книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf502 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК
имеем
|
1Л |
и» |
Vk |
ESр |
(sin <р—sin ф0) dq> + - ^ - J sin Ф d<p = |
|
Ф« |
Фо |
= — -^ -|co sq )0—cos a —sinq>0(oc—ф0)—- ^ (cos ф0 — cos a) J- ,
Следовательно,
м е = ^ j^cos ф0—cos а —sin ф0 (а —<р„)— (cos ср0— cos a)J ,
(78)
Изгибающий момент в ключе имеет величину
M = M C- H c = ^ - [ ( l — -£■) (cos <p0—cosa)—sin<pe(a —<pe)J —
—sin a + ^ s i n a ) . (79)
Эта формула позволяет построить линию влияния для изгиба ющего момента в ключе. Таблица XIV дает значения момента в клю че при различных положениях нагрузки, расположенной на арке с
Таблица XIV
О |
|
|
|
[М],:Яр |
|
|
М-.Рр |
|
[М ],:Рр |
h |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
ч>0 |
I |
|||||||
|
|
р “ |
10 |
20 |
30 |
10 |
20 |
30 |
0 |
0,05922 |
0,07799 |
0,06463 |
0,06174 |
0,07709 |
0,06467 |
0,06171 |
|
9 |
0,00269 |
0,01919 |
0,00750 |
0,00487 |
0,01811 |
0,00747 |
0,00489 |
|
18 |
—0,01445 —0,00393 —0,01139 |
—0,01305 —0,00539 —0,01158 -0,01316 |
||||||
27 |
—0,00778 |
—0,00406 |
—0,00670 |
—0,00729 —0,00540 —0,00704 —0,00742 |
||||
углом а=36°. Мы видим, что в первом приближении величина мо мента дает значительные погрешности, которые увеличиваются с толщиной арки. Вполне удовлетворительные результаты для рас сматриваемого случая получаются во втором приближении, т. е. при учете влияния нормальной силы. Заметим здесь, что для поло жительных ординат применение этой приближенной формулы при водит к преувеличенным значениям, для отрицательных ординат — к преуменьшенным. Из этого следует, что суммарная погрешность может быть довольно велика, если нагрузки расположены по всему пролету и если момент получается как разность между влиянием
§21. ДЕЙСТВИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ |
503 |
нагрузок, расположенных над положительной частью линии влия ния и нагрузок, расположенных над отрицательной частью линии влияния. Мы вернемся к этому вопросу при расчете арки под дей ствием распределенной нагрузки.
Для определения поперечной силы в ключе применим формулу (66). Первая из формул (65) дает
а
v‘k= — -§sf\ |
sin <р (sin <р—sin ф0) d<p + |
|
Фа |
а |
а |
+ -gp J |
sin ф (sin ф—8 т ф 0)^ф — § cosa<pd(p = |
|
|
Фо |
Фо |
= — { ( 1 — |
) [ у (а — Ф о)—у (sin а cos а —sin ф0 cos ф0)— |
|
—sin ф0 (cos ф0— cosa)J +
+£-£г [ у (а — ф0) + у (sin aco sa —этфосоэфо)^ }• ,
откуда
Vc =-^- j^(a—ф0)—(sin a c o sa —з т ф 0соэф0) —
/а
—2sin ф0(cosф0—cosa) + (fe— 1)-^- (а — Ф*) +
i2
+ (« + !) — (sin aco sa —sin (p0cosф0) +
i2 |
|
1 |
|
|
-f 2-^j- sin ф0 (cos ф0—cosa)J : |
|
|
||
: [a —sin a cos a -f (k — 1) |
i2 |
a -f (k -f 1) |
i2 |
"1 |
|
|
sin a cosal |
||
Эта формула дает возможность построить линию влияния для поперечной силы в ключе.
Для &=3 она принимает следующий вид: |
|
Vc = -^ -ja —Фо—s in a c o sa —sin ф0 cos ф0-f 2 sin ф0соза + |
\ |
,а |
|
+ 2 -рг [а—ф0+ 2 sin a cos а — sin ф0 созф0—sin ф0соэа] >: |
|
: |а — sin a cos а -f- 2 (а + 2 sin a cos a )j |
. (80) |
Найдя решение для одной сосредоточенной силы мы легко перей дем к формулам, дающим распор, момент и поперечную силу в ар ке, подверженной действию пары сил. Как мы видели в § 8, с этой задачей приходится иметь дело при изучении влияния переноса на
504 |
РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК |
ось арки точки приложения силы, действующей на поверхности арки. Формула (44) дает следующее значение распора Я ', вызывае мого в арке парою сил
я , = ___ 1 |
dH |
1 |
Р |
dtро |
р cos фо |
Подставив вместо Я приведенное выше значение его согласно формуле (76) и взяв от него производную, мы получим
a sin <р.—<р0 sin а + (—sin a tg ф, + 2а sin <р( + <p, sin а)
I* |
(81) |
а* + а sin a co sa -2 sin*а + |
[2а* + 4 sin a (sin a -a co sa )] |
Точно так же определяется и неизвестный момент Л4С; согласно формуле (78) имеем
* * . ) • |
<82> |
При ф0= а главные члены числителей формул (81) и (82) сокра щаются. Это означает, что нагрузки, расположенные на внешней поверхности арки, по вертикалям, проходящим через центры плос костей пят, не будут иметь тех же значений, как в арке с двумя шар нирами. При расчетах их можно совсем отбрасывать.
Неизвестное Vc, под влиянием пары силы, на основании форму лы (80) представится в следующем виде:
V„= - |
1 |
dVr |
|
Р |
<Лро |
р cos <р„ |
|
|
= |
— 2р cos Уд [ — 1 — C0S* <Р®+ s in * + 2 C0S V» C0S a + |
|
|
|
+ |
2 (—1 —cos* qp0 -f- sin* qp,—cos qp0 cos a)j : |
: j a —sin aco sa -(-2 -^ -(a -(-2 sina cosa)j . (83)
§ 22. Круговая арка, загруженная вертикальной равномерно распределенной нагрузкой
Имея в своем распоряжении формулы для определения лишних неизвестных для случая вертикальной сосредоточенной силы (§21), можем их распространить и на случаи распределенной нагрузки. Для этого в формулах (76), (78) и (80) заменим Р через qp cos <Pod<Po, где q означает интенсивность распределенной нагрузки. Интег рируя затем полученное выражение в пределах от фв= 0 до ф0= а , мы учтем нагрузку, действующую на левую половину арки.
Поступая таким же образом относительной правой части арки, мы учтем действующую на нее нагрузку.
506 |
РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК |
Т а б л и ц а XV
§24. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ |
509 |
§ 24. Влияние изменений температуры
Распор, возникающий при повышении температуры, опреде ляется формулой (59). Встречающаяся в этой формуле величина и'с определяется при помощи формулы (54), полагая в ней ESp=EJ.
Рассмотрим элементарный случай, когда
F |
|
J |
|
Fp |
(а) |
|
cos<p ’ |
cos ф * |
|||||
|
|
|
||||
Для первого приближения получаем |
|
|
||||
|
|
1 ( /» |
сР \ |
|||
|
|
EJ0 V 640р2 |
48р . ) • |
|||
Подставляя приближенное значение для с—ft3, имеем
№ |
2 f*l |
(Ь) |
45 E J0 • |
Температурный распор, соответствующий первому приближению, выражается следующим образом:
= |
(93) |
Применяя эту формулу к расчету напряжений в сечении ключа арки, которое мы предполагаем прямоугольным, получаем для тем пературных напряжений следующую формулу:
и± |
(94) |
|
min Fp ( |
||
|
Из этого выражения видно, что для арок малой пологости и тол щины, когда первое приближение распора мало отличается от его точного значения, температурные напряжения увеличиваются прямо пропорционально отношению h/f.
К тому же выводу для круговых арок приводят данные, приведен ные в таблицах IX и X.
Теперь примем во внимание влияние нормального усилия на сжа тие оси; мы будем иметь