книги / Прочность и колебания элементов конструкций

472 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

(/=0,1247/), мы получим (см. формулу (1) § 8)

h*

0,003312+ 0,00266 -jy

Момент посередине пролета

М= МЛ—Я/ = 0 ,1250(7/*—0,9084 -0,1247<7/* =

=(0,1250—0,1133) ql = 0,0117^/*.

Мы видим, что относительная ошибка в 1 % в величине распора дает в значении момента ошибку уже в 10%.

Для а =90° имеем

М = М0—Я/ = (0,1250 —0,1060) ql* = О.ШЭО?/*,

и следовательно, относительная ошибка в величине распора в 1% дает для момента ошибку приблизительно 6%.

В то время как распор может быть определен с большим при­ ближением, степень приближения в определении изгибающих мо­ ментов и соответствующих усилий стоит значительно ниже.

§ 12. Деформации двухшарнирной арки

Если распор арки найден, то задача о деформации ее оси без за­ труднения решается при помощи общих формул, определяющих де­ формацию кривого бруса (§§ 3 и 4). В наиболее встречающихся на практике случаях симметричной арки обыкновенно определяют перемещение ключевого сечения. На основании теоре­ мы о взаимности перемещений вместо искомого перемещения можно опреде­ лить вертикальное перемещение любой точки оси арки под действием верти­ кальной силы Р, приложенной посере­ дине ее пролета. Рассматривая только

Рис. 16. половину симметричной арки, мы при­ ходим к определению вертикального перемещения для случая, представленного на рис. 16. Общая фор­

мула, определяющая вертикальные перемещения произвольной точки К, выражается следующим образом (формулы (21)):

Величина перемещения зависит, как мы видим, от модуля упру­ гости Е, который известен нам только приближенно. Поэтому пол­ ное выражение (а) обычно не применяется, а перемещение опреде­ ляют приближенно с помощью выражения (а), ограничиваясь лишь основным его членом.

Этот результат вполне соответствует тому, который получился бы для изгиба призматического бруса жесткости E l cos ф, горизон­ тально заделанного в сечении С. Поэтому искомые перемещения могли бы быть получены графически при помощи построения соот­ ветствующей веревочной кривой.

Положив в формуле (Ь) х0 =1/2, мы находим перемещение точки А. Искомое вертикальное перемещение оси арки в точке К. под действием силы Р, приложенной в сечении ключа, очевидно,

Применим полученные нами формулы к элементарному случаю параболической арки, сечение которой изменяется по закону I cos ф= / 0. Для случая, изображенного на рис. 16, момент М выра­ жается следующим образом:

Внося это выражение в формулу (Ь), получим

Искомое вертикальное перемещение, согласно формуле (с), равно

Для определения распора при произвольном положении груза Р мы имеем приближенную формулу (т) § 7

474 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

Полагая в ней х0—0, получим

Эти две формулы позволяют нам переписать формулу (d) в еле' дующем виде:

< 4 7 >

Подставив в эту формулу величину х, которая определяет поло­ жение рассматриваемой точки К, и величину Я, полученную по формуле (е), мы найдем вертикальное перемещение точки К. под дей­ ствием груза Р, расположенного в ключе. Теорема о взаимности перемещений позволяет определить вертикальное перемещение ключевого сечения под действием груза Р, расположенного в точке К-

Перемещение ключа под действием силы Р, приложенной в са­ мом ключе, получается при подстановке в формулу (47) значений *0=0, Н —Н0. Тогда

С помощью формулы (47) можно определить вертикальное пере­ мещение ключевого сечения под действием системы вертикальных сил и распределенной нагрузки.

Отметим, что определенные таким образом перемещения пред­ ставляют собой только грубые приближения. В действительности искомое перемещение получается в виде разницы двух выражений, согласно формуле (47), и влияние непринятых во внимание членов может быть значительно.

В тех случаях, когда требуется более точное значение для пере­ мещения и когда модуль упругости Е известен с большой точностью, следует применять полную формулу (а).

Примем ее для определенпя перемещения параболической арки, удовлетворяющей условиям I cos ф = /0; Е cos ср = F0.

Положив в выражении (а)

Р

N = -g- sin ср + Я 0 cos ср,

р

Q= 2-cos ср —Я0 sin ср

ипроизведя интегрирование, мы получим для вертикального

4 7 6 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

применять полную формулу для вычисления распора и числа таблиц I и II.

Из таблицы видно, что погрешности при применении прибли­ женной формулы увеличиваются по мере того, как уменьшается по­ логость и увеличивается толщина h арки.

Г Л А В А ш

АРКИ С ЗАДЕЛАННЫМИ ПЯТАМИ

§ 13. Выбор лишних неизвестных в случае симметричной арки

Для выбора лишних неизвестных в случае симметричной арки рассечем ее мысленно в сечении ключа С (рис. 17) и приложим к ле­ вой половине систему сил, заменяющую действие на нее правой части и состоящую из момента М с и двух сил Н с и Vc, приложенных к точ­ ке О, расположенной на расстоя­ нии с от центра сечения С. Эта точка предполагается связанной с левой частью арки посредством абсо­ лютно жесткого стержня ОС. Так­ же поступим и с правой полуаркой, прилагая к ней систему сил, заме­ няющую действие на нее левой от­ сеченной полуарки. Таким об­ разом, силы, действующие между

двумя полуарками, приводятся к двум противоположным парам сил М с, двум горизонтальным противоположно направленным силам Нс и двум вертикальным противоположно направленным силам Vc. Выберем эти три группы сил за три лишних неизвестных. Переме­ щение, вызываемое двумя парами М с, будет состоять в относитель­ ном повороте сечений С, ограничивающих полуарки. Перемещение, вызываемое горизонтальными силами Н с, представляет горизон­ тальное расхождение между точками О и, наконец, перемещение, вызываемое вертикальными силами Vc,— вертикальное расхожде­ ние между теми же точками О. Вследствие симметрии мы можем за­ ключить, что вертикальные силы Vc не могут произвести перемеще­ ний, соответствующих обобщенным силам М с и Н с. Сила Vc может быть, таким образом, определена независимо от двух других неиз­ вестных. Чтобы силы Н с и М с получились также независимыми од­ на от другой, надо соответственно выбрать расстояние с. Его, не­ сомненно, нужно выбрать таким образом, чтобы действие момента М е не вызывало горизонтального расхождения между точками О. Тогда силы Нс не вызовут относительного поворота сечений С. Пер­ вая и третья формулы (18) дают следующее выражение горизонталь-

ного перемещения точки О при действии пары сил М с на левую по­ луарку:

Приравнивая это выражение нулю, получаем следующее выраже­ ние для расстояния с:

Если пренебречь влиянием изгибающего момента на сжатие оси арки и положить ESpa^EJ, то мы получим для с следующее прибли­ женное значение:

S S

Иногда выгодно перенести начало координат из точки С и О. Новые ординаты ух будут связаны со старыми равенствами у= ух-\-с. Выполним этот перенос и составим условие, по которому горизон­ тальное перемещение (а) будет равно нулю в новой системе коорди­ натных осей. Тогда получим

Оо

Установив выбор лишних неизвестных, попробуем найти их для некоторых частных случаев.

§14. Симметрично нагруженные арки

Вслучае симметричной нагрузки вертикальные силы Vc, оче­ видно, равны нулю. Чтобы определить силы Н с и М с, рассмотрим деформацию левой полуарки. Величину Н с мы найдем из того усло­ вия, что точка О не будет иметь горизонтального перемещения. Если момент М с не дает точке О горизонтального перемещения, то можно составить уравнение, введя в него лишь нагрузки, располо­ женные на левой полуарке, и силу Н с.

Пусть М 0, Nt и Q0 будут соответственно изгибающим моментом, нормальной силой и поперечной силой, вызванными в каком-либо произвольном сечении нагрузками, расположенными на левой

$15. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ И СМЕЩЕНИЯ ОПОР 479

Выражение для и'с с учетом условия (52) получает вид

Для определения распора арки необходимо полученные нами преобразованные выражения для и0 и и'0 подставить в общую фор­ мулу (55).

Чтобы составить уравнение, определяющее М е, рассмотрим вновь левую полуарку и воспользуемся тем обстоятельством, что в случае симметричной нагрузки сечение С не поворачивается, а так как поворот сечения С не зависит от силы Н с, то достаточно учесть лишь нагрузку, расположенную на левой полуарке, и пару сил М с.

Формула (17) дает выражение для поворота сечения под влияни­ ем нагрузок на полуарке:

S

Хс

Заметим, что формулы (55) и (58) пригодны также и в том слу­ чае, когда нагрузка несимметрична по отношению к середине арки. Действительно, в симметричной арке распор или момент в ключе, вызванные любой нагрузкой, расположенной на левой полуарке, будут такими же, как и для симметричного расположения той же нагрузки на правой полуарке, и, следовательно, их величина будет равна половине той величины, которую мы. получим при симметрич­ ном загружении всей арки.

§ 15. Влияние изменений температуры и смещения опор

Чтобы определить усилия, вызванные равномерным нагревани­ ем арки на t0, мысленно сечением в ключе рассечем ее на две части и рассмотрим левую полуарку (рис. 17). При равномерном нагрева­ нии нс будет угловых перемещений. Если опора А остается совер­