книги / Прочность и колебания элементов конструкций

начальных напряжений; этого достигают специальными спосо­ бами производства работ: трамбуя бетон так, чтобы сделать его разнородным, мы получаем арку, подверженную отрицательному изгибающему моменту в ключе и положительным моментом в пятах. Очевидно, что эти моменты вызывают усилия обратных знаков, чем усилия, вызываемые понижением температуры. Когда произойдет понижение температуры, то действительное распределение усилий будет более выгодно. Недостаток этого метода заключается в том, что мы не имеем возможности вычислить эти начальные усилия. Мы не имеем возможности определить, в какой мере эти начальные усилия позволяют компенсировать вредные напряжения, вызван­ ные усадкой бетона и понижением температуры.

Наконец, некоторые смещения кривой давления могут быть по­ лучены, как было показано в § 29, при соответствующем выборе очер­ тания продольной оси арки. Мы видели, что сечения в пятах подвер­ гаются наибольшей опасности появления в них растягивающих напряжений. Если продольная ось арки выбрана таким образом, что она проходит несколько выше соответственной веревочной кри­ вой, то возможно уменьшить изгибающие моменты в пятах за счет незначительного увеличения момента в ключе. Наиболее выгодное очертание получается после нескольких проб. Заметим, что этот вопрос теряет всякий интерес, если не располагают точными дан­ ными о величине и распределении внешних нагрузок. Признанное самым выгодным для данной нагрузки очертание может оказаться очень чувствительным ко всякому изменению внешних сил, вслед­ ствие чего размеры арки придется уЛанавливать с большим запа­ сом прочности. В таких случаях особенно рекомендуется употреб­ ление железобетона, так как он представляет значительное противодействие растягивающим усилиям, что позволяет умень­ шать поперечные размеры арки. Благодаря этому получаются более гибкие конструкции, менее подверженные вредным напряжениям от усадки бетона и понижения температуры, чем массивные арки из бетона и камня. Также следует пользоваться железобетоном, когда нет уверенности в абсолютной неподвижности опор. Вслед­ ствие относительной гибкости железобетонные арки занимают про­ межуточное место между массивными арками из бетона и арками с тремя шарнирами.

§31. Влияние изменения температуры

Задача определения усилий, появляющихся в арках при измене­ ниях температуры, очень сложна, так как в каждом Частном случае она требует знания состояния температуры в каждой точке арки. Такими данными мы не располагаем, вследствие чего задачу обык­ новенно упрощают допущением, что арка нагревается или охлаж­ дается равномерно. Мы определили усилия, появляющиеся от

6 5 2 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

изменений температуры в арках круговой и параболической, и в арке, продольная ось которой очерчена по катеноиду. Результаты наших подсчетов показывают, что температурные усилия в значительной степени зависят от отношений /// и h0)l. Очертание продольной оси в этом случае имеет второстепенное значение. На этом основании формулы, определяющие температурные усилия, относящиеся к рассматриваемой арке, возможно применить и к аркам иного очер­ тания, чем рассматриваемые.

В частности, полученные результаты очень просты для случая параболической арки, характеризуемой равенствами

Ограничиваясь вторым приближением, мы имеем для распора, появляющегося в результате увеличения температуры, следующее выражение (формула (95)):

j, 45 EJ0et 1

~ р ~ Т + $ ’

Значение коэффициента р, зависящего от продольной силы, объ­ яснено в предыдущем параграфе. Наибольшие напряжения в ключе определяются на основании предыдущего следующими равенства­ ми:

Принимая во внимание только напряжения от изгиба и полагая с«//3, получим:

В тонких арках коэффициентом р можно пренебрегать. Можно

допустить пропорциональность между ст'тах и h0/f. Из этого следует,

min

что увеличение толщины арки ухудшает условия работы арки в отношении появляющихся в ней температурных напряжений. Железобетонные арки вследствие их меньшей толщины находятся в лучших условиях, чем простые бетонные. Иногда бывает выгодно увеличивать постоянную нагрузку толстых арок, в особенности имеющих назначение выдерживать постоянную нагрузку, для того, чтобы таким образом уравновесить растягивающие усилия, возни­

кающие при понижении температуры. Заметим еще, что темпера­ турные напряжения пропорциональны модулю Е и коэффициенту е. Их значения меньше для тех материалов, для которых модуль уп­ ругости и коэффициент линейного расширения также менее зна­ чительны. Например, температурные напряжения, возникающие в каменных арках, в десять раз меньше усилий, имеющих место при бетонных арках.

В заключение напомним, что, не зная точных значений модуля упругости Е и коэффициента е, а также распределения температуры по толщине арки, мы вычисляем напряжения, возникшие от измене­ ния температуры с грубым приближением. Проще всего исполь­ зовать данные таблиц IX и X. Для рассчитываемой арки следует сначала установить величины f/l и h0/l, а затем определить прибли­ женные значения напряжений, вызванных изменением температу­ ры, интерполируя данные, помещенные в этих таблицах.

§ 32. Степень приближения расчетов арок

Все расчеты, относящиеся к аркам, должны подчиняться обще­ му правилу, заключающемуся в том, что степень приближения применяемых формул должна быть в полном соответствии со сте­ пенью приближения необходимых для расчета данных. Располагая точными данными относительно величины нагрузок и их распреде­ ления, а также относительно упругих свойств материала проекти­ руемой конструкции, можно, применяя достаточно приближенные вычисления, в результате достичь высокой степени точности. На­ оборот, оперируя данными, являющимися только грубым прибли­ жением точных величин, невыгодно применять более точные фор­ мулы, так как нет никакой гарантии достичь в этом случае резуль­ татов, заслуживающих доверия.

В подобных случаях рекомендуется упрощать формулы в той же степени, как и входящие в них данные. Введем, например, упрощаю­ щие допущения относительно сил, действующих на арку, и предпо­ ложим, что нагрузки, в действительности приложенные к внешней поверхности арки, перенесены на ее продольную ось. В случае вер­ тикальных нагрузок, численно равных собственному весу арок и ве­ су заполнений, можно использовать вертикальное членение их для упрощения построения веревочных кривых. При построении ли­ ний влияния будем допускать, что вертикальный сосредоточенный груз перемещается прямо по продольной оси. На примере круговой двухшарнирной арки с продольной осью, параллельной ее внеш­ нему очертанию, мы показали, в какой мере это допущение влияет на величины искомых неизвестных. Что касается материалов, то мы предположим их однородными, совершенно упругими и следующими закону Гука.

5 5 4 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

Чтобы судить о степени приближения, достигнутой в расчете при пользовании упрощенными формулами, мы выполнили расчеты для нескольких частных случаев. За точку отправления мы брали об­ щие формулы, выведенные из гипотезы плоских сечений. Мы рас­ сматривали влияние каждого из членов этих формул на конечный результат. Соответственные численные результаты, относящиеся к круговой и параболической арке, приведены в таблицах IX, X, XII, XV и XVI.

Эти вычисления позволяют сделать заключение, что для получе­ ния удовлетворительных результатов необходимо учитывать как изгибающий момент, так и продольную силу, влияние которой осо­ бенно велико в случае пологих арок большой толщины. Поправоч­ ные члены, учитывающие поперечную силу и влияние изгибающего момента на сжатие продольной оси арки, сравнительно мало изме­ няют величину конечного результата. Их необходимо учитывать только в том случае, когда известны с достаточной точностью как распределение нагрузок, так и упругие свойства материалов рас­ сматриваемой нами конструкции.

В случаях, где продольная ось арки мало отличается от веревоч­ ной кривой, построенной для действующих на арку вертикальных сил, удобно применять приближенный метод вычислений, указан­ ный в § 29. Он не только дает нам возможность с достаточной сте­ пенью точности найти искомые величины, которые нельзя было бы определить уравнениями статики, но, кроме того, показывает нам наиболее выгодное очертание продольной оси арки. Формулы, оп­ ределяющие эти величины, как это мы видели на рассмотренных примерах, с трудом поддаются вычислениям,- даже если все входя­ щие в них интегралы могут быть выражены в явной форме. Они осо­ бенно затруднительны в случаях очень пологих круговых арок, так как, чтобы обеспечить в них приближение до 1%, необходимо про­ изводить вспомогательные вычисления над числами с семью десятич­ ными знаками. Подобные формулы могут представлять некоторый интерес с точки зрения общих заключений, но для частных случаев выгоднее производить приближенные вычисления с помощью фор­ мул Симпсона. В § 28 мы видели, что для получения практически удовлетворительных результатов нет необходимости разлагать арку на большое число клиньев. В случае симметричной арки для вычисления распора с четырьмя десятичными знаками достаточно разделить полуарку на восемь клиньев. Изгибающий момент в клю­ че получится с более значительной, но практически допустимой ошибкой. Все вычисления должны быть произведены над числами, в которых сохранились бы четыре знака. На изученных нами при­ мерах мы видели, что необходимо делать детальные расчеты, в осо­ бенности тогда, когда дело идет о вычислении влияния собственного веса и постоянной нагрузки. Для подобных нагрузок веревочная кривая близка к кривой продольной оси арки и поправочные члены,

как, например, член, выражающий влияние продольной силы на изгиб, приобретают большее значение. Если, наоборот, задача со­ стоит в построении линий влияния, то можно удовлетвориться бо­ лее грубыми расчетами и в качестве приближения получить линии влияния, относящиеся к параболе (§ 26). Понятно, что эти линии влияния не могут служить для определения изгибающих моментов, вызванных постоянной нагрузкой, распределенной по всему проле­ ту, так как разница между площадями влияния противоположных знаков дает ошибку, превосходящую таковую в найденной величи­ не ординат линии влияния.

Взаключение укажем, что численные результаты, приведенные

втаблицах, дают возможность, во-первых, приближенно опреде­ лить усилия, вызываемые постоянной нагрузкой и изменениями тем­ пературы, во-вторых, построить линии влияния. В этом заключают­ ся полезные указания для выбора очертания арки и определения ее основных размеров.

ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В МАШИНОСТРОЕНИИ

Festigkeitsprobleme im Maschinenbau. Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, Band IV, Lieferung 1, Leipzig, Verlag von Jonann Ambrosius Barth, 1929, SS. 146— 198. Перевод А. П. Даниловского на русский язык: Т и м о ш е н ­ к о С. П. Вопросы прочности в машиностроении. Л., Изд-во Кубуч, 1934, 93 стр.

§1. Введение

Сувеличением размеров и скоростей в современном машиностро­ ении все большее значение приобретает вопрос о расчетах прочности машинных частей. С одной стороны, в связи с увеличением разме­ ров и скоростей увеличиваются и допускаемые напряжения, с дру­ гой стороны, к машинам значительных размеров предъявляются более высокие требования прочности, нежели к малым 1). Необхо­ димая прочность машин может быть обеспечена только на основе точного исследования распределения напряжений в их частях и изу­ чения механических свойств применяемых материалов. При разре­

шении вопросов прочности в машиностроении необходимо пользо­ ваться и тем и другим путем. Полное теоретическое решение, кото­ рое может быть непосредственно применено к анализу распределе­ ния напряжений, можно получить только для простейших случаев, как, например, при деформациях тонких призматических стержней и тонких пластинок. В большинстве критических случаев картина очень сложна, и решение задачи, основанное на упрощающих допу­ щениях, может быть принято для определения напряжений только как первое приближение. Для расширения наших знаний в вопро­ сах о распределении напряжений следует, с одной стороны, раз­ вивать методы, которые позволяли бы разрешать задачи теории уп­ ругости в сложных случаях, встречающихся на практике, с другой стороны, производить испытания моделей, а также производить из­ мерения напряжений на самих машинах, внимательно изучая при этом всякие неправильности в их работе 2).

За последние 30 лет были разработаны различные методы изме­

The Journal of the Institution of Electrical Engineers, 1920/1921, vol. 59, № 302, June, pp. 565—663. CM. p. 568.

a) Для установления удовлетворительных методов назначения правильных размеров машинных частей очень важно выяснение причин, нарушающих правильность работы машины. По этому вопросу имеются данные в British Engine, Boiler and Electrical Insurance Co. Ltd., Technical Report. [1922— 1938; New series, vol. 1, 1952.]

весьма полезным. Проще всего необходимые данные получаются непосредственным измерением деформаций машинных частей. Если приходится иметь дело с машинами больших размеров, то при по­ мощи такого простого прибора, как измеритель напряжений 1), можно получить весьма ценные результаты. При помощи такого прибора производились измерения напряжений в стальных вагон­ ных колесах2), в кривых стержнях3). Для более точных измерений деформаций, в особенности на небольших длинах, весьма пригоден очень точный измеритель Окюйзена 4*) и тензометр Гугенбергера 6). Так, тензометр применялся для изучения распределения напряже­ ний в днищах паровых котлов "), в напорных баках7), в кривых тру­ бах 8) и пр. Для исследования распределения напряжений вблизи отверстий и в местах резкого изменения сечения Е. Прейсс 8) скон­

7)H u g g e n b e r g e r A. Die Festigkeit der Prebsitzverbindungmit zylindrischer Sitzflache. (Winterthur: Schweizerische Lokomotiv-und Maschinenfabrik). Technische Blatter d. Schweizer Lokomotivund Maschinenfabrik. Winterhur, 1926, Sondernummer, 36 S.

8)W a h 1 A. M. Stresses and reactions in expansion pipe bends. Transactions

of the American Society of Mechanical Engineers, 1927—28, vol. 49—50, part 1, № FSP-50-49, pp. 241—255; discussion: pp. 255—262.

•) P г e u s s E. Versuche fiber die Spannungsverminderung durch die Ausrundung scharfer Ecker. Mitteilungen fiber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1912, Heft 126, SS. 1—24. To же см. в Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1912, Bd. 56, № 34, SS. 1349—1354; P г e u s s E. Versuche fiber die Spannungsverteilung in Kranhaken. Mitteilungen fiber Forschungsarbeiten auf

струировал особый оптический экстензометр с большим увеличе­ нием, пригодный для измерения весьма малых удлинений. Этим прибором было произведено исследование влияния отверстий и вы­ кружек на распределение напряжений. Для записи и измерения напряжений, возникающих при вибрациях или при внезапных при­ ложениях нагрузок, вполне удовлетворительными оказались при­ бор «Кембридж» 1)* и различные виды электрических измерителей напряжений 2). Для мгновенного измерения больших напряжений с успехом применяется пьезоэлектрический метод3). Полную кар­ тину плоского распределения напряжений можно получить опти­ ческим методом с помощью поляризованного света при исследова­ нии моделей из прозрачного материала, например из стекла или цел­ лулоида. Этот очень важный для решения практических задач ме­ тод разработан А. Менаже4*) и Э. Кокером 6), и им теперь постоянно пользуются при разрешении самых сложных задач теории упру­ гости.

dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1912, Heft 126, SS. 25—46. To же см. в Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1911, Bd. 55, № 52, SS. 2173—2176; P r e u s s E. Versuche fiber die Spannungsverteilung in gekerbten Zugstaben. Mitteilungen fiber Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieurwesens, 1913, Heft 134, SS. 47—62. To же см. в Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1913, Bd. 57, № 17,

SS.664—667.

l)Some new recording instruments. Engineering, 1924, vol. 118, Ns 3057, August 29, p. 287.

*) M c C o l l u m B., P e t e r s O. S. A new electrical telemeter. Technolo­ gic Papers of the Bureau of Standards, 1924, January 4, № 247, pp. 737—777. CM. также S i e m a n n, Femdehnungsmessungen am Schiffskorper. Zeitschrift des Verei­

recording instruments. Journal of the Optical Society of America and Review of Scientific Instruments, 1925, vol. 10, № 4, pp. 455—473, C M . pp. 467—473; E l s a s - s e г R. Messen von Schwingungen und Drehmomenten mittels des Oszillographen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1924, Bd. 68, № 20, SS. 485—491.

*) K a r c h e r J .C . A piezoelectric method for the instantaneous measurement of high pressures. Journal of the Franklin Institute, 1922, vol. 194, № 6, pp. 815— 816. См. также K e y s D. A. A piezoelectric method of measuring explosion pressu­ res. Philosophical Magazine and Journal of Science, 6 series, 1921, vol. 42, Nt 250,

pp.473—488.

4)M e s n a g e r A. M. Sur le calcul des pieces rectangulaires flechies au moyen de la theorie de Telasticite. Annales des ponts et chaussees, Memoires et Documents,

8 serie, 1901, 71 аппёе, 2e trimestre, № 19, pp. 161— 171; M e s n a g e r A. M. Determination complete sur un modele reduit des tensions qui se produiront dans un ouvrage. Utilisation de la double refraction accidentelle du verre к l’etude des efforts

Journal of the Franklin Institute, 1925, vol. 199, № 3, pp. 289—332. См. также C o- k e r E. G. Photo-elasticity for engineers. Part 1—V. General Electric Review, 1920, Part 1, vol. 23, № 11, pp. 870—877; Part II, № 12, pp. 966-973; 1921, Part III, vol. 24, № 1, pp. 82—88; Part IV, № 3, pp. 222—226; Part V, № 5, pp. 455—466.

электрического тока1*) дает возможность легко исследовать распре­ деление напряжений в местах изменений поперечных сечений ва­ лов. Аналогия Клейна — Вигхарда позволяет исследовать плоское распределение напряжений по опытам на изгиб тонкой пластинки соответствующей формыа), удовлетворяющей определенным гра­ ничным условиям.

Результаты экспериментальных исследований совместно с из­ вестными решениями теории упругости дают возможность разрабо­ тать некоторые приближенные способы, которые играют большую роль при решении практических задач по расчету на прочность эле­ ментов машин.

В настоящей статье будут рассмотрены важнейшие из этих при­ ближенных теорий, применяемых на практике.

§ 2. Растяжение и сжатие прямых стержней переменного поперечного сечения

Случай продольного нагружения призматического стержня был ранее обсужден вполне исчерпывающе *); если Р обозначает про­ дольную силу, приложенную центрально, и f — площадь попереч­ ного сечения, то напряжение по поперечному сечению, расположен­ ному в достаточном удалении от концов стержня, определяется фор­ мулой

<J = P/F.

В случае стержня переменного поперечного сечения распределе­ ние напряжения по площади сечения не будет уже равномерным. Так, например, в симметричном клине (рис. 1) напряжение в точке А, отстоящей на расстоянии г от вершины О4), которая принимается нами за начало координат, является радиальным напряжением и

SS.15—30.

s)CM. A u e r b a c h F. Zug und Druck. Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, Bd. 3. Erster Teil: Statik und Dynamik elastischer Korper. Leipzig, J. Barth, 1927, SS. 53—129.

4) Эта задача была рассмотрена M e s n a g e r A. Contribution a Гetude de la dfeformation elastique des solides. Annales des ponts et chaussees, Ire Partie, Memoires et documents, 8 serie, 1901, 71 annee, 4e trimestre, pp. 129—190. См. также M i- c h e 1 1 J. H., Some elementary distributions of stress in three dimensions. Proceed­ ings of the London Mathematical Society, 1901 [1900, February 8], vol. 32, № 712, pp. 23—35. M i c h e 1 1 J. H. Elementary distributions of plane stress. Там же, [1900, January 11], № 713, pp. 35—61. M i c h e 1 1 J. H. The inversion of plane stress. Proceedings of the London Mathematical Society, 1902 [1901, November 14], vol. 34, № 772, pp. 134— 142.