книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf332 |
Приложение 1 |
Это уравнение или эквивалентное ему (П1.20) могут быть использо ваны для определения независимых ненулевых элементов динамичес кой матрицы #(&).
П1.3. Классификация нормальных колебаний и блочная диагонализация динамической матрицы
В отсутствие случайного вырождения собственные функции гамиль тониана, связанные с данным собственным значением, соответству ют неприводимому представлению по отношению к преобразованиям, оставляющим гамильтониан инвариантным (см., например, [ 420]).. В полной аналогии собственные векторы динамической матрицы D(k), связанные с данным собственным значением, преобразуются по не приводимому представлению относительно преобразований симмет рии Т(к, Л), определенных в (П1.24).
Применяя операцию Т(к, R) к уравнению для собственных значе ний (1.3.41), получаем для каждого преобразования R из G£
cof(k) Т(к, R) e{kj) = D{k) Т(к, R) e(kj), |
(П1.29) |
где мы использовали (П1.28). Согласно (П1.29), Т(к, R) e(k j) есть линейная комбинация линейно независимых собственных векторов, связанных с собственным значением ы2.(к). Заметим, что матрица
D(k) имеет 3г собственных значений co2 (jfc) для фиксированного к, но не все они различны. Ниже для удобства мы заменим один индекс
/на двойной индекс рА, где р нумерует различные собственные
значения D(k) для данного & и А = 1, 2 ,..., Р ) нумерует различ ные собственные векторы, связанные с собственным значением со2(А:)- Величина d (Р > есть степень вырождения co2(jfc). Теперь мы можем
записать |
|
d<e> |
(П1.30) |
Т{к, R) е(1цЛ) = 27 тЙ(Л, R) е(1цХ'), |
где ТА^А^' Д) есть матричный элемент унитарного неприводимого
мультипликативного представления размерности с теми же мно жителями, что и в представлении, дараемом Т(к, R) [250]. Следова тельно, собственные значения и собственные векторы матрицы D(k) можно классифицировать с помощью неприводимого мультипликатив ного представления . Вырождение дается размерностью не приводимого мультипликативного представления с индексом р .
Симметрия кристаллов и динамическая матрица |
333 |
Разложение приводимого представления G£ (даваемого Т(к, R)) • по неприводимым представлениям (к, R) производится с помо щью хорошо известной формулы (см. [420]).
m(e>= j Е |
П) *W(fc,Л)*, |
(П1.31) |
|
которая показывает, сколько раз неприводимое представление |
|||
т(р\k, R) содержится в |
T(k, R). Здесь %(k, R) есть характер Т(к, R) |
||
и Х^Р^(А, R ) есть характер T^(ifc, |
Л). Число h обозначает порядок |
||
G£ . Поскольку возможен случай т^р * >' 1, то удобно ввести дополни |
|||
тельный индекс |
|i = 1, 2 , |
т^\ нумерующий различные собствен |
|
ные значения, соответствующие неприводимому представлению р . Те перь уравнение для собственных значений (1.3.41) принимает вид
% и( к ) е(кдЯи) = |
D ( k ) е(коЛ/и), |
) |
|
Л= 1, 2, .... dM; |
= |
J |
(П1.32) |
Так называемые нормальные координаты играют важную роль в вычислениях динамики кристалла. Они описывают совокупность таких смещений атомов в элементарной ячейке, которые обладают, опреде ленной симметрией. Если вместо обычных декартовых координат сме щений атомов используются нормальные координаты, динамическая матрица приобретает простой блочный вид, который зачастую сущест венно упрощает решение задачи на собственные значения.
Для определения нормальных координат, которые преобразуются
под действием Т(к, R) |
согласно неприводимому представлению |
||
т ^ (£ R), мы |
определим |
по аналогии с хорошо известным оператором |
|
проектирования [ 420] оператор |
|
||
/>$.(*) = |
27т<«',А\Я) Ttk.R). |
(П1.33) |
|
лл
Применяя его к вектору-столбцу Ч* размерности 3 г , получим величину
W(koX) = Р$(Л) Чг, |
(П1.34) |
которая преобразуется, согласно [ 258], как |
|
4<С) |
|
Т ( к , R ) Щ к о к ) = 27тМ(А, R ) 4'(kQX'). |
(П1.35) |
Сравнивая (П1.35) с (П1.30), убеждаемся, что 'Р(ЛрЛ) преобразуется как е(&рЛ), т.е. вектор ЧЦкрЬ) должен быть линейной комбинацией
334 Приложение 1
собственных векторов е (АрЛц):
т<е> |
(П1.36) |
^(fcpA) = £ с ие{кеЛр). |
Симметрийные соображения не позволяют определить коэффициенты с р . Они зависят от специфики динамической матрицы D(k). Только
если |
= 1 , получаем ^ = 1 и 'Р есть точный собственный век |
тор |
D(k). |
Чтобы упростить динамическую матрицу мы должны найти линейно независимых векторов, содержащихся в fP ( ЛрЛ). Можно по ступить, например, следующим образом [ 423] - В (П1.33) возьмем без потери общности Л' = Л и при соответствующем выборе векторов Ч* получим набор из следующих 3г векторов:
j (е)
Р а{е)№ |
= — 27 т Й ( Л В ) * t e(fc, R ) , а = 1, 2, . . . , З г , |
( Щ |
.3 7 ) |
где *а(Л, |
Л) есть вектор столбца а матриць1 7*(А?, Л). Из этих |
Зг |
|
векторов линейно независимые ортогональные векторы (нормальные координаты) Ч'(АфЛр) всего их ш^р ^) могут быть найдены с помо щью процедуры ортогонализации Шмидта.
Векторы Ч^АрЛц) обладают следующим свойством: любой мат ричный элемент динамической матрицы D(k), или эквивалентной мат
рицы Т ^ (к 9 |
R)D(k) Т(к, R), взятый между векторами Ч^рЛ ц) |
и |
||
Ф(Аф'А'ц'), равен нулю, если только не выполнено условие р ' = р |
и |
|||
Л* = Л, т.е. |
|
|
|
|
D(k I Qfr; e'W ) s |
Z Wa(x I к<М* Daa. (xx' I k) VA*' I kQ'X'fi') |
= |
|
|
1 |
d<e>_ |
I e w e'*/)» |
(П1.38) |
|
= *^7 «Vйдд/ 2? |
||||
Результат (П1.38) можно доказать, если использовать (П1.28), (П1.35) и ортогональность неприводимых мультипликативных представлений
Е |
Щ* |
R) = А . в^би’ды-. |
(П1.39) |
Согласно (П1.38), D(k |рАц; рЛц') не зависит от Л. Если построить унитарную матрицу U(k), столбцами которой являются векторы Ч^&рЛц), получим
U - Ц к ) D ( k ) U ( k ) = D ( k ) , |
(П1.40) |
|
Симметрия кристаллов и динамическая матрица |
335 |
|||
где |
|
о |
О |
|
|
|
|
|
|
||
D(k) = |
о |
3™(к) |
о . |
|
(П1.41) |
о |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
Dle>(k |fifi') = Е |
V>A* IМд)* £«.'(**' I/с) W(*' IМд')- |
(П1.42) |
|||
|
хах'а' |
|
|
|
|
и Z)(P*(jfe) |
есть матрица |
х |
Она встречается |
р ) раз на |
|
диагонали |
(Л;) . Поскольку унитарное преобразование не меняет соб |
||||
ственных значений матрицы, блочно диагональная матрица D(k) име ет те же самые собственные значения, что и D(k). Собственные зна чения D ^ ( k ) дают как раз те т*р ) значений квадратов частот нор
мальных колебаний неприводимого представления с номером р группы
Gj* 9 которые вырождены раз.
Отметим, что вырождение нормальных колебаний может быть свя зано не только с высокой размерностью неприводимых представлений
, но и с симметрией относительно обращения времени [258]* Примеры других применений теории групп к исследованию динами
ки решетки читатель может найти в монографии [ 45], где исследова на проблема правил отбора для инфракрасного поглощения и комбина ционного рассеяния. Проблема определения нормальных координат ис следована детально в [169]*
Теория групп может быть использована также для изучения ди намики несоизмеримых кристаллов (т.е. кристаллов с периодически модулированными искажениями, волновой вектор которых не состав ляет простую рациональную часть от обратного вектора решетки, см . разд. 4.4). С этой целью несоизмеримый кристалл рассматрива
ется как двухкомпонентная система, причем одна компонента описы вает основную структуру, а другая - деформации. Относительные дви жения между этими двумя компонентами описываются введением; до полнительных размерностей пространства. Соответствующую группу симметрии таких систем называют группой суперпространства, т.е. кристаллографической пространственной группой в пространстве с размерностью больше трех (максимально шесть) [193, 194, 318].
Примеры применения теории групп для исследования колебаний в твердых телах с изолированными дефектами читатель найдет в [257].-
Приложение 2
Линейный отклин электронов
в кристалле на электромагнитное поле
Мы выведем здесь основные формулы, описывающие отклик кристал ла на электромагнитное поле. Эти формулы нужны для построения ми кроскопической теории фононов (см. разд. 1.6). Рассмотрим внешнее электромагнитное поле (описываемое электрическим полем Е м (г, ь) и магнитным полем Bext(r, t ), порождаемое плотностью внешнего за ряда eext(r, t ) и тока / ех1(г, t ) соответственно. При этом положим, что внешнее поле индуцирует в среде (кристалле) плотности заряда
e ind(r, t) |
и тока / ind(r, |
ь ), которые, со своей стороны, являются ис |
||
точниками электромагнитного поля Е ind и B ind(r, |
О- |
|||
Внутреннее поле в кристалле |
|
|
||
Elnt{V, t) = £ext(r, t) + JE?ind(r, t), |
|
(П2.1) |
||
Bint(r, t) = Be*t(r, t) -I- |
t) |
|
(П2.2) |
|
удовлетворяет уравнениям Максвелла |
|
|||
FjEmt = 4n{oext + elnd}, |
FBint = |
о, |
(П2.3). (П2.4) |
|
F X |
t = — - Blnt, |
V x В™ = |
— Bint + 1^- {jcxt + j-indj |
|
|
|
|
|
(П2.5). (П2.6) |
Полное микроскопическое поле в среде Е1™*(г, *), Вт1СГ (г, t ) явля ется суммой внутреннего поля Bint(r, t), B int(r, t ) и равновесного поля E ^ (r), Beq{r), которое существует в кристалле в отсутствие внешнего поля. Если предположить отсутствие постоянного магнитно го момента в системе, то Beq( r ) исчезает. Поле Beq(r) порождается равновесной плотностью заряда (^(г). Из соображений нейтральнос ти следует, что среднее значение по объему элементарной ячейки от величин ^ (г) и £ eq(r) обращается в нуль.
338 |
Приложение 2 |
|
Трансляционная симметрия кристалла подразумевает, что |
||
0 (r, г', t - t') = a(r + x(l), г' + x(l), t - 1') |
(П2 J 5) |
|
(* (/)) - |
вектор решетки), а значит, фурье-образ такого тензора от |
|
клика, как a(q9 q '9со), не равен нулю лишь в том случае, когда q и q 9 отличаются на вектор обратной решетки. Таким образом, мы имеем
g', о>) = о{к + Я, к + К', ш), |
(П2.16) |
где к - вектор, ограниченный первой зоной Бриллюэна, а К и К ' — векторы обратной решетки. В дальнейшем мы будем использовать обозначения q = к + К, q' = к + К'.
Как уже отмечалось в разд. 1.5, при исследовании электродина мики кристалла макроскопические величины получаются при усредне нии соответствующих микроскопических величин по объему элемен тарной ячейки, что эквивалентно пренебрежению всех фурье-компо- нент с K t 0 .
Для слабых полей плотность индуцированного тока связана с пол ным полем Е с помощью макроскопического тензора проводимости:
jto<L(k, CD) = |
CD) E{k, CD). |
(П2.17) |
Усредняя (П2.8), мы получаем |
|
|
j lnd(fc, CD) = £ |
к + К', CD) E™{k + K \ CD) . |
(П2.18) |
К |
|
|
Если пренебречь поправками на локальное поле (т.е. заменить дейст вующее внутреннее поле на его среднее значение) и учесть, что мак роскопическое электрическое поле дается средним значением Е int, так как среднее значение Е*ч обращается в нуль, то из (П2.17), (П2.18 следует
вЩк, ш) = |
а(к, к, CD) . |
|
(П2.19) |
Поправки на локальное поле могут быть учтены, если выразить |
|||
фурье-компоненты Е int(& + К ', со) через Е(к, |
со). Для этого пере |
||
пишем (П2.5) и (П2.6) в виде |
|
|
|
Eini{q, CD) = |
Я(д, CD) [ j e*t(g, CD) + j lnd(qr, CD)] |
, |
(П2.20) |
а соответствующие уравнения для внешнего поля - |
в виде |
||
Линейный отклик электронов на электромагнитное поле |
339 |
Величина K(q, со) - тензор, определяемый равенством (1.5.40), и здесь мы воспользовались той же самой процедурой, что и в разд. 1.5 при выводе (1.5.39) из (1.5.31), (1.5.32). Подставляя (П2.21) и (П2.8) в (П2.20), имеем
J5int(g, со) = £ |
0r-i(q, q\ т)E**4q\ со), |
(П2.22) |
где 0 - 1 - тензор, обратный величине |
|
|
&(q, Ч >w) = |
Я(д, со) <r(g, д', со) + dqq>lt |
(П2.23) |
определяемой уравнением |
|
|
Е о-Чд, g", со) <9(g", q\ со) = dqq>i. |
(П2.24) |
|
Используя равенство (П2.22) дважды и учитывая, что Е сп является макроскопической величиной, из (П2.17) и (П2.18) мы получаем
аЩк, со) = Е <*(к, k + K tco) ®~Цк + К, к, со) [€И(/с, к, со)]-1. (П2.25)
Это выражение формально учитывает поправки на локальное поле.
Введем теперь два других тензора отклика |
|
|
j lnd(q> со) = |
Е <*(Ч> ч> со)Ее*Чч'> с°)> |
(П2.26) |
|
я' |
|
jex'iq, со) = |
— ^ Е T{q, g', со)Е™{ч', ш). |
(П2.27) |
|
4яг q' |
|
Тензор o' называется микроскопическим тензором внешней проводи мости. Чтобы получить соотношение между а, а и Т , подставим (П2.27) и (П2.8) в (П2.20), что приводит к равенству
^{q*qf*о>)= |
|
ч'>ш) + &яя'К~Чч><*>)» |
(П2.28) |
|
а с помощью (П2.23) - |
к равенству |
|
||
T(q, q\ со) = K~4q, со) &{q, q\ со). |
(П2.29) |
|||
Соотношение между |
Т и o' можно подучить, используя (П2.27), (П2.20), |
|||
(П2.21) и (П2.26): |
|
|
|
|
- р 6(q, q\ со) = |
«Удд'Я Чд. со) - |
Kr\qtсо) T~4q,g', со)K-^g', со). |
(П2.30) |
|
Таким образом, |
а и Г могут быть сведены к У. |
|
||
Выведем сейчас способ |
вычисления о с помощью теории линей |
|||
ного отклика. С этой целью рассмотрим индуцированную плотность
Линейный отклик электронов на электромагнитное поле |
341 |
е 1 - ехР (-“г |
)'е х ехр (— ~ tit). В результате находим |
|
|||||
№ = |
ж |
г Г |
„ Г |
TlHt'-t) |
- - r W |
- o ] |
(П2.40) |
ео + j |
/ |
dt' [&,» eft |
H'(t') е А |
J. |
|||
Оператор взаимодействия ti' дается выражением
Д'М = ^ 27 ^ р „-^ -Л -Ч г „,о )2- р ф 2w „
(П2.41)
~ — — J drj(r) Aext(r, t),
где в последней строке оставлены только члены, линейные по полю. Подставляя (П2.33), (П2.36), (П2.40) и (П2.41) в (П2.31), мы по
лучаем
jind(r, t) = |
|
|
t |
|
— (o(r)) f |
dt'E**t(r, t') + |
|
||
|
+ |
|
dr'([j(r, t),j(r', t')])Eext(r', t"h |
(П2.42) |
Здесь |
|
|
|
|
5'rllt |
~ T Ht |
> |
(П2.43) |
|
j(rt t) = e* |
j(r) e A |
|||
a |
|
|
|
|
<...) = Sp |
|
|
|
(П2.44) |
означает термодинамическое среднее в состоянии равновесия. Учи
тывая, что |
d t0 |
d t " = |
и взяв преобразо |
вание Фурье от |
(П2.42), находим |
|
|
q\о))= ——г I— Ш -q'))* -xiq* q>со+ fe)l. |
в-* +o. |
||
|
со + te [m V |
J |
(П2.45) |
|
|
|
|
Здесь x (q, |
q*> со) — фурье-ббраз тензора отклика плотность тока — |
||
плотность тока |
|
|
|
х*а'(к К |
0(0 Ш г , о, |
0)]). |
(П2.46) |
где 0 (t) - функция Хевисайда
<9(^ = {о при 1 % 0. |
(П2.47) |