собой ошибку, почта равную 4% в (Мо—Нп)/1—0,054, между тем как для ///=1/12 та же относитель­ ная ошибка от НпИ = 0,160 сопровождается ошибкой < 2% в (Л1,—Ял)//=0,090.

Эти числа характеризуют ошибки в величинах моментов, когда грузы расположены над рассматриваемым сечением; для других положений грузов эти ошибки более значительны. Поэтому, когда мы будем искать величину наибольшего положительного изгибаю­ щего момента в сечении К и когда мы расположим систему грузов