книги / Прочность и колебания элементов конструкций

выражение для распора от температуры в виде

Сравнивая величины т1у т 2, т , помещенные в таблице IX, мы видим, что первое приближение дает удовлетворительные резуль­ таты только для тонких мало пологих арок. Погрешности при вы­ числении увеличиваются по мере того, как увеличиваются толщина и пологость арки. Для очень пологих арок эта приближенная фор­ мула дает совершенно неудовлетворительные результаты. Учиты­ вая нормальную силу и переходя ко второму приближению, мы по­ лучаем более удовлетворительные результаты. Эта формула дает заметные отступления только для очень пологих и толстых арок.

Помещенные в таблице величины погрешностей Дпц и Д/л2 показывают, что второе приближение не дает серьезной выгоды по сравнению с первым в тех случаях, когда дело идет о мало пологих арках, для которых поправки, внесенные продольной силой, не имеют такого преобладающего значения, как в случае пологих арок.

Перейдем теперь к вычислению усилий. Усилия в сечении клю­ ча приводятся к одной силе Ht, приложенной на расстоянии с от центра сечения. Поэтому, когда температура поднимается, наи­ большие сжимающие напряжения выражаются следующей форму­ лой:

0rmax = J7L + % £= :7t (1+1г)=Ег*£ т (1+ х ) = £ е*П-

В таблице IX помещен ряд численных значений множителя п. Наименьшие напряжения в ключевом сечении определяются

формулой

= ЕЫ -£■ т (1 — у ) = —ЕгЫх.

Численные значения множителя nt также помещены в табли­ це IX.

Для определения максимальных напряжений, вызываемых в пя­ тах повышением температуры, мы имеем следующие выражения:

4 9 2 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

Численные значения множителей г и гг помещены в двух послед­ них столбцах таблицы IX.

Для частного случая бетонных арок, положив £ = 2 -105 кг!см.* и е=0,00001, мы получим напряжения, соответствующие повыше­ нию температуры от 1°, умножая коэффициенты га, пи г, тх на 2.

Когда, наоборот, температура понижается, то найденные на­ пряжения меняют знак. Числа таблицы показывают величину на­ пряжений, вызываемых изменением температуры, как это имеет место в действительности. Эти напряжения тем значительнее, чем положе и толще арка.

Усадка бетона оказывает такое же влияние, как и понижение температуры. При расчетах это влияние приравнивают иногда пони­ жению температуры на 20 °С 1). При рациональных способах произ­

ние которой меняется согласно следующему закону:

При этом мы детально рассмотрим вопрос о различных поправ­ ках, влияющих на величину и'с. Как первое приближение возьмем выражение (54), ограничившись его первым членом.

Подставив в него ESp&El, будем иметь

S S

Соответствующее значение распора, вызванного повышением температуры, будет

Численные значения коэффициентов пгг—/га, приведены в табли­ це X.

х) См. Vorschriften fiber Bauten in armiertern Beton aufgestelt von der Schweizerischen Komission des armierten Beton nebst Erlauterung von F. Schfile. Juni 1909, Verlag der eidgenossische Materialprfifungsanstalt am Schweizerische Politechnikum in Zfirich, 39 S.

4 9 4 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

и соответственное значение распора будет

Btl E J 0e t тс

2[«е]2 Р2

Численные значения коэффициента тг относящиеся к различ­ ным толщинам и пологостям арок, помещены в четвертом столбце таблицы X 1).

Чтобы получить третье приближение, надо учесть влияние нор­ мальной силы на изгиб оси и изгибающего момента на сжатие оси арки. Тогда

М з = M s + j У ds + 1 Y iф cos ф ds =

оо

= + [Y ( Z —^ ( o + sinocosa)— | sin a (2 + cos2 a) J*.

Третье приближение дает для определения величины распора следующее выражение:

Численные значения т3 помещены в пятом столбце таблицы X. Учет поперечной силы приводит к четвертому приближению:

столбце таблицы X.

Полные выражения величин ис и Ht мы получим, принимая во внимание смещение нейтральной линии и заменяя EI выражением

£ S p « £ / ( l + i £ ) .

Введение этого исправления дает нам следующие значения:

— -i- ^2— (a + sin a cos a)J

x) Заметим, что выражение uj плохо поддается вычислению для весьма поло­ гих арок. Для а = 18° и а= 2 7 ° третий знак численной величины ш и тх уже сомни­ телен. Эти коэффициенты вычислены с четырьмя знаками для крутых подъемов.

г) При пользовании этой формулой надо вместо с подставлять ее полную вели­ чину (см. формулу (d) § 18).

Смещение в пятах определяется при помощи формулы (71). Для рассматриваемого случая оно имеет следующий вид:

Результаты вычислений, произведенных при применении этой формулы, приведены также в таблице XI.

Мы видим, что смещение кривой давления находится в прямой зависимости от толщины арки и ее пологости. Смещение в пятах превосходит смещение в ключе. Для арок малой пологости величина смещений существенно зависит от толщины Л. Когда смещение пре­ вышает 1/6Л, то в соответствующем сечении оно сопровождается растягивающими напряжениями. Полученные данные приводят к тому заключению, что для пологих арок даже при сравнительно незначительной толщине их раскружаливание будет сопровождать­ ся появлением растягивающих напряжений в крайних точках сече­ ний пят.

Рассмотрим еще случай, когда сечение арки изменяется соглас­ но закону: F= FJcos <p; J = J J cos3 <p.

Положив в первой из формул (69)

E S p - £ / ( l + I £

Значения отношения Н'/Н0, вычисленные с помощью этой фор­ мулы, помещены в таблице XI. Там же приведены значения б/Л0 и бх cosaj/Л,,, служащие для определения отношений между смещения­ ми кривой давлений в ключе и пятах и между толщиной арки в тех же сечениях. Эти значения мало отличаются от соответствующих зна­ чений, полученных для арок, внешнее очертание которых парал­ лельно оси. Мы можем заключить, что в пологих арках значитель­ ной толщины, следующих очертанию веревочной кривой, постро­ енной для заданной нагрузки, при раскружаливании появляются растягивающие напряжения, величина которых достигает макси­ мума в крайних точках сечений пят.

§21. Действие вертикальной сосредоточенной силы

Для расчета арки в этом случае применим общие формулы § 16. Положим, что внешнее очертание арки параллельно оси и что вер­ тикальная сила Р приложена в точке К (рис. 18). Вызванный этой силою распор определяется формулой (63). Ее знаменатель нам уже известен для случая круговой арки, внешнее очертание которой па­ раллельно оси (формула (е) § 19). Остается составить формулу для вертикальных перемещений v'k, вызванных действием сил, ука­ занных на рис. 18, а. Сохраняя только первый член соответственной формулы (64) и положив

х —х0 = р (sin ср— sin ф0); у —с = р (1 —cos ф)—с,

получаем в первом приближении

а

[v'kll = — J [р (1 — cos ф) — с] (sin ф— sin ф0) р2 dtp =

Фо

—ES (р—с) (соэф,,—cos а )—у (sin2 а —sin2 ф0)—

—э ш ф Л р — с) ( а — ф 0) + р з т ф 0 ( з ' т а — sin ф0)^ . ( 7 3 )_______ р _

Полагая еще в первом приближении

мы получаем для распора на основании формулы (63) следующее значение:

Во втором приближении при вычислении v'k мы учтем нормаль­ ную силу и заменим и'с его значением во втором приближении.

Тогда

Полное значение распора мы получим, воспользовавшись точ­ ным значением и'е (формула (е) § 19) и полной формулой (64) для v'k. Тогда, полагая /е»=3, получим

я = 4 { 2 sin a (cos Ф0 + <р0 sin <р0) —sin а (а sin а 2 cos а) —

ia

— а sin2 фв — ^ [4 sin а (cos <рв—cos а) —2а (sin2 а —sin2 <р#) —

—2 sin а (а sin а —ф, sin ф,)] | :

Чтобы иметь представление о степени приближения выведенных приближенных формул, мы вычислили распор для нескольких арок, предполагая груз расположенным посередине пролета. Полученные результаты приведены в таблице XII. Мы видим, что первая прибли­ женная формула дает для очень пологих арок значительной толщи­ ны совершенно неудовлетворительные результаты. Вторая пригод­ на уже для практического применения, исключая случаи арок чрез­ вычайной толщины и очень сильной пологости, для которых полу­ чаются значительные погрешности. В этой же таблице XII помеще­ ны значения Я 0, вычисленные для трехшарнирной арки, что позво­ ляет провести сравнение соответствующих величин.

Пользуясь формулами (74), (75) и (76), мы можем вычислить распор для любого положения груза и построить таким образом линии влияния для распора. Таблица XIII дает значения распора, вычисленные при различных положениях груза на арке с углом а=36°. Заметим, что степень приближения неполных формул во­ обще уменьшается по мере удаления груза от середины пролета; однако вторая приближенная формула в большинстве случаев мо­ жет быть применена в практических расчетах.

Займемся вычислением момента в ключе рассматриваемой арки, для чего воспользуемся формулой (67). Согласно формуле (68) мы