книги / Принципы динамической теории решетки

способами, описанными выше. Результаты таких вычислений для ато­ ма примеси (/ = 0) и для ближайших соседей (/ = 1) в случае ГЦК-крис- талла с с - —2 (сплав Си: Аи) и е —0,57 (сплав Си : А1) изображены на рис, 2.6 и 2.7 соответственно. Согласно этим рисункам, искажение амплитуды колебаний благодаря наличию примеси очень быстро спа­ дает с увеличением расстояния от примеси.

Возвратимся вновь к коэффициенту инфракрасного поглощения а (со) при наличии дефектов. Из (2.2.10) мы видим, что а (со) определя­ ется мнимой частью функции Грина. Простейшим случаем является

гомополярный кристалл с простой заряженной примесью. С учетом того, что Ма р (() = ^ 0баре*(е* - эффективный заряд примеси), мы

имеем ос(со)~ ImGaa(0, 0, со). Следовательно, с помощью (2.2.10), (2.2.19), (2.2.22) и (2.2.25) для случая заряженных изотопических при­ месей получаем

где п - число примесей в кристалле. Равенство (2.2.31) предсказыва­ ет поглощение во всем диапазоне частот зонных колебаний, которое пропорционально плотности состояний, модифицированной знаменате­ лем, который может быть резонансным. Более того, предсказывается, что в случае локализованного колебания появляется 6-образный пик на частоте данного колебания.

Равенство (2.2.31) применимо к различным системам, в частности, для кремния с примесями замещения III и V групп. Довольно хорошее, например, согласие между теоретическими и экспериментальными ре­ зультатами было получено для S i: В. Теоретическая кривая поглоще - ния в Si : В показана на рис. 2.8. Внутризонное поглощение связано с главными пиками плотности состояний колебаний в кремнии; Пример­ но 75% поглощения атомами бора содержится в резком пике локально-

го колебания. Оказывается, что вычисленная частота локальной моды (при 664 см**1 для В11) находится существенно выше наблюдаемой ве­ личины (при 620 см~1 для В11 ). Это предполагает, что примеси В также вызывают соответствующее изменение .силовых постоянных для связи В - Si (на величину порядка 14%).

Усиление поглощения во всей зоне колебаний вследствие наличия дефектов, предсказываемое в (2.2.31), представляет особый интерес. Такое поведение характерно для неупорядоченных систем. Заметим, что в идеальных гомополярных кристаллах не существует однофонон­ ного поглощения и что в полярных кристаллах есть только однофонон­ ные пики отражения, возникающие из-за оптических колебаний с к = О. Широкое внутризонное поглощение в неупорядоченных системах "ил­ люстрирует" устранение правил отбора при к = О из-за отсутствия периодичности решетки (см. разд. 2.3.3).

На рис. 2.9 даны теоретические и экспериментальные кривые однофононного поглощения в растворе Ge : Si. Теоретическая кривая была получена в приближении дефекта массы (MGe/Mg. = 2,6). Заме­ тим, что в случае незаряженных примесей в гомополярном кристалле эффективный заряд на дефекте и близлежащих атомах возникает вслед­ ствие перекрытия волновых функций атома примеси и ближайших ато­ мов. В этом случае а (со) вычисляется аналогично описанному выше. Из рис. 2.9 мы видим, что при низкой концентрации дефектов кривые для поглощения и для плотности колебательных состояний имеют сход­ ство (рис. 2.9,а). Однако при большей концентрации примесей в спект­ ре поглощения появляются новые особенности, которые можно припи­ сать ближайшим примесным парам.

Влияние примесных пар и изменение силовых постоянных здесь мы не. сможем рассмотреть детально. Отметим только, что такое влияние можно трактовать аналогично дефекту массы. Однако матри ­ цы примесей в последнем случае имеют существенно больший поря­ док, чем в случае дефекта массы. Применяя теорию групп, задачу об изменении силовых постоянных или о примесных парах можно сущест­ венно упростить. Для более детального изучения данных вопросов ото­ шлем читателя к работе [ 257, гл. 8]. Обзор и обширная библиография экспериментальных исследований влияния дефектов на колебательные свойства даны в работах [27, 257, 379].

Рис. 2.9. Инфракрасное поглощение в сплаве Ge:Si. а: штриховая кривая —

экспериментальные результаты для Geo 95 S*o 05# светлая сплошная — плот­

ность однофононных состояний для Ge, жирная сплошная — кривая поглоще­ ния. предсказанная в модели беспорядка масс для изолированного атома Si;

б: штриховая кривая - экспериментальные результаты для Geo.88 s '0.22#

светлая и жирная сплошные кривые — поглощение, предсказанное для

различных мод (с симметрией 2?и и А ^и соответственно) спаренных

атомов Si.

2 .2 .3 . Описание колебаний дефектов с помощью эйнштейновского осциллятора

Следуя работам [113, 223], мы приведем простое и физически

очевидное описание поведения локальных колебаний изолированного дефекта. Это описание основывается на методе функций Грина. Оно сводится к эйнштейновскому осциллятору. Этот осциллятор характери­ зуется эффективной силовой постоянной, описывающей статический отклик, эффективной массой, составляемой1массой примеси плюс до­ полнительный вклад атомов, расположенных вблизи дефекта, и по-

128 Глава 2

л

Для вычисления GRR мы поступим точно так же, как при выводе

янную минорных матриц, связанных с оставшейся областью идеально­

го кристалла. Величина Г - соответствующая минорная матрица матрицы возмущений (2.1.31) для одиночного дефекта. Используя

(2.2.38) и последние два уравнения (2.2.34) (переписанные однако для идеального кристалла), легко прийти к следующему выражению для G0 :

где G° означает функцию Грина идеального кристалла.

Рассмотрим резонансное колебание. Такая мода имеет место на

Gc c (co) имеет квазиполюс. Это определение находится в полном со ­ гласии с определением, данным в предыдущем разделе. Заметим, что ImG° мала вблизи края зоны, т.е. в одноатомной простой кубической

решетке вблизи со » 0 и со « a>L, где coL - наибольшая частота колеба­ ний идеальной решетки. Ограничиваясь здесь низкочастотными резо­ нансными модами, мы разложим G '^co) при малых со. Таким образом,

ложения GRR (со) мы можем исследовать разложение G (со). Чтобы га­

рантировать такое поведение G RR(co), нам, возможно, понадобится не­ сколько расширить область влияния дефекта.

Рассмотрим мнимую часть G°(co) при низких частотах. Согласно

(2.1.39), для решетки Браве G°(co) приобретает вид

G°aAl> I', СО)

(1.4.18), а также тот факт, что для решетки Браве собственные векто­ ры е(к.) действительны (см. разд. 1.3). В (2.2.41) величина

При низких частотах, в интеграл (2.2.42) вносят вклад только векторы

к вблизи к = 0. Векторы поляризации зависят здесь лишь отЛ = А/| ^)|, и, согласно (1.3.54),

где с. - скорость звука, связанная с ;-й ветвью. Раскладывая в ряд косинус и интегрируя по |к |, из (2.2.42) и (2.2.43) мы получаем

ловие ортонормированности (1.3.44), мы можем переписать (2.2.44) в виде

Im а д , г,„) - - (jf + i ) .»„■ + O K ). (2.2.46)

где Cj и c t - продольная и поперечная скорости звука соответствен­ но. Из (2.2.45) мы видим, что при низких частотах ImG°a*(J, Г 9со) не зависит от индексов / и Г .

Это выражение аналогично эйнштейновскому приближению Gc c (со) » « [Л^ссо2 — Фс с 1""\описывающему колебания, атома примеси в поле всего остального кристалла, атомы которого предполагаются покоющимися. Однако в (2.2.51) учитывается движение всех атомов. Оно представляет собой функцию Грина затухающего эйнштейновского ос­

и представляет собой функцию Грина изотропного осциллятора с за­ туханием, зависящим от скорости.

Согласно (2.2.9) и (2.2.19), квадратичная амплитуда колебаний

атома примеси определяется величиной Im[ Сс с (со)За0С^, которая с учетом (2.2.52) имеет вид

- резонансная частота, определяемая эффективной силовой постоян­ ной и эффективной массой. Перед тем как обсуждать (2.2.53), выра­

зим у через и Af6**. С этой целью выведем сначала, что в области низких частот ImG ImG0. Используя (2.2.3), мы получаем для ImG

где крест означает эрмитово сопряжение (напомним, что Gf = G*,

V* * V)* Раскладывая ImG до линейного по со члена, мы можем заме­ нить F(co) на F(0) = Ф - Ф°, G(co) на G(0) и ImG0 выражением (2.2.45).