книги / Прочность и колебания элементов конструкций

применять всегда, когда кольцо имеет две оси симметрии. Его можно использовать также и при наружном давлении, в этом случае нуж­ но только переменить знак у момента М 0. Рассматривая этот случай, Ж. Бресс показал, что при незначительном эксцентриситете эллипса необходимо принять во внимание влияние эксцентриситета на де­ формацию. Таким способом Ж. Бресс1) определил величину предель­ ного давления pk, при котором сплющивается круговое кольцо под влиянием равномерного внешнего сжатия2).

При деформации арок продольные и касательные силы оказы­ вают большое влияние на деформацию. В таких случаях в выраже­ ния (58) и (59) нужно вводить соответствующие члены 34*).

При изучении прочности маховиков и влияния на них спиц Е. Винклер *)иФ. Грасгоф?) пользовались теорией стержней малой кривизны. Р. Бредт6), Г. Бауер 7), Дж. Лонгботтом 8) и К. Рейнгардт9) вели дальнейшую разработку этого вопроса.

В своих исследованиях Г. Бауэр допускал, что длина спицы рав­ на радиусу R центральной оси обода. Он нашел следующее выраже­ ние для растягивающей силы S в спицах у обода и для изгибающего

*) В г е s s е J. А. С h. Course de mecanique appliquee professe a l’Ecole imperiale des ponts et chaussees, par M. Breese. Premiere partie. Resistance des materi-

SS.377—380; Heft 25, SS. 390—393; Heft 26, SS. 403—404.

8)L o n g b o t t o m J . G . Communication to article by Sutton Puppard A. J.: («The stresses in a uniformly rotating fly-wheel». Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1924, № 1, pp. 25—42), там же pp. 43—51.

*) R e i n h a r d t K- Festigkeitsberechnung der Schwungrader mit rechtechigem Kranzquerschnitten auf Beanspruchung durch die Fliehkrafte. Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1920, Heft 226, 109 S.

циальное уравнение *) для радиального перемещения имеет вид

где 0 — центральный угол; г — радиус осевой линии; М — изги­ бающий момент. Общее решение этого уравнения имеет следующий вид:

Произвольные постоянные Ct и С* и статически неопределимые величины получим из условий закрепления концов стержня *) и из условия нерастяжимости оси кольца

dw/dB=u,

где w — касательное перемещение.

Очень удобным оказывается 3) применение тригонометрических рядов в случае замкнутого кругового кольца. В самом общем случае радиальные перемещения выражаются в виде следующего ряда:

u= ai cos 0+а* cos 20+...+& ! sin 0 + 6 8 sin 20+ ...,

а касательные перемещения получаются из условия нерастяжимости w = a1s i n 0 + y a 2sin 20 + . .. —bxcos 0 —у 62cos20— . ..

piston de machine a vapeur. Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences. 1871, tome 73, № 9, 2 Semestre, pp. 542—543. См. также R e i n h a r d t K- Selbst-- spannende Kolbenringe. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1901, Bd. 45, № 7, SS. 232—237; № 11, SS. 373—379; F r i e d m a n n H. Selbstspannende Kol­ benringe. Zeitschrift des Osterreichischen Ingenieurund Architekten-Vereines, 1908, Jahrgang 60, № 39, SS. 632—635; P о 1 1 e г t O. Einheues Verfahren zur Berechnung und Anfertigung selbstspannender Kolbenringe. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1924, Bd. 68, № 11, SS. 253—254.

J) Это уравнение было выведено Ж. Буссине: B o u s s i n e s q J. Resistance d’un anneau a la flexion, quand sa surface exterieure supporte une pression normale, constante par unite de longueur de sa fibre moyenne. Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences, 1883, 2 Semestre, tome 97, № 16, pp. 843—848.

a) Различные задачи этого рода были рассмотрены: S a i n t V e n a n t В. Memoire sur le calcul de la resistance et de la flexion des pieces solides &simple ou & double courbure, en prenant simultanement en consideration les divers efforts auxquels elles peuvent etre soumises dans tous les sens. Comptes rendus des seances de l’Aca-

London Mathematical Society, series 1, 1889 [May 10, 1888], vol. 19, Ns 328, pp. 365+ 376; M a y e r R. Ober Elastizitat und Stabilitat des geschlossenen und'offenen Kreis-

sound. 2nd edition. London and New York, MacMillan and Co., vol. I, 1894, chapter

Коэффициенты а1г аг, .... blt Ьг, ... в каждом отдельном случае могут быть определены согласно началу возможных перемещений. Например, в случае кругового кольца, сжимаемого двумя равными силами Р, приложенными в двух противоположных точках 0= 0 и 0= л, находим коэффициенты ап для четных п из уравнения

g-a6a„ = 2P8am,

откуда

_ 2Рг3

° п ~ EJn(n3 — I)2*

Коэффициент ап для нечетных п и все коэффициенты Ьп будут в этом случае нулевыми, поэтому будем иметь

Если, кроме двух сосредоточенных сил, действует еще равномер­ но распределенное внешнее давление р, которое вызывает в кольце сжимающую силу S=pr, то радиальное перемещение мы найдем из уравнения

Мы видим, что если сила 5 приближается к критической величине Sxv=3EJ/r2, то перемещения и возрастают очень быстро.

§ 14. Приближенные теории стержней большой кривизны

Если размеры поперечного сечения кривого стержня не малы по сравнению с радиусом кривизны центральной оси, то допущение о линейном законе распределения напряжений по поперечному сече­ нию не дает больше достаточной точности, и потому является необхо­ димым принимать во внимание изменение длины волокон в зависимо­ сти от расстояния их до центра кривизны. Е. Винклер ‘) и Г. Ре-

l) W i n k 1 е г Е. Formanderung und Festigkeit gekrflmmter Кбгрег, insbesondere der Ringe. Der Civilingenieur, 1858, Neue Folge, Bd. 4, SS. 232—246; см. также W i n k l e r E. Die Lehre von der Elastizitat und Festigkeit mit besonderer Riicksicht auf ihre Anwendung in der Technik. Theil I. Prag, Verlag von H. Dominicus, 1867, 388 S. См. гл. XV, SS. 130— 143.

§ 14. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ТЕОРИИ СТЕРЖНЕЙ БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ 605

заль *) положили начало развитию теории изгиба стержней большой кривизны, а Ф. Грасгоф2), К. Пирсон *) и Р. Бредт *) разработали приближенную теорию изгиба таких стержней. Эта теория исходит из предположения, что поперечные сечения при изгибе остаются плоскими и нормальными к изогнутой оси стержня.

Рис. 25. Чистый изгиб стержня большой кривизны.

Рассмотрим (рис. 25) случай чистого изгиба в плоскости кривизны центральной линии в предположении, что одна из главных осей поперечного сечения лежит в этой же плоскости. Пусть dtp — угол между двумя смежными поперечными сечениями ab и cd\ а Д dtp — угол поворота сечения cd относительно ab и г — радиус кривизны нейтрального слоя. Тогда относительное удлинение какого-либо во­ локна, лежащего на расстоянии у от нейтрального слоя, равно е=г/Д d<p/(r—y)diр.

Пренебрегая нормальным давлением между волокнами, получим

Распределение напряжений по высоте поперечного сечения под­ чиняется гиперболическому закону (рис. 25), а нейтральный слой смещается от центра тяжести поперечного сечения по направлению к центру кривизны. Для определения Д dtp и г применим следующие

nes deutscher Ingenieure, 1895, Bd. 39, № 35, SS. 1054— 1059; № 36, SS. 1074—1078.

уравнения статики:

(68)

откуда

(69)

№ = * ■

где F — площадь поперечного сечения; е — расстояние нейтраль­ ной оси от центра тяжести поперечного сечения. Из второго уравне­ ния (68) и уравнения (69) получим

Если определить г из первого уравнения (69), то можно найти напряжение по формуле (71). Решение уравнения (69) не представ­ ляет затруднений. Для таких поперечных сечений, как прямоуголь­ ник, треугольник, трапеция, круг, получаем простые формулы. Для решения задач в более сложных случаях разработаны аналитиче­ ские и графические приемы 1).

Для прямоугольного поперечного сечения значение г получится из уравнения (69): г = ln y j -- . где гх и г0 — радиусы кривизны внеш­

него и внутреннего контуров стержня. Для определения смещения нейтральной оси относительно центра поперечного сечения можно воспользоваться следующим приближенным выражением:

где R —(ri~\-r0)/r — радиус центральной оси стержня.

*) В a n t 1 i n A. Beitrag zur Bestimmung der Biegungsspannimg in gekrQmmten stabformigen Korpem. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1901, Bd. 45, № 5, SS. 164—168; T о 11 e M. Zur Ermittlung der Spannungen krummer Stabe. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1903, Ba. 47, № 25, SS. 884—890; W e s t p h a l M. Festigkeit von ovalen Rohren gegen inneren oder auberen Fliissigkeitsdruck. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1908, Bd. 52, № 52, SS. 2076—2077; 1909, Bd. 53, № 10, SS. 383—386.

Многие авторы пытались уточнять вышеприведенную теорию кривых стержней. Среди них нужно назвать И. А. Евневича 1), Г. Мюллер-Бреслау2) и Е. Андреса. Они принимали во внимание поперечное растяжение, но считали нормальные напряжения между продольными волокнами равными нулю, из-за чего уравнения рав­ новесия не удовлетворялись. К. Пфлейдерер 3) учитывал радиальное сжатие между продольными волокнами, но пренебрегал радиальным перемещением.

Сравнение всех этих результатов с точной теорией показывает, что эти позднейшие решения не дают большей точности, чем простая теория Е. Винклера и Г. Резаля.

§ 15. Точные решения задачи изгиба стержней большой кривизны

X. С. Головин4) дал точное решение задачи об изгибе кривого стержня с очень узким прямоугольным поперечным сечением, рас­ смотрев случаи чистого изгиба и изгиба сосредоточенной силой, приложенной на конце стержня. Для чистого изгиба составляющие

*) Е в н е в и ч И. А. Руководство к изучению законов сопротивлений строи­ тельных материалов с присоединением общих начал теории упругости твердых тел. С.-Петербург, тип. А. Якобсона, 1868, 236 стр. См. стр. 131.

2) M f i l l e r - B r e s l a u Н. Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen, ausgehend von dem Gesetze der virtuellen Verschiebungen urid den Lehrsatzen fiber die Formanderungsarbeit. 3 vermehrte" und verbesserte Auflage. Leipzig, Baumgartner, 1904, 342 S. CM. S. 209. [Перевод на'русский язык: М ю л л е р - Б р е с л а у Г. Новые методы строительной механики, основанные на принципе виртуальных перемещений и теоремах о работе деформа­ ции. Перевод со 2-го немецкого издания инж. Н. Митинского. С.-Петербург, Ф. В. Щепанский, 1898, 287 стр. См. § 21. Эти результаты приведены также в моно­ графии М ю л л е р - Б р е с л а у Г. Графическая статика сооружений. Том 2,

SS.209—213.

4)Г о л о в и н X. Одна из задач статики упругого тела. Известия С.-Петер­ бургского технологического института, 1882, том 3, стр. 373—410. Эта работа, из­ данная на русском языке, неизвестна в других странах. Такие же решения нашли: во Франции: R 1 b i ё г е М. Sur l’equilibre d’elasticite des vofites en arc de cercle. Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences, 1889, tome 108, Mars, №11, pp. 561—563; R i b i e г e M. Sur les vofites en arc de cercle encastrees aux naissances. Comptes rendus des seances de l’Academie des Sciences, 1901, tome 132, Fevrier,

№ 6, pp. 315—317; в Германии — P r a n d t l L. (см. стр. 72 книги: F 5 p p 1 A. Vorlesungen fiber technische Mechanik. 3 Auflage. Bd. 5. Die wichtigsten Lehren der hoheren Elastizitatstheorie. Leipzig, Teubner B. G., 1907, 391 S). T i m p e A. Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen, einfach gelost mit Hilfe der Airyschen Funktion. Zeitschrift ffir Mathematik und Physik, 1905, Bd. 52, Heft 4, SS. 348—383.

напряжения определяются следующими формулами:

где

C = ( r ! - r 5 ) « - 4 r ? r * ( l n i i ) \

Толщина стержня принята равной единице. Сравнение с прибли­ женными решениями Л. Навье и Е. Винклера — Г. Резаля показы­ вает, что решением Л. Навье можно пользоваться только для стерж­ ней с незначительной высотой. Теория Е. Винклера — Г. Резаля дает удовлетворительные результаты и для кривых стержней зна­ чительной высоты. В табл. 9 даны для сравнения некоторые число­ вые результаты, полученные для случая rt= 3 г0 х). Мы видим, что

теория Е. Винклера — Г. Резаля дает удовлетворительные резуль­ таты и для стержней значительной высоты. При этом, однако, пред­ полагается, что рассматриваемое поперечное сечение находится на­ столько далеко от концов, что местные деформации от действия внешних сил не влияют на точность решения.2*

изгиба стержней и пластинок. Известия Киевского политехнического института, отдел инж.-мех., 1910, год издания 10, книга 1, стр. 1—49. См. также Т im oshen - k о S. On the distribution of stresses in a circular ring compressed by two forces acting

The collected papers. New York—London—Toronto, McGraw-Hill publishing compa­