книги / Принципы динамической теории решетки

242 Глава 4

Яп = 3 Яг...Яя

где (см. (1.3.72))

и (см. (1.3.73))

Линейный отклик решетки на внешнее электромагнитное излуче­ ние и характеристики рассеяния на решетке в низшем ненулевом приближении определяются функциями типа (см. приложение 3)

Для расчета корреляционных функций мы введем, как и в разд. (2.1.3), зависящие от времени гриновские функции с помощью соотно­ шения

&*(АВ, t) = T j @ Ш ) ([А{1), Я(0)]> s «4(0; В(0)»«, (4.1.9)

где верхний и нижний знаки определяют запаздывающую (Gr) и опере­

жающую (G*) гриновские функции соответственно. Фурье-преобразование

обладает тем свойством, что Gr(co)(Ga(co)) аналитична в верхней (ниж­ ней) комплексной полуплоскости со. С помощью этих двух функций мы можем, таким образом, построить гриновскую функцию G(AB, z), ана-

литичную на всей комплексной плоскости z, за исключением действи­ тельной оси (z - комплексная частота).

Аналогично (2.1.19) и (2.1.22), имеем

00

(4.1.11)

—оо

JAB(CO) = ih [iQ(AB, со + ге) — Q(AB, со — ге)] е -> +0. (4.1.12)

(1 - е -^ *)

Определим теперь так называемую температурную гриновскую функ­ цию

Оно следует из возможности циклической перестановки операторов под знаком шпура, а именно при т < О

Поскольку представляют интерес лишь значения гриновской функ­ ции при - р < т < р , ее можно периодически продолжить на все зна­ чения т и разложить в ряд Фурье:

Коэффициенты Фурье определяются выражениями

где верхний (нижний).знак соответствует Gr(Ga). При этом мы исполь­ зовали тот факт, что интеграл (4.1.23 ), рассматриваемый как функ­ ция i соп# может быть аналитически продолжен.

При построении ангармонической теории возмущений для расчета температурной гриновской функции (4.1.13) введем оператор (аналог S-матрицы)

Отметим, что оператор S не является унитарным, но обладает груп­ повым свойством

тт

Если положить в (4.1.32) и (4.1.31) т равным р, мы получим разложе­ ние функции распределения в ряд теории возмущений

Аналогичное выражение получается и при т < 0. Таким образом, ис­ пользуя (4J.26) и оператор временного упорядочения Тт, представим

246 Глава 4

температурную гриновскую функцию в виде

где Т упорядочивает как операторы Л(т) и В(0), так и операторы, входящие в разложение S(р).

Если операторы А и В можно представить как суммы по произ­ ведениям операторов АЛ, то усреднение числителя в уравнении (4.1.37) должно проводиться по линейным комбинациям упорядоченных по времени произведений ^ (т .). Аналогичное выражение получается и при расчете <5 (р) >0. Вычисление подобных выражений можно произ­ вести методами диаграммной техники, базирующейся на (обобщенной) теореме Вика (см., например, гл. 24 в [ 141]).

Теорема Вика утверждает, что для системы с гамильтонианом ти­ па (4.1.2) термодинамическое среднее от произведения операторов

# А(# А представляет собой оператор ЬА или ЪА) может быть представ­ лено как сумма вкладов от произведений всевозможных парных сред­ них:

(BhBh ... BhjJ)0 =t (BhBit)0(BlsBu)0 ... (Вх2р_гВъР)0+

Перед тем как доказать теорему Вика, приведем ряд формул, которые мы будем использовать ниже. Для гамильтониана (4.1.2) используе­ мый при расчете < • • •>0 статистический операторм ож ет быть за­ писан в виде

Поскольку статистический оператор (4.1.39) имеет лишь диагональные элементы, мы можем записать для термодинамических средних

О Матрица плотности. — Прим. перев.

Для доказательства этих соотношений рассмотрим оператор 6д(л) = а-ь^ ’Ьхе— Ьд(0) = Ь,. (4.1.43)

Дифференцируя (4.1.43) по а, получаем

С помощью этого уравнения, а также уравнений (4.1.43), (4.1.40) и (4.1.39) легко убедиться в справедливости (4.1.42).

Перейдем теперь к доказательству теоремы Вика. Запишем тож­ дество

й рассмотрим термодинамические средние от его левой и правой час­ тей. Принимая во внимание

что следует из (4.1.42) и проводя термодинамическое усреднение (4.1.46), мы получаем

(1 _ е±*•*) ( B h ... ДО о = [B ilt B lt) (B t.....B XJ 0 +

+ №i> Bx,] (Bxt •••Ди,)о + ••••(4.1.48)

Используя (4.1.41), из (4.1.48) находим

( B Xl... B xtp)о = <ДиДи>0 (B it •••Bitv)0 +

Продолжая этот процесс далее, мы и получаем утверждение теоремы

Вика.

Теорема Вика выполняется также и для Т-упорядоченного произ­ ведения операторов:

(,ВтВх1{т:\) Вхt{r2) ••• ^Xtp(^2p))o =

= (Т ,В х ,(т.) Ёх,(т2))0 ( Т ,Ё х,(т,) В хДъ ))» ... ( T ,B iu _l(rv . l ) Вх„(т2р))0 +

Это можно показать, используя равенства <Тт . . .>0 = Тт < . . . >0 и

внимание соотношение (4.1.38). Доказательство равенства (4.1.51) аналогично доказательству (4.1.42).

При нахождении температурной гриновской функции (4.1.37) или

<5(р)>0 с помощью теоремы Вика, мы имеем дело с произведениями величин

нонный пропагатор), определенная в области - § < т < р выражением

ношением (1.4.50). Производя фурье-преобразование g(X, т), получаем

соответствуют собственным частотам гармонической системы. Можно ожидать, что учет ангармонизмов приведет к изменению частоты на величину А й к появлению конечного времени жизни моды 1 /Г; таким образом, полюса гриновской функции ангармонического кристалла имеют вид i соп = ±(соЛ+ А + iT).

Обратимся теперь к изучению однофононной гриновской функции

Используя (4.1.37), (4.1.31) и (4.1.50), можно получить для G(XX', i соя) разложение в ряд теории возмущений, членам любого порядка которого отвечают диаграммы, вычисляемые по следующим правилам [101, 256}:

1. Сопоставим с фононом до взаимодействия линию X, а с фононом пос­ ле взаимодействия линию Х'(Х = к' благодаря выполнению закона сохранения импульса при всех взаимодействиях).

2.В области взаимодействия отметим все n-частичные вершины (для члена порядка п). Нарисуем все топологически различные диаграм­ мы, соединяющие фононными линиями эти вершины.

3.С фононной линией сопоставим индекс Л и частоту i соп таким обра­ зом, чтобы внутренние линии каждой вершины удовлетворяли зако­

Умножим на ( - 1)яр п/п \(рп появляется из-за п интегрирований).

7.Умножим на весовой множитель, учитывающий число возможных спариваний фононных операторов. ( Эквивалентные диаграммы мо­

гут возникать из-за: 1) спаривания различных операторов, связан­ ных с данной вершиной, 2) спаривания операторов, принадлежащих разным вершинам. Последняя ситуация отвечает замене перемен­ ных интегрирования.)

8. Просуммируем по всем пррмежутачным индексам Ли соп.

Диаграммы, содержащие не связанные ни с одной внешней фо­ нонной линией части, называются несвязанными диаграммами. Как можно показать, вклад от этих диаграмм компенсирует вклад от зна­ менателя <S (Р)>0, что в итоге дает

где "связь с ^"обозначает диаграммы, любая часть которых связана по меньшей мере с одной внешней фононной линией. Чтобы показать это, рассмотрим произвольную диаграмму n-го порядка, имеющую п -ш н е связанных ни с одной внешней фононной линией вершин. Символически вклад от этой диаграммы в G(AX', т) может быть записан в виде

JрА х ,... JрA x j p M т ) 1 - И 0 ) Й л(ч ) ... Й А{т„,)>0.СВЯЗЬ С Л1&-Х’ х

оо

рр

оо

где, однако, не учитывается весовой множитель, появляющийся из-за перестановки переменных между связанными и несвязанными частями диаграммы,.Имеются п\/т(п - т ) ! таких перестановок, не меняющих

диаграмму. Умножая (4.1.57) на этот множитель и суммируя все не­ связанные диаграммы, имеющие твершин, связанных с внешними фо­ нонными линиями, получаем

(4.1.58)

Сравнивая (4.1.31) и выражение в фигурных скобках в (4.1.58), мы видим, что оно равно < S(р)>0. Таким образом, сумма всевозмож­ ных диаграмм равна произведению < S (р)>0 и суммы всевозможных связанных диаграмм. Следовательно G(AA', т) дается суммой связан­ ных диаграмм.

Некоторые типичные связанные диаграммы изображены на рис. 4.1. Эти диаграммы можно разделить на 2 класса. Собственные

диаграммы а и б не могут быть разделены на 2 части путем разрыва одной фононной линии, в то время как несобственные диаграммы в жг можно таким способом разделить на 2 несвязанные части. Полный

I а

О6

99

Я-чЫ -

Рис. 4.1. Некоторые типичные связанные диаграммы, а, б — собственные диа­ граммы; в, г - несобственные диаграммы.

вклад от всех собственных диаграмм в фурье-образ гриновской функ­ ции запишем в виде (рис. 4.2, а)

0(kjf, ш п) ~ g{kj, i(on) 6jr + g(kj, ш п) I(kjj\ icon) g(kj', гш„), (4.1.59)

или, используя более компактные обозначения,

где 2 - так называемая собственно энергетическая матрица, представ­ ляющая собой сумму всех собственных диаграмм (без внешних фононных линий). Учитывая как собственные, так и несобственные диаграммы, получаем (рис. 4.2, 6)

где благодаря сохранению импульса в каждой вершине все фононные линии в несобственных диаграммах имеют тот же волновой вектор, что и внешние фононные линии. Бесконечный ряд (4.1.61) можно на­ глядно представить в виде (рис. 4.2, в)

митовой матрицей. Благодаря этому свойству ее можно диагонализовать при любом и>2П9 выбрав подходящую новую систему координат. В общем случае, однако, диагонализация всех соп одновременно не­ возможна; таким образом, в 2 остаются недиагональные элементы,

—+ — 0 — 6

+••••

Рис. 4.2. Уравнение Дайсона для однофононной гриновской функции, в —

сумма всех собственных диаграмм; б, в - сумма всех собственных и не­

собственных диаграмм.