книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Отношение между наименьшим (0=a) и наибольшим (0=0) значениями нормального напряжения в любом поперечном сечении

пределение напряжений по поперечному сечению тп образца пред­ ставляется заштрихованной площадью рис. 2. Максимальные на­ пряжения в сечении в точках т и п в 1,75 раза больше среднего напряжения, определяемого формулой (1).)*

*) М i с h е 1 1 J . H. Some elementary distributions of stress in three dimensions. Proceedings of the London Mathematical Society, 1901 [1900, February 8], vol. 82- № 712, pp. 23—35; M i c h e 1 1 J . H . Elementary distributions of plane stressТам же [1900, January 11], № 713, pp. 35—61. См. также L o v e A. E. H. A treati­ se on the mathematical theory of elasticity. 4th edition, Cambridge, University Press, 1927, 642 p. CM. p. 203.

!) C o k e r E. G. The distribution of stress at the minimum section of a cement briquette. Proceedings of the International Association'for Testing Materials Meeting

помощи метода фотоупругости 1). На рис. 4, а показаны кривые главных напряжений <тх и ау вдоль оси симметрии х. Кривые ли­ нии на рис. 4, Ь показывают распределение главных напряжений сг**)и оу в поперечном сечении тп. Можно видеть, что максимальные напряжения в точках т и п приблизительно втрое больше напряже­ ний посредине сечения. Случай полукруглых вырезов в пластине, подверженной растяжению, исследован Е. Прейссом 8) и А. Леоном3).

ь)

Рис. 4. Распределение напряжений в соединении типа ласточкина хвоста.

Если радиус вырезов мал (по сравнению с шириной пластины), то максимальное напряжение в точках т и п (рис. 5, а) приблизи­ тельно вдвое больше среднего напряжения по тому же сечению.

Аналогичное явление концентрации напряжений имеет место при растяжении пластины с отверстием в центре. В случае круглого отверстия (рис. 5, Ь), диаметр которого мал по сравнению с шириной пластины (a/tO 5), максимальные растягивающие напряжения в точках ш и л п о краям отверстия в три раза больше напряжения,

Ingenieurwesens, 1912, Heft 126, SS. 1—24; то же см. в Zeitschrift des Vereines deut­

lung in der Umgebung einer halbkreisformigen Kerbe und einer viertelkreisformigen Hohlkehle. Wien, Lehmann und Wentzel, 1908, 12 S. (Mitteilungen aus dem mecha- nisch-technischen Laboratorium der technischen Hochschule in Wien, № I, 1908.)

действующего по краям сечения ст* 1). При небольших эллиптиче­ ских отверстиях (рис. 5, с) коэффициент концентрации напряжений зависит от отношения Ыс полуосей, а наибольшие напряжения по концам большой оси определяются формулой

<W=(l+24)°*-

Отсюда видно, что очень узкое эллиптическое отверстие (трещина или щель 2), перпендикулярное растягивающим силам, вызывает

Рис. 5. Концентрация напряжений у выкружек и отверстий.

весьма заметную концентрацию напряжений на концах оси, перпен­ дикулярной направлению растяжения.

В случае круглого отверстия, усиленного жестким кольцом, наи­ большие растягивающие напряжения появляются также на краях

*) К i г s с h [G.] Die Theorie der Elastizitat und die Bediirinisse der Festigkeitslehre. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1898, Bd. 42, № 29, SS. 797— 807. Исследование напряженного состояния стального листа, подвергающегося растяжению или сжатию и имеющего два кругообразных отверстия, было произве­

due to the presence of cracks and sharp corners. Transactions of the Institution of

W o l f K- Beitrage zur ebenen Elastizitatstheorie. Zeitschrift fur technische Physik, 1921, Jahrgang 2, № 8, SS. 209—216.

отверстия в точках т и п и могут быть определены по формуле

^m ax k O x ,

где коэффициент концентрации k зависит от отношения (Ь—f)hltd. Приводим некоторые значения г) коэффициента к (табл. 2).

Т а б л и ц а 2

Все сделанные выше заключения о распределении напряжений предполагают, что максимальные напряжения не превосходят предела упругости материала. За пределом упругости распределе­ ние напряжений зависит от пластичности материала. Пластичные материалы, как, например, мягкую сталь, можно подвергать зна­ чительному растяжению за пределом текучести без большого уве­ личения напряжений. Вследствие этого распределение напряжений за пределом текучести с увеличением растяжения становится все более равномерным. Этим объясняется то обстоятельство, что для пластичных материалов отверстия и выточки не уменьшают проч­ ности на разрыв при условии статического нагружения образцов 2*)1 . Напротив, для хрупких материалов, как, например, стекло, высо­ кая концентрация напряжений не уменьшается до самого разрыва. Это приводит к резкому ослабляющему действию, которое выража­ ется в пониженной прочности на разрыв стержня из хрупкого мате­ риала при наличии в нем вырезов 8). Из этого видно, что требуется большая осторожность при проектировании вырезов или отверстий в машинных частях. В случае мягкой стали 4*) их можно делать без

1) T i m o s h e n k o S. Р. On-stresses in a plate with a circular hole. Journal of the Franklin Institute, 1924, vol. 197, № 4, pp. 505—516. [Перепечатка: T i m o ­ s h e n k o S. P. The collected papers. New York — London — Toronto, McGraw- H ill Publishing Company, Ltd., 1953, pp. 385—392.]

2)В случае более глубокого выреза может оказаться, что сопротивление у края значительно возрастет, так как концентрация у краев в наиболее слабом поперечном сечении будет предотвращена.

s)L е о п A. KerbgroBe und Kerbwirkung. Mitteilungen aus dem mechanischtechnischen Laboratorium der Technischen Hochschule in Wien, № 10, Wien, Leh­ mann und Wentzel, 1910, 56 S.

4)Опыты с мягкой сталью, применяемой для котлов, показывают, что неболь­ шая коррозия материала наблюдается в местах, которые при изготовлении были

напряжены выше предела Текучести. См. K o r b e r F., P o m p A. RiBbildungen und AufreiBungen an Dampfkesselelementen. Mitteilungen aus dem Kaiser-Wilhelm- Institut fur Eisenforschung zu Diisseldorf, 1926, Bd. 8, Lieferung 9, Abhandlung 68, SS. 135—147.

5 6 6 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

вреда, но для более твердых материалов приведенные выше сообра­ жения приобретают очень важное значение.

Влияние концентрации напряжений приобретает особо важное значение в тех случаях, когда элементы машин подвергаются зна­ копеременным напряжениям. При колебательном характере и их высокой концентрации легко образуются трещины, которые могут распространиться по всему поперечному сечению. Этим объясняется тот факт, что отверстия, вырезы и резкие изменения поперечных се­ чений часто являются причиной поломки частей машин, испытываю­ щих колебания *) или находящихся под действием знакоперемен­ ных напряжений.

Если вырезы очень малы, то даже для такого хрупкого материа­ ла, как стекло, они не влияют на прочность стержней при их испы­ тании на растяжение. Это явление исследовал А. Гриффитс 2).

В. Томас34б*) исследовал влияние поверхностных трещин и желоб­ ков на сопротивление частей машин колебаниям при знакоперемен­ ных напряжениях.

Задача о распределении напряжений вблизи нагруженных кон­ цов призматических стержней очень сложна и была теоретически исследована только в некоторых простейших случаях. Л. Файлон *), Р. Гиртлер 8) и Е. Мисц •) рассмотрели случай кругового цилиндра, сжимаемого двумя плоскостями, плотно соприкасающимися с его основаниями. Случай призматических стержней, подвергаемых

J) Опытные данные о влиянии вырезов и резких изменений поперечных сече­ ний на сопротивление знакопеременным напряжениям можно найти: М о о г е Н.

1923, vol. 116, October 5, № 3014, pp. 446—448; T i m o s h e n k o S. Stress con­ centration produced by fillets and holes. Verhandlungen des zweiten Internationalen

Staben. SS. 1—42; Weitere Erfahrungszahlen fflr die Festigkeit von Beton, SS. 43— 51. Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der Kaiserlichen technischen Hochschule, Neue Folge, 1909, Heft 31.

а) G r i f f i t h A. A. The phenomena of rupture and flow in solids. Philosophi­ cal Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1920, vol. 221, № A587,

pp.163—198.

J)T h o m a s W. N. The effect of scratches and of various workschop finishes

upon the fatigue strength of steel. Engineering, 1923, vol. 116, № 3016, October 19,

pp.483-485.

4)F i 1 о n L. N. G. On the elastic equilibrium of circular cylinders under cer­

tain practical systems of load. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1902, vol. 198, № 303, pp. 147—233.

б) G i r 1 1 e г R. Ober ein Problem der Elastizitatstheorie. Physikalische Zeitschrift, 1907, Jahrgang 8, № 15, August, SS. 507—509.

•) M у s z E. Beitrag zur Theorie des Druckversuches. Dissertation, Darmstadt, Technische Hochschule, 1909, 54 S.

При этом выяснилось, что если боковому расширению концов пре­ пятствуют силы трения, то распределение сжимающих напряжений по поперечному сечению стержня не будет больше равномерным; сжимающие напряжения значительно повышаются по краям се­ чения.

Неравномерность в распределении напряжений является чисто местной и быстро уменьшается с удалением поперечного сечения от концов стержня 56).

§ 3. Кручение прямых призматических стержней

Общая теория кручения и различные решения в отдельных част­ ных случаях изложены в статье Ф. Ауэрбаха •). При решении слож­ ных задач кручения очень полезным методом является аналогия с мембраной, так называемая аналогия Л. Прандтля 7). Если ввести

^ T i m o s h e n k o S. The approximate solution of two-dimensional problems in elasticity. Philosophical Magazine and Journal of Science, 1924, Series 6, vol. 47, № 282, June, pp. 1095—1104. [Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P., The collec­ ted papers. New York — London — Toronto, McGraw-Hill book Publishing Com­ pany, Ltd., 1953, pp. 393—400.]

2)M i c h e R. Le calcul pratique de problones elastique adeux dimensions par la methode des equations integrates. Verhandlungen des zweiten Internationalen Kongresses fur technischeMechanik, Zurich, 12— 17 September 1926. Zurich und Leip­ zig', O. Fflssli, 1927, SS. 126—130.

3)К n e i n M. Zur Theorie des Druckversuches. Der Spannungszustand bei ebener Formanderung und vollkommen vehinderter Querdehnung. Abhandlung aus dem Aerodynamischen Institut der Technischen Hochschule in Aachen, 1926, Heft 7, Berlin, Springer-Verlag, 22 S. Dissertation T. H. Aachen.

См. также K n e i n M. K- Zur Theorie des Druckversuchs. Zeitschrift fur ange-

wandteMathematik und Mechanik, 1926, Bd. 6, Heft 5, SS. 414—416.

4) R i e d e l W. Beitrage zur Losung des ebenen Problems eines elastischen Korpers mittels der Airyschen Spannungsfunktion. Zeitschrift fflr angewandte Mathe-

technischen Mechanik, Bd. Ill, Erster Teil, Statik und Dynamik elastischer Korper, Nebst Anwendungsgebieten. Leipzig, J. A. Barth, 1927, SS. 199—238. См. также W e b e r C. Die Lehre der Drehungsfestigkeit. Forschungsarbeiten auf dem Gebiete

Gessammelte Abhandlungen zur angewandten Mechanik, Hydround Aerodynamik, Erster Teil. Berlin (Gottingen) — Heidelberg, Springer-Verlag, 1961, 574 S. CM. SS. 79—80.] P r a n d t l L. Eine neue Darstellung der Torsionsspannungen bei pris­ matischen Staben von beliebigem Querschnitt. Jahresbericht der deutschen Mathema- tiker-Vereinigung, 1904, Bd. 13, Heft 2, SS. 31—36. [Перепечатка; P r a n d t l L. Gessammelte Abhandlungen. Erster Teil, SS. 81—86.]

функцию напряжения х), то для компонентов напряжения будем иметь

(5)

Условие совместности компонентов деформации дает следующее уравнение для <р:

где 0 — угол закручивания на единицу длины, G — модуль сдвига. Это уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению упру­ гой поверхности однородной мембраны, испытывающей равномер­ ное растягивающее усилие Т, отнесенное к единице длины ее кон­ тура, и подвергающейся равномерному давлению р на единицу по­ верхности. Уравнение поверхности прогибов мембраны есть функ­ ция ф в предположении, что контур мембраны такой же, как и кон­ тур поперечного сечения скручиваемого стержня, и что p/T=2G6. Наклон поверхности мембраны в какой-либо точке по отношению к плоскости ее контура дает величину касательного напряжения в со­ ответствующей точке сечения скручиваемого стержня. Удвоенный объем, заключенный между поверхностью мембраны и плоскостью ее контура, равен величине крутящего момента, приложенного к стержню. Эта аналогия дает возможность определять эксперимен­ тальным путем напряжения в скручиваемых стержнях. Такие опы­ ты были произведены Г. Антесом 2*), А. Гриффитсом *) и Г. Тейло­ ром и оказались очень ценными для изучения распределения на­ пряжений в сложных случаях.

Решение уравнения (6) эквивалентно отысканию минимума ин­

в котором ф на контуре сечения должно иметь постоянное значение.

*) [Представление компонентов напряжения в плоской задаче теории упруго­ сти через производные от одной и той же функции ф(х, у) было впервые введено A i r y G. В. On the strains in the interior of beams. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1863, vol. 153, Part 1, pp. 49—79.]

2) A n t h e s H. Versuchsmethode zur Ermittlung der Spannungsverteilung bei Torsion prismatischer Stabe. Dinglers polytechnisches Journal 1906, Jahrgang 87, Bd. 321, Heft 22, SS. 342—345; Heft 23, SS. 356—359; Heft 25, SS. 388—392; Heft 28, SS. 441—444; Heft 29, SS. 455—459; Heft 30, SS. 471—475.

С помощью метода Ритца эта задача с достаточной точностью мо­ жет быть решена для любого выпуклого многоугольника. Если, например, мы имеем очень узкий прямоугольник со сторонами х= ± а , у —±Ь, причем а предполагается значительно большей ft, то изогнутая поверхность мембраны может быть выражена в сле­ дующем виде1) (для х>0):

ф = G0 (ft2 — г/2) [1—в—*<“—■*>],

откуда

т „ = — 2G0 у [1 — е~к<“-*>], тгу = G0 k [ft2 —t/a] erk

Если подобрать k так, чтобы интеграл (7) имел значение мини­ мум, то получим k= 1/ft У 5/2, и крутящий момент выразится так:

а Ь

Этой формулой можно пользоваться при поперечных сечениях, изображенных на рис. 6. Напряжения при кручении таких стерж­ ней можно определить приближенно, разбивая их поперечные сече­ ния на узкие прямоугольники, как показано на рисунке, и приме­ няя для каждого прямоугольника формулу (8). Жесткость всего

Рис. 6. Сопротивление кручению прокатного железа.

поперечного сечения скручиваемого стержня определится как сум­ ма жесткостей отдельных элементарных прямоугольников *); наи­ большее напряжение в таких случаях имеет место в точках у входя­

2) T i m o s h e n k o S. Р. On the torsion of a prism, one of the cross-sections of which remains plane. Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 1922[1921, February 10.] vol. 20, pp. 389—397. [Перепечатка: T im os h e n k o S .P . The collected papers. New York—London—Toronto, McGraw-Hill Publishing Company, Ltd., 1953, pp. 314—320.]

*) F о p p 1 A. Versuche fiber die Verdrehungssteifigkeit der Walzeisentrager. Sitzungsbericnte der mathematisch-physikalischen Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu Mfinchen, 1922, Jahrgang 1921, Heft 2, SS. 295—313; K. i e h- n e S. Zur Frage der Gebaudesicherung im Bergbausenlungsgebiete. Der Bauingenieur, 1922, Jahrgang 3, Heft 2, 31 Januar, SS. 42—44.

щих углов. Это напряжение приближенно определяется формулой х)

Для тонких трубообразных сеченийа) можно полагать, что касательные напряжения распределяются равномерно по толщине трубы. Направление касательных напряжений совпадает с направ­ лением касательной и кривой контура поперечного сечения, а вели­

ния угла закручивания 0 нужно только приравнять работу кру­ тящего момента потенциальной энергии кручения, тогда получим:

Применим формулу (10) к случаю, изображенному на рис. 7, тог­ да получим

Кручение труб, имеющих сечения сложной формы, исследовали Г. Лоренц 3), Дж. Прескотт *), А. Фёппль и Л. Фёппль ?). Местные

*) Т г е f f t z E. Ober die Wirkungeiner Abrundungauf dieTorsionsspannungen in der inneren Ecke eines Winkeleisens. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1922, Bd. 2, Heft 4, SS. 263—267.

a) B r e d t R. Kritische Bemerkungen zur Drehungselastizitat. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1896, 3d. 40, Ni 29, SS. 813—817. CM. S. 815.

*) L o r e n z H. Lehrbuch der technischen Physik, Bd. 4, Technische Elastizitatslehre, Miinchen und Berlin, R. Oldenbourg, 1913, 692 S. CM. S. 98.

4) P r e s c o t t J. The torsion of closed and open tubes. Philosophical Magazine and Journal of Science, serie 6, 1920, vol. 40, № 239, pp. 521—541.